SG = I S^F

1801. Centre de grcaoité des solides de révolution. Les formules générales que nous avons posées au commencement du n*" 4799 pour un solide quelconque s'appliquent évidemment aux solides de révolution. Mais comme, à cause d» la symétrie, le centre de gravité d'un solide de révolution se trouve sur l'axe Ox de rotation, et que sa position se trouve déterminée dès que Ton connaît sa distance OG=:X' k un plan Oy perpendiculaire à Ox, une seule équation suffit. Ainsi Ton a

VX' = ÇxdV, d'où X'=5^.

Le volume d*un élément mm' limité k deux plans infiniment rapprochés perpendiculaires à Ox étant (1787)

dV = «y'dx, le volume

r = t: \ y^àx.

De plus, le moment de l'élément dY étant a:dV = «y*a;da:, le moment du solide total est

IL'rrrwfy'xda;, d'où X'=^^Ç^. (1)

J irVv'dx

JyMx '

Lorsque la valeur de Y est connue, on peut la substituer de suite au dénominateur de l'expression (1), et n'avoir à calculer que l'intégrale du numérateur. Mais les intégrales des deux termes ont une telle analogie, la valeur de l'une découle si facilement de la valeur de l'autre, que le plus généralement il ne peut y avoir avantage à substituer à l'une l'expression de la valeur de V.

1" Application. Centre de gravité d*un paraboloïde de révolution. L'équation de la courbe méridienne ou génératrice OA étant (1240)

y« = 2px,

substituant cette valeur de y* dans l'équation (1), on a, en prenant les intégrales entre x= 0 et x = X, et en remarquant que les constantes s'annulent,

gpTx'dx Jx»^

ip\ xdx ^ X«

2' Application. Centre de gravité d'un cône droit. La courbe génératrice OA étant une droite qui a pour équation (1160)

y = ax,

substituant cette valeur dey dans l'équation (1), on obtient, en prenant les intégrales entre les limites x = 0 et x=: X,

a'fVdx |x*

a*clai i X» *

S68 HUITIÈME PARTIB. — N0TI0N9 1»E CALCUL INnNITÉSIMAL.

Résultat identique à celui fourni par la pyramide (1800), et qu'il convient de comparer k cdui donné par la surface latérale du cône (1798).

3* Application. Centre de gravité d'un segment sphérique ÀA'BB' {fig. 594). La coiirbe méridienne AB ayant pour équation (1166)

réquation générale (1) devient, en y substituant cette valeur dey\ et en prenant les intégrales entre les limites x=:xf eix^af\

\ r»dx — \ x*dx r»(x''— x') — ^ + ±.

^(«"•-a:^)-i(ar"*-x'*)

rV'— a')— |(«"' — a;")

Appliquant cette formule a la demi-sphère, ce qui revient à y faire x'=: 0 et i* = r, on obtient

Ainsi le centre de gravité d'une demi-sphère est distant da centre d'une quantité égale aux r du rayon.

1802. Théorème de Guldin. V Surf ace de révolution engendrée par une courbe pkme quelconque» Il suffit d'appliquer ici les notations du calcvl différentiel et du calcul intégral au raisonnement du n"" 1585. L'axe dt révolution CD {Jig. 491) étant pris pour l'axe des x, et x et y étaakt les coordonnées du point M, la surface dS engendrée par l'élément dL=MN de la courbe génératrice AB est, à la limite,

dS = 2:rydL.

La surface engendrée par la courbe totale AB = L est alors

\dS ou S = 2«\ydL.

yAL étant le moment de l'élément MN par rapport à l'axe des x, le moment de la courbe totale est, en désignant par Y l'ordonnée du centre de gravité G de cette courbe.

YL = ÇydL.

Par suite, on a, comme au n* 1585,

S = 2kYL.

lUrONS DE GTRATION ET MOMENTS D*11fEETlE. 063

Si, par exemple, la courbe génératrice est une circonférence de rayon 7 qui tourne autour d*un axe extérieur situé dans son plan, on a

L=2Kr et S=iJc«Yr.

2* Solide de révolution engendré pccr une courbe plane qmelconque ABC f jtfjr. i^%). L'axe de révolution DE étant pris pour Taxe des x, et ^ et x étant les coordonnées du point M eXy* et ûif celles du point m, le volume dV engendré par Télément de surface dS = MNntn est

dV = r.{y* - y '«)dx = n{y + y') {y ^y')Ôz. Le volume engendré par la surface totale ABC est alors

JdV ou V = iijfy + y') (y~y')dx.

^ ^ étant l'ordonnée du centre de gravité de Télément MNmn et

[y — yl^ é^i^t 1& surface de cet élément, le moment de la surface ABC est, Y étant l'ordonnée du centre de gravité G de cette surface ,

SY=iJ(y + y')(y-y')dx.

Par suite, on a, comme au n** 1585,