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578. La probabilité qu'a un individu âgé de 20 ans, par exemple, d^atteindre au moins Fàge de 50 ans est (374)
En effet, d'aprèfs la table de Deparcieux (377), sur 814 cas possibles, il y en a 581 de favorables.
579. La me probable d'un individu est Tâge qu'il a autant de chance d'atteindre que d« ne pas atteindre; c'est, par conséquent, Tàge auquel
la probabilité que l'individu a d'atteindre est égale à -. Ainsi, en con-
sultant la table de Doparcieux, on voit que la vie probable d'un individu à sa naissance est de 42 ans; qu'à 20 ans elle est comprise entre 64 et 86 ans; elle est de 64 ans 2 mois, c'est-à-dire qu'à 20 ans io nombre probable d'années qui lui reste à vivre est de 44 ans 2 mois, c'est ce nombre que donne la table dans la cinquième colonne.
580. La vie moyenne est la moyenne des âges auxquels sont mortes un grand nombre de personnes (377).
Pour trouver la vie moyenne f , à l'aide de la table de mortalité de Deparcieux, on remarque que sur 1286 nouveaux-nés, 1286—1071 sont
\ morts pendant la première année, et ont vécu moyennement -r année;
LIVKK Tl. — RÈQUnM^IVBUM. i 39
de sorflfr'que Ja somme des-teaijps' pmidanl t«9qiid«41è*oiit^Té««i*e8t kpea
près égale k 3 (1286^-1071) ans. Ceux qui meurent pendant Ja 2* année
1 3 vivent en moyenne 1+3=5 *^^» ®* ^* somme des temps pendant les-
quels ils ont vécu est à peu près â,(*^'7^ "~" ^006) ans. Pour ceux qui
meurent pendant la 3* année, cette somme est - (1006 — 97D) ans, et
.«wsi.df saite juaf|i'à«lA W «noée. Qa at^iora
ex 1286= I (1286— 1871) + | (1071— 1006) + | (1006— 970) + ... 1 . 1071 +1006 + 970 4-... +4 + 24-1
dm «K=--h Ï5gg
Ainsi la vie moyenne est égale k la moitié d'une année plus le quotient de la somme des nombres de vivants k chaque âge, k partir de la prenère année, pair le Dombi«"l2B6 de nonveauiHOféSi Eééctiiant les ealcnls, on trouverait t? = 39 ans 8 mois, valeur consignée dans la ifmr tmoie cDÉomie d&lftidriB. bes nombreside vivants a clwqae âge sont iiBKiits dans IfiideuxièKnfi oolaiiAft de iiKtaide, et leam* SMUue pour càaque âge-a» trouva dans lat trokièmer aolcnne.
Af^lant^d^ine manière générale, trie moyenne co qu^ il resite moye»nitninfrtii û»» kun inâiridn. d'un â^e qneloonqno, on ta» dé^evmîiiMa comme pour le nouvean-né. Ainsi la vie.moy«me d^undndivida âgà'de 20 ans, par exemple, sera
« i . 806 + 798+790 + ...+4-f2 + l 1 . 32332 .^ ^„^ , ^^;^ r=^ + gjj =-+.g^=40ans3mois.
Cest cette vie moyenne squi est inserite dans. la quatrième colonne de la table.
5*1. Un piaeement estifit àfimàs 'perdu^ lorsque 'emprotrtefir s-*engage à rembourser lè capital etles intérêts aumoyend'un certain 'noin>bre de payements, effectués k des époques convenues jusqu'à la mort de rîndividu. Chaque payement est une retiie viagère, qu'on suppose ordinairement constante et annuelle.
591SL Soit àdéterminer la renie viag^ r d^im capiùU c plctcé par wte personne âgiéetdaÀ^aug, par exemple,
Sii|»|N>sanLqiie les 622.pei«Qnne6qui, sur 1286: naissanees)» vivoniieocore à 45 ai» (337, 2* table], aient placé chaanneie oapilaL cauvr mêmes conditions; comme il n'en existera plus^i Fâgede 46 ans qno-^loy Tempnijiteur aura doncA papier k la fin de lapremièro' année un& somme r X 615; de même k la fin de la 2* année de prêt il auraàvpayer rx 6(117.; àla fin de:la3* année^ r x.!i99, et.ainsi de suila. Mais tautes fies-sommes kpayer doivent valoir comptaAt.le capital :totAlf que reçoit J^cmprunfteur;
140 PHBHltM PARTIE. — ARITBIlATianB.
donc, en désignant par t Tintérét de i fr. par an, on a {¥, n*360) r ^^ ^,^ ' r . r
cx6M =
rn ^ "^ + F+Tp ^ «*>^ + (Tm)* ^ **» + ••-
d'où l'on peut tirer la valeur de r ou celle de c, selon que c ou r est donné.
On peut résoudre ce problème de la manière suivante, qui est plus expéditive.
A 45 ans, la vie probable est de 24 ans il mois (377, V table); c'est donc pendant 24 ans que sera payé la rente annuelle r, et Ton doit avoir
^ "" ÎTl "*■ JïTW "*■ ini? "^ ••• ■*■ WTW
En évaluant le capital c et les rentes r à la fin de la 24* année, on a encore (1% n* 360)
c(l -fO"* = r(l + 0** + r(i +<)••+. ..+r(l+/)4-r.
Chacune de ces formules permet de calculer c ou r quand r ou c esl donné.
Enfin, la colonne d de la table du n* 361 donnant la valeur actuelle d'une rente viagère de 1 fr. payable pendant 1, 2, 3 ... 60 ans, cela permet de résoudre le problème précédent avec la plus grande simplicité. Ainsi, pour le taux < de 5 ^f^, par exemple, une rente viagère de 1 fr. payable pendant 24 ans valant argent comptant 13',798 642, la rente r payable pendant le môme temps vaudra comptant
r, d'où c = rx 13,798 642 fr.
Pour r = 5000fr., on a
La compagnie d'assurance, pour couvrir ses frais et s'assurer un bénéfice, exigerait pour c une valeur un peu plus grande.
