Lorsqu^jn a deux progressions tefles que
Vume géométrique dont Fun des termes est Tunité, l'autre arithmétique doBt l'uD des termes est 0 et correspond au terme 1 de la progression géométrique (35» et 337), chaque terme de la progression arithmétique est le logarithme du terme correspondant de la progression géométrique. Ainsi le logarithme de 07, que Ton écrit log 27, est égal à 6.
144 PREMIÈRE PARTIE. — ARlTHlIÉTIQUe.
589. La raison de la progression géométrique ost la base du système de logarithmes.
590. Au lieu de considérer les logarithmes comme étant les termes d'une progression, on peut supposer qu'ils sont les degrés des puissances d'un nombre constant. Ce nombre constant est la base du système de logarithmes, et Tune quelconque de ses puissances a pour logarithme le degré de cette puissance. Ainsi, 3* = 9, 3' = 27, 3® = 1,
3~*= ^ = - (276), ont respectivement 2, 3, 0 et —2 pour logarithmes
dans le système dont la base est 3.
591 . iO est la base du système de logarithmes dont Tusage est le plus habituel, et que pour cette raison on appelle logarithmes vulgaires. Briggs a le premier publié des tables de logarithmes pour cette base.
Dans le système de logarithmes vulgaires, les deux progressions du n* 388 deviennent
qui reviennent, en considérant les logarithmes conmie exposants, à la suite de puissances (390).
... iO-* 10-^ 10-* 10-MO» 10* 10» 10» 10* 10» ...
592. Cette suite de puissances prolongée indéfiniment dans les deux sens, de même que les deux progressions continuées de la même manière, ne contiennent que les nombres ayant pour logarithmes la suite des nombres entiers positifs et négatifs; mais Ton conçoit qu'on peut insérer entre chaque terme de la progression géométrique un assez grand nombre de moyens géométriques, pour que deux termes successifs de la progression qui en résulte diffèrent d'aussi peu que l'on veut, et en insérant le même nombre de moyens arithmétiques entre les termes successifs de la progression arithmétique, les termes de la nouvelle progression seront les logarithmes des termes correspondants de la progression géométrique, et la différence de deux logarithmes successifs sera encore aussi petite que l'on voudra (333 et 343).
De même, on peut prendre pour exposants des puissances successives de la suite précédente, des nombres qui diffèrent entre eux d'aussi peu que l'on veut, et les puissances successives différeront encore entre 4»lles d'aussi peu que l'on veut.
Alors on conçoit qu'un nombre donné quelconque sera un terme de la progression géométrique ou une dos puissances de la suite précédente, et il aura pour logarithme le terme correspondant de la progression arithmétique, ou encore l'exposant de la puissance. De môme, un nombre donné sera un terme de la progression arithmétique et un exposant d'une puissance, et il sera le logarithme du terme correspondant delà progression géométrique ou de la puissance.
LITKE Ttl. — LOGARITHMES. 145
Ainsi un nombre quelconque positif a un logarithme^ et un nombre quelconque positif on négatif est le logarithme d'un rmmbre positif.
On conçoit qu'on ne peut dresser une table contenant tous les 'nombres, soit comme nombres soit comme logarithmes; mais il en existe d'assez étendues, et dont les différences de deux nombres successifs ou de deux logarithmes successifs sont assez petites, pour que les nombres sur lesquels on opère dans la pratique s'y trouvent avec des valeurs tellement approchées, qu'on peut prendre ces valeurs approchées pour les valeurs exactes.
395. Cela établi, soit que l'on considère les deux progressions ou les puissances de la base (39i), on conclut ce qui suit, que nous donnons pour les logarithmes vulgaires, mais qui s'applique à un système quelconque en remplaçant la base 10 par celle de ce système :
r Le logarithme de la base 10 est l'unité;
y Le logarithme de l'unité est zéro ;
3* Le logarithme d'un nombre plus grand que l'unité est positif;
4* Le logarithme d'un nombre plus petit que Tunité est négatif;
5* Un nombre négatif n'a pas de logarithme;
6' Le logarithme du produit de plusieurs facteurs *^'=ïaa» ^^* = *^
et 10* = 10000 est égal à la somme —% + 1+4 = 3 des logarithmes des facteurs :
log(10-*x 10» X 10^) =:log i0-*+H*=: log 10» = — 2 + 1 + 4 = 3 (267).
