RÈGLE D*ANNU1TÈ
572. Un capital étant prêté k intérêt composé (357), on appelle annuitéy la somme, ordinairement constante, qu*il faut payer à la fin de ckaque année, pour rembourser en un nombre déterminé d'années le capital et les intérêts.
375. Quelle est V annuité x qrjCil faut 'payer pour rembourser en 4 ans le capital 4000 /r. prêté à 5 7o^
Les 4000 fr. comptant valant au bout de la 4* année (4*, n* 360)
4000 X 1 ,05* = 4000 x 1 ,2i 5 506 = 4862 fr. ,
les quatre payements réunis, évalués à cette époque, doivent valoir 4862 fr.
Or le premier payement x, effectué à la fin de la l'* année, vaut, à la fin de la 4* année, x x 1,05'; celui effectué à la fin de la 2* année vaut, à la fin de la 4* année, x x 1,05'; celui de la 3* année vaut, à la fin de la 4% 2 X i,05, et celui fait k la fin de la 4* année vaut x k cette même époque; donc
X X i ,05" + X X 1 ,05" + a: X 1 ,05 + X = 4862 fr.
ou (n* 32) x(l ,05* + i ,05» + i ,05 + 1 ) = 4862 fr. ,
ou encore, en remarquant que la quantité «ntre parenthèses est la somme des termes d*une progression géométrique dont le premier serait i, le dernier 1,05', et la raison 1,05 (n« 342)
d'où Ton tire
Ce qui fait voir que l'annuité s'obtient en multipliant le capital évalué à la fin de la dernière année par Vintérèi de 1 fr. pour un an (par 0',05 quand le taux est k 5 ^/q), et en divisant le produit par V excès sur Vunitè de la valeur que prend 1 fr. prêté pendant tout le temps.
Vérification. Le capital 4000 fr. vaut k la fin de la première année 4(K>0x 1,05 = 4200 fr. Après avoir fait le premier payement, il reste dft 4200 — 1 128,05 = 307r,95. Ce nouveau capital vaut k la fin de la seconde année 3071',95 x 1,05 = 3225',55. Après le second payement, on doit encore 3225',55 — 1128',05 = 2097',50. Ce troisième capital vaut k la fin de la troisième année 2097',50x 1,05=? 2202',38, desquels retranchant le troisième payement, il reste àti 2202S38— 1128',05=:1074',33. Ce nouveau capital devient k la fin de la quatrième année 1074',33 x 1,05 = 1128',05, que Ton acquitte par le dernier payement.
La colonne d de la table du n<* 361, en donnant la valeur actuelle
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.134 PRElUÈftS PARTIE* — ÀRITBttéTIQDE.
d'une rente annuelle de i fr. payable pendant 1, 2, 3... 60 ans, permet de résoudre le problème précédent à l*aide d'une seule division. En effet, pour une rente annuelle de 1 fr. pendant 4 ans, le capital primitif étant (colonne.(2 du 5 V«} 3',545d5t, l'annuité à payer pour Demboorser les 4000 fr.^sera
*^®^ :im,05.
S! Ton a à résoudre le problème inveise, c'estrà-dire à déterminer le capital à placer pour se procurer une annuité de li2&%QS. pendant 4 ans, rintérét étant à 5 Vo» 1& ^^^^ donnant 3',545951 pour le capital correspondante ramuitédiei fn, le ««pilai ohensbéeat
liatv^ X M<fi^9Si 23«4ÛM fit
TflORABttITÉS, RENTES TIAGÈRES.
VTA. La jfrababilité mathémafique d'un événement est le rapport du B«nibre des cas favorables k cet événement au nombre des cas possibles, tous ces cas étant également possibles (voir combinaisons, en algèbre).
