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Ainsi le cente de gn^ité ite la surfiiee latérale d'un cône droit est
aux ~ de la hauteur à partir du sonunet. Cette position est analogue à
celle du centre de gravité de la nurface du triangle (i795).
i799. Centre de gravité d^un solide quelconque. Adoptant trois plans rectangulaires entre eux, et opérant pour chacun d'eux comme il a été indiqué au n* 1794, on obtient les trois équations
VY
VZ
= JxdV.
= J.dV.
tf OÙ X =
JxdV
d'où
d'où Z =
Fig. £96.
Dans la pratique, lorsqu'on ne peut établir les intégrales précédentes, ou si elles sont trop compliquées, comme pour les surfaces (1794), on a recours à la formule de Thomas Simpson (1782) pour calculer ces expressions ainsi que le volume V.
Pour cela, on choisit les trois plans rectangulaires tangents au solide. Soient Ox et Oz les intersections de deux de ces plans avec celui du papier, et déterminons la distance X du centre de gravité G du solide au plan Oz.
On mène parallèlement au plan Oz un plan An tangent au solide ; on divise la portion / interceptée sur Ox par les deux plans Oz et An en un nombre pair n de parties
égales - = 8 ; par les points de division on mène des plans perpendiculaires à Ox; on mesure les aires A^, A„ A,... A» des sections déterminées dans le solide par ces plans et par ceux Oz et A»; les aires A„ et An peuvent être nulles. On a alors (1784)
Y = I [A, + An + 4(A, + A, + ...) + 2(A, + A, +...)].
CfiMTRES DE GRAVITÉ DES FIGOlUlfiU 859
Uo élément mm! du solide, déterminé par deux plans iaâniment rapprochés et parallèles à O2;, a pour volume
dV = Adx,
A étant Taire de la section mm' et dx l'épaisseur infiniment petite de rélément.
Le moment de l'élément mw! par rapport au plan (^t est alors
xdV = Axdx, et celui du volume total
Axdj, d'où X
jAxdx
Pour calculer XAxdx, on pose
Ax = y, et Ton a approximativement
^Axdx = I [yo + yn + %, + ^3 +*...) + 2(y, + y* + ...)] .
formule dans laquelle
yo = AoXo = Ao X 0 = 0,
yn= Anyn=AnWÔ.
On a donc en définitive
CAxdx = I [nAn + 4(A, + 3A3 + ...) + 2(2A, + 4A, + ...)).
Substituant celte valeur et celle de Y dans (1), on obtient
a[yiA» + 4(A^ + 3A, + ■«.) + 2(2A, -f 4A, + ...)] Ao + An + 4(Ai.+ A, + ...) + 2(A, + A, + ...) ' On opérera de môme pour avoir Z et Y; mais si les centres de gravité des sections Aq, A^, A, ... sont faciles à déterminer, il conviendra d'avoir recours à la marche suivie au n» 1794 pour obtenir Y (1584). 1800. Centre de gravité d'une pyramide quelconque SABC. Toute section faite dans la pyramide par un plan parallèle à la base ayant son centre de gravité sur la droite Sy qui joint le sommet au centre de gravité de la base (1577), il en résulte qu'un élément quelconque mm' compris entre deux plans infiniment rapprochés et parallèles à la base a aussi s«n centre de gravité sur Sy, et que par suite le centre de gravité G de la pyramide est également sur Sjjr. Cela établi, on prouverait géométriquement, conmie au n* 1577, que l'on a SG = ^ S^; mais établissons cette égalité parle calcul.
Menons par le sommet S un plan parallèle à la base ABC, soit Or la trace de ce plan sur celui du papier.
b étant la base de Télément mm\ qu*à la limite on peut supposer être un prisme, son volume est
dV = 6dy,
et son moment par rapport au plan Ox est
ydV = ybdy.
Le moment d'une pyramide a donc pour expression
YV=;
=; Uôdy.
B et H étant la base et la hauteur de la pyramide, on a (907)