Le logarithme 3 correspondant a 10' = 1000, c'est que 1000 est le
produit des facteurs j^, 10 et 10 000.
La muliiplication s'opère ainsi à l'aide (Tune addition.
V Le logarithme d'une puissance (lO')' d'un nombre 10* = 100 est égal au logarithme 2 de ce nombre multiplié par le degré 3 de la puissance :
log (10*)» = log 10*^» =2x3 = 6 (268).
Le logarithme 6 correspondant k 10» = 1000 000, c'est que Ton a
On peut donc élever un nombre à une puissance au moyen d^une simple multiplication,
8* Le logarithme du quotient d'un nombre 10» = 100000 par un nombre 10» = 100 est égal au logarithme 5 du dividende moins le logarithme 2 du diviseur :
log Y^ = log 1 0»-» = 5 - 2 = 3 (276).
3 étant le logarithme de 1000, c'est que 1000= —^^, et l'on voit
qaa la division s'effectue au moyen S une soustraction.
9* Le logarithme d'une racine d'un nombre 10» est égal au loga-
i46 PRElMtalS'nAATAR. — .ABIWMKrfQDI.
^xitbnie.6 de ce AOmtMFO.ilLvi^é.par.lJiodiQe de k moâiie.: Le riog8Dfthin« 3 corFaspondaiit q <f 000, ' c'est tftre
Les extractions de racines s'effectuent donc au moyen de la'diniswn.
10* Suivjuituiu'uu.nûmbre est cojoapjpiafeatFe 1 et iO-,»etitnB lOet^OO, entre 400 et iOQO, retc., son logArithme est ^r eapic^ctÂvâmeol roompris entre 0 et l,,ejatre 1 .et il,.entre 2 et 3,.atc*; d'où U 'miit^ ks <k^garithmes éta/nt.évaliUs.en dédmalefi^ fia partie entih:e du logamilmif* dun nombre entier, ou Suri nomhre déédmal plm-ffrtmd que Vwrtitêi^ contient autant d'unités moins une qu.il y a de chi/fi'es dansylw.paiiie ienUère du nombre prpjiofé.. Ainsi, cette partie entière est 3:pûijir:le nombre 4725, et 2 pour celui 8^7,^4.
De même, un nombre cojEQpris entre 1 et 0,1, enrtPcA^itetiO^Ol, entre 0,01 et 0,001, etc., ayant son logarithme respectivement compris entre ;0 et — 1, entre — let — 2, entre —2 et — 3, etc., la partie entière du logarithme d^un nombre décimal, Tnainàre que Vunilé, eùnHeni tmtOHt ^unités qu'il y a de zéros entre la virgule et le premier chiffra ^ignifi" catifdu nombre proposé. Ainsi cette partie entière est 0 pour le nombre 0^236 et — 2 pour celui 0,00326.
594. La partie entière, positive ou négative, d'un logariibiue se nomme caractéristique. On donne quelquefois le nom de mantisse à la partie décimale.
39o. Du n* 393 il. résulte ^ue connaissant le logarithme d'un nombre, pour en déduire le logarithme du produit ou du quotient de ce nombre par Funité suivie d'un ou de plusieurs z^éros, il suffit d'augmenter ou de diminuer le logarithme donné d'autant d'unités qu'il y a de zévos à la droite de l'unité.
Ainsi, ayant log 68 = 1,832 5089, on a log 6 800 = 3,8325089;
et ayant log 3 657 = 3,752 5862, on a log 5,657 = 0,752 58«2.
En effet, on a {e** et 8* n* 393)
log (68 X 100) = log 68 -f- log fOO = log 68 + 2,
log 1^ = log 5657 — log 1000 = log 5657 — 3.
Ce qui fait voir encore que lorsqu'on augmente ou qu'on diminue l** logarithme d'un nombre d'une ou de plusieurs unités, le résultat est If* logarithme du produit ou du quotient de ce nombre par une puissance^ de 10 d'un degré égal au nombre d'unités dont on a augmenté ou di— «ninué le logarithme donné.
>Lt9Re vil. ^ LOGARtTHHSS. 147
Ce qai pnécèëe fait voir aMasi^^e les logarithmes des produite o« ides guotients d'un même nonJirecpar los d^erses puissanoefi de i9 rtt^iàl-
fèrent que par la caractéristique , qui augmente ou diminue d^autant
d'imités qu'il y en a dans Teiposant «de la 'puissemce de 10; la partie
décimale est la même.
S9C. De ce qui vient d'ôtre dît (395), il résulte que pour déterminer
le îogarifhme Sun nombre âédmal, il suffit d'en prendre le logarithme
abstraction faiite de la virgule, et de retrancher de ce logarithme ou, co
qui revient au même, de sa caractéristique, aatanlt d^uirités ^u'il y a do
chiffres décimaux dans le nombre proposé. Du reste, ayant 18,27 = -77^7^^
lOO
on a («• n* 393)
kig 48,«7 a= log ^mn— 2 = 3,261 7385 — 2 = 4,«6i 7385.
çtaa
De même, ayant 0,826 = - -, on a
log 0,826 = iog 826 — 3 = 2,91 6 980 05 — 3.
397. Le logarithme de 826 étant momdre que 8, on voit, ce qui a déjà été établi (393), que le logaritTime de 0,826 et en général ceux de tot's Us nombres moindres que Vunité sont négatifs. Pour exprimer la valeur •de ^Oytt€, on retmuiehe 2f9(l'698005 é» 3 et «n donne an reste io signe — . Ainsi Ton a
log 0,826 = — (3 — 2,916 980 05) = — 0,083 019 95.
Q eM plm o^mmode «dans ies oalottle de ne rendre n^ative %«ie la i^aitact^istique. 'Pour cela, 4>a retranche seulement la caractérifiti<|up $iée 3, et on prend k différence A pour la oaracléristique, mars en r^ffectant du signe — , que Ton écrit au-dessus de cette caractérisdiipK^ pour indîquor qu'elle est soie négative. On a de cette manière
log 0,826= 1,916 980^5.
On aurait 4e même
log 0,0826 = 2,916 980 05, et log 0,00826 = 3,916 9S0 05.
WB. Le compèémen^ d'zm nombre positif est ce qu'il fatft ^dolter à t» nombre pour obèenir un notfribfe «entier égal à runité suivie d'autant à^ ftéros fii*il y >de -eàiffres dans la pan^ie «ntière'du nombre proposé. Ainsi Ton a
Le complément d'un fionÉ)re positif s'obtient faciicnient : il suffît (io relrancher -de 9 chaos n 4le ses^chiffres, à l'exception du dernier «dnlUro s^ifîcatif « droite, que l'on retranche de iO, et de fairesutvre les'ehPfircrs Ein«i obtenus des zéros iqui peuvent terminer à droite 4e norahre pro- DOsé I
fis PREMIÈRE PARTIE, — ARITHMÉTIQUE.
Le compléniPiit d'un logarithme positif est alors le résultat qu'on obtient en retranchant ce logarithme de iO unités. Ainsi Ton a
cUog 826 = iO — 2,91698005 = 7,08301995.
Ce complément s'obtenant très-facilement, quand, dans une opéraration, on a k retrancher un logarithme, on ajoute son complément et Ton retranche 10 unités de la somme, ce qui conduit au même résultat
Ayant, par exemple, à calculer — ^^ — , au lieu d'écrire
log —^^ = log 127 + log 39 - log 826
on dispose ainsi l'opération
log 127 =2,103 80372
log 39 = 1,59106461
c* log 826 = 7,083019 95
Le résultat cherché est le nombre 5,9964 correspondant au logarithme 0,77788828 (voir la règle du n* 30).
599. Disposition et usage des tables de logarithmes. Il existe un assez grand nombre de tables de logarithmes. Toutes donnent les logarithmes de tous les nombres entiers, ordinairement jusqu'à 10 000; celles de Callet vont jusqu'à 108000. On a quelquefois supprimé les caractéristiques, qu'il est toujours facile de former pour chaque nombre ilO» n* 393).
Les logarithmes des nombres compris entre 1 et 10, 10 et 100, etc., étant incommensurables, on n'a pu mettre dans les tables leurs valeurs exactes. Dans la table de Callet on a donné leurs valeurs les plus approchées en conservant 8 décimales pour les nombres entiers moindres que 1200 et pour ceux de 100000 à 108000, et 7 décimales pour les nombres entiers de 1200 et 100 000 (175). La table de Jérôme Lalande donne les logarithmes de tous les nombres entiers jusqu'à 10000, avec 5 décimales. M. Marie a poussé cette table à 8 décimales pour les nombres entiers ne dépassant pas 990 et à 7 décimales pour les nombres entiers de 990 à 10000.
Les tables contiennent les nombres dans la première colonne verticale, leurs logarithmes approchés dans la seconde colonne, et les différences des logarithmes consécutifs dans la troisième.
Supposons que nous avons à notre disposition la table de Lalande à 7 décimales, et proposons-nous divers problèmes à résoudre à l'aide des logarithmes. Il sera facile de voir de quelle manière on opérerait dans le cas où les tables seraient plus ou moins étendues.
400. l*' Problème, Trouver le logarithme d'un nombre donne' :
LITRE yil. — LOGARITHMES. 149
1* Uun nombre entier 847 qui se trouve dans la table ^ c'est-à-dire moindre que 10 000.
On cherche dans la première colonne verticale de la table le nombre 847, et son logarithme 2,927883 41 se trouve, sur la même ligne Horilontale, dans la deuxième colonne verticale.
¥ D'un nombre entier 487 346, qui ne se trouve pas dans la table.
On sépare sur la droite de ce nombre assez de chiffres décimaux, pour que le nombre 4873,46 qui en résulte approche le plus possible de la limite supérieure 10000 de la table sans la surpasser; on opère ensuite de la manière suivante :
Puisque Ton a 487346 = 4873,46 x 100, on a (395 et 396)
log 487 346 = log 4873,46 + log 100 == log 4873,46 -f 2.
Ce qui ramène le problème à déterminer le logarithiûe du nombre 4873,46. Or 4873,46 étant compris entre 4873 et 4874, son logarithme est compris entre les logarithmes tabulaires 3,6877964 et 3,687 8855. Pour obtenir la quantité x qu'il faut ajouter au logarithme de 4873 poar avoir celui de 4873,46, on prend, dans la troisième colonne verticale de la table, la différence 0,000 0891 entre les logarithmes de 4873 et de 4874; cette différence de logarithmes provenant d'une différence d'une unité entre les nombres, pour la différence 4873,46—4873 = 0,46, on aura, en supposant, comme on peut le faire pour de petits accroissements, que les différences des logarithmes sont proportionnelles aux différences des nombres,
On a alors log 4873,46 = 3,6877964 + 0,000 0410 = 3,687 8374,
et, par suite, log 487 346 = 5,687 8374.
On obtiendra ainsi le logarithme d'un nombre entier quelconque.
La table de Callet donnant, au-dessous de chaque g^l différence des tables, les valeurs les plus approchées des produits de cette différence par les 9 premiers multiples de 0,1 en ne conservant que 7 chiffres décimaux, cela permet d'abréger le calcul de la valeur de X, Ainsi, pour obtenir le produit de 891 dix-millionièmes par 0,46, comme 891 x 0,46 == 891 x 0,4 + 891 X 0,06 (32), on prend, au-dessous de 891 et à la droite du chiffre 4, le produit 356 dix-millionièmes de 891 dix-millionièmes par 0,4; puis, à la droite du chiffre 6, le produit 535 di^t-millionièmes de 891 dixmillionièmes par 0,6, ou 54 dix-millionièmes pour le
produit de 891 dix-millionièmes par 0,06. On a alors x = 0,0000356 +
La table de Callet ne donnant les différences et les multiples de cet
différences que pour les logarithmes des nombres supérieurs à 10800,
1«0 PREMIÈRE PAilTIB. — ARniMiTIQUE.
iHiiifféreiice 89i ne s'y trouve pas; mais l'exeinple qae nottsayon» choisi montre comment Ton opérera dans tous les cas. 9» dispose les calculs comme lUndique Texompl» suivant:
Nombre WI.^A6^
log4873 =3,6877964 pour 0,4 356, pour 0,06 54.
log 4873,46 = 3,6878374 log 487 34^6 = 5>68T»374
La proportionnalité admise entre les aceroissâments dos^ logarithmes et ceux des nombres, ne permettant guère de compter que sur Texactitttde des résultats fournis par les deux premiers chiffres décimaux du nombre proposé préparé de manière qu'il' ne dépasse pas la limite de lli» table, on peut considérer comme inutile de tenir compte de ceux qui peuvent suivre les deux premiers.
3? D'ujie fraction. 7. On a, d'aprèa le 8» n" 393,,
log I = log 7 — log 4 = 0,845 O08O4.^a-,6O2^W 99'= 0;243'03«0f^.
SI Iti fraction était moindre que Tunilé, le logarithme de son^dénomtn»^ teur serait plus grand que celui de son numérateur, d*où if résulterani que le sien serait négatif. Ainsi Ton a, conformément à ce qui a été dit n° 397,
log ^ = log 24 — log 47 = i,380 211 24 — 1,67209786 = — O.S}94 886 62
ou — i 4. 1 - 0,291 886 62 = T,708 1 13 38.
4* D'un nombre déciynal. Un nombre décimal pouvant être considéré comme étant une fraction dont le numérateur est le nombre proposé abstraction faito de la virgule, et le dénominateur, Tunité suivie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres décimaux dans le nombre proposé, on déduit du 3* précédent la règle posée n* 396. Ainsi Ton a
log 4,873 = log 4873 — 3 = 3,687 7964 ^ 3=5: 0^i6877964i. De même,
log 0,048 7346 =.log 4Ô7 346 — 7 = 3^687. 8374 ~7 = 2,680^18374.
401. 2* Problème. Trouver à quel nombre appartient un logarithme donné :
1* Lorsque le logarithme donné se trouve dans ta tablé, le nombre qur lui correspond se trouve à sa gauche dans la première colonne vertrcale. Ainsi le nombre qui a 1,94907809 pour logarithme est 83:
T Lorsque le logarithme ne diffère <Vun logarithme de la table qrte par
bifits ym -^hoéèmn}fm9: I5t
la caractéristique^ on multiplie ou on divi^ leiiombre correspondant au logarithme de la table, par Tunité suivie d^autliiit de s^ros qu'il y a d'unités en plus ou en moins dans la caractéristiqua du 'logarithme proposé que dans celle dulogarithme de la table. Ainsi^pour avoir le nombre qui a 4,919 07809 pour logarithme, on cherche dans la table le nombre 8300 qui a pour logarithme 3,91907809, et eir le multipliant par 10 on a le nombre 83000, qui est le nombrÈf* dfcnt le logarithme est 4,94907809. On serait arrivé au même résultat*en»chterchant dans la table le nombre 830 ou celui 83, qui* ont respectivement pour logarithmes 2,91907809 et: 1,919078 09.
3* Lorsque le logarithme donnée dont la caractéristique est la plus grctnde qui seiimemdans^ là ttxble, c'esffr-à-diiiB 3" pom- la* tablé dé La- Jandè, ne se trouve pasdàns Ih'tocblè, comme; par exemple; 3;2733!'2f7, pouramr le nombre qui' liii'correspond, on remarque qtre le loga-rithme 3,^7331Î7' étant compris entre les logarithmes successrffîj 3,^3i3t» et' 3,2734«49' de là table; le' nombre qui lui correspond est comipTis entre les nombres t5ÎB'etlST7' qui correspondent à ceis lo^rrthmes tabnlaires. lia partie entlère-de cenombre est évidemment IWff*^ pour aToirsa'partie décimale r, ow* prendj dans là* troisième colonne' rerticale de- la table, la difFër«nce'a,0#!)«8l5efftt'e lërs: logafrithnies de' 18f7e etl87T;on' cherehe ensaitela dî#^ence^3;2W31W^35279f 23^28*^: 0,OW079^' entre- le logarithme- donné et' le logaflritlrateimmédîateniettl plus petit. Alors la différence entre les nombres'étant 1 pour une diffc*^rcnce de- 9,0009915' entlie les logarithmes, pmip une difTérence de 0f;0Wi0799 entre lès logarithmes elle sera
Le nombre qui a 3;2t33127 pourlogarithmeestdonic 1876;3î5:
Les produits de là dlfflérence 0,0002315 par les 9f J^}^ premiers multiples de 0,1, que donne là table de Callët(2r, n* 400), permettent encore d'abréger le calcul de la valènrde x. Ainsi, cherchant le produit' 694 qui approche le plus dé 71)9 sans le surpasser, le chiffre 3 qui se t^ouvc à sa gauche est' le chlfff^ des dixièmes du nombre cherché. Prenant* là diïïérenire 799 - 694 = 105, le produit' 926 x o;i =92,6 étant immédiatement inférieur à la dfférence 105, c'est que 4 est le chiffre des centièmes du nombre cherché. Prenant de môme ladlfférence 105 — 93 = ISj; le produit 1157x0,01=11,57, immédiatement inférieur à 12, indique que 5 est'lèchifffe des milHèuïes. Oh a donc 1=^0,345. Qh pent disposer les calculs de la manière suivante :
452 PREMIERS PARTIE. — ARITBlléTIQOE.
log 3,2733127 pour 3,2732328
i*' reste pour
2* reste pour
3* reste pour
Nombre
La proportionnalité admise entre les accroissements des logarithmes et ceux des nombres ne permet guère d*obtenir par le calcul précédent plus de deux chiffres exacts en sus de ceux qui sont fournis directement par la table ; le 3* chiffre peut n'avoir qu'une valeur approchée. Si la table est à 5 décimales, il ne faut guère compter que sur un chiffre exact.