Exemple. Dans une urne on place 12 boules égales, dont 5 blanches ei 7 noires; en en tirant une au hasard, la probabilité qu'elle sera
blanche 'est— . En tefffet, 1è nombre de» cas possibles est 12, puisque
Ton peut prendre indifféremment L'une quelcon^e defr.iS.beulesiipii
se trouvent dans Turne, et celui des cas favorables est 5, puisqu'il y a
5 boules blancfae&
La probabilité que Ton tirera une boule noire est -^.
Iz
Si un joueur parie qu'une boule blauche soriica, contre un second
joueur qui parie, pear une boiule. noire, rei|jea« ^.fr. par exemple, du
premier sera à celui x du second, dans le rapport direct des probabi-
U4és qa'ile ont de gagner. Ainsi Ton aura
i»'x^ à- â =^*-'^' dV>ù'* = ^^=«8^,««.
%W. Si PétfénêfMni, au lieu d^ètre simple, comme au numéro préeédent, est composé de plusieurs' événements^ simples^ la probabilité est égale au produit des probabilités partielles de tous les événements «Impies.
Exemple. Une* première urne contenant'5 boules blanches et7 noires, cA une seconde en contenant 3 blandies et 8 noires, la probabilité qu'en tirant'une boule nie chaque urne elles seront toutes les deaxbianches est
576. La prolwtyttfcé d'uA éfBénemmt qtà peiU^ acoi» Heu de plusieursmanières distinctes est égaie à la somme de ses probabilités dans les diverses manières dont il peut arriver.
Exemple. L'ne umc contient 5 boules blanches et 7 noires, une autre en contient 3 blaaches et 7 noires, et une troisième 9 blanches et 4 noires; qntlte est la probabilité qne Ton tirera une boulé blanche en portant au hasard la maki dans Tune quielconque des uruo»?
Hn nsinarquant que la* probdnlité que Ton portera la main »ur la première, la deuxième et la troisième urne» ctqu'on en tirera une boiiî(^
blaache étant rcspectivepcnt (374 et 375) 3Xj3»3^î5^3^Î3'^* proèatiiCté demandée est
3' ia ^ 3 ^ ta ^ 3 ^ tô ^ * \i2 ^ 10' 13/ "* as
597. On appelle table de morialUé^ une table qui oontient^ sar un grand nombre N de naissances, les nombres Nj, N,, N^ — des maividos qui vivent après i an, 2 ans, 3 ans, «'te. Nous dûonons celle 4c Duiillard et celle de Oeparcieux.
La table 1 est celle que Duvillai*d a publiée on 1806, dans son Analy&r de lirtjluence de la petite véi'ole sur la mortalité. D'après^ son auteur^ elle représente tous les résultats de la mortalité générale, d'après uii grand nombre de faits recueillis avant la révolution en divers lieu» dt^ la A-ance, et elle doit représenter asser» exaetoinefit la loi.dio mortalité. Xais fusage de la vaccine et ramélîoratfon îles conditions hygiéniques en général font que la table de Duvîllard donne une mortalité beaucoup trop rapide pour Tétat actuel de la population en France.
La table qfue ûepameiuL a conatruito, vors^ 174^4 paur dA)& tèlit^ choisies, donne une mortalité beaucoup moins rapide que celle de Du- \ illard. Cette table avait été dressée pour 1000 enfants âgés de 3 ans. Complétée pour les premières années et légèrement modifiée par M. Mathieu, elle a fourni la table 2 suivant(î, qui donne, avec une approximation suffisante pour les applications ordinaires, la distribution actuelle aux différents âges en France, où, pour une population totale de 34860387, on compte annuellement et en moyenne 970000 naissances et 810000 décès.
La table 3 donne la population de chaque âge en France pour IOOOOOOd*habitants.
Les tables de Duvillard et de Deparcioux sont employées en France par les compagnies d'assurance sur la vie; la première, pour calculer les sommes payables au décès des assurés; la seconde, pour calculer les rentes viagères, parce que, indiquant une plus longue jouissance de la rente, elle conduit à un tarif de concession plus élevé.
196 PREMlftRB PARTIS. ^ ARITHXiTIQtnt.