4* LorsqiLe la caractéristique du logariiJirne donné n'est pas 3, et que de plus la partie décimale ne se trouve pas dans la table^ on ramène le cas au précédent, en augmentant ou en diminuant la caractéristique d'assez d'unités pour qu elle devienne égale à 3, c'est^k-^lire égale à la plus grande caractéristique contenue dans la table, afin de trouver le plus de chiffres possible du nombre demandé. On cherche comme au 3* le nombre auquel appartient le nouveau logarithme, en le calculant avec 3 décimales, et on avance la virgule d'autant de rangs vers la gauche ou vers la droite qu'on a ajouté d'unités au logarithme donné ou qu'on en a retranché.
Ainsi, pour trouver ii quel nombre appartient le logarithme 1,273 3127, on cherche, comme au 3% le nombre 1876,345, qui correspond au logarithme 3,273 3127, et en le divisant par 100 on a 18,763 45, qui est le nombre correspondant au logarithme 1,273 3127.
5* Lorsque le logarithme donné est entièrement négatif, on lui ajoute assez d'unités pour que le résultat soit entièrement positif et affecté de la plus grande caractéristique 3 de la table; ce qui revient à ajouter quatre unités de plus qu'il n'y en a dans la caractéristique. On cherche le nombre auquel appartient ce nouveau logarithme, et on avance la virgule d'autant de rangs vers la gauche de ce nombre qu'on a ajouté d'unités au logarithme donné.
Ainsi, pour trouver le nombre qui a —2,3121626 pour logarithme, on ajoute 2 + 4 ou 6 unités à ce logarithme, ce qui donne 3,6878374, dont le nombre correspondant est 4873,46. Le nombre correspondant au logarithme proposé est alors 0,004 873 46.
6* Lorsque la caractéristique du logarithme proposé est seule négative, on lui ajoute assez d'unités pour qu'elle devienne positive et égale k 3; on cherche le nombre correspondant au nouveau logarithme , et avançant la virgule d'autant de rangs vers la gauche de ce nombre qu'on a ajouté d'unités à la caractéristique, on a le nombre correspondant au logarithme proposé.
LiyRE yil. ^ LOGARITHMES. 153
Ainsi, pour avoir le nombre correspondant au logarithme 7,687 8374, on ajoute 5 unités à la caractéristique —2; ce qui revient à considérer le logarithme proposé comme ayant 3 pour caractéristique, ce qui donne 3,687 8374. Le nombre correspondant à ce logarithme étant 4873,46, celui qui correspond au logarithme proposé est 0,048 7346.
402. En faisant usage des logarithnu^s : f Multiplier 5736 j)ar 743 (6% n» 393) :
on a log (5736 x 743) = log 5736 + log 743 = 3,758 6091 +
Le nombre 4261848, qui correspond à ce logarithme, est le produit demandé.
2* Diciser 426i UHpar 743 j[8% n* 393) :
on a log (^^!^43^^^) = log 4 261 848 — log 743 =
Le nombre 5736, qui correspond à ce logarithme, est le quotient cherché.
3* Élever le nombre 17 à la troisième puissance (7*, n* 393) :
on a log (17») = 3(log 17) = 3 x 1,230 448 92 = 3,691 346 76.
Le nombre 4913, qui correspond à ce logarithme, est le cube de 17. 4* Extraire la racine cinquième de 243 (9*, n' 393) :
Le nombre 3, correspondant à ce logarithme, est la racine cherchée.
403. Les moyens 3* et 4** du numéro précédent /ont voir qvCà L'aide des logarithmes on peut obtenir une puissance ou une racine quelconque^ môme d*un degré fractionnaire, <f un nombre.
Soit à élever 125 èi la puissance ~. On a
log(l26^) = i(log«6) = M2^ = 0,69897000.
Le nombre 5, correspondant k ce logarithme, est la puissance r de 125.
On voit qu*élever un nombre à une puissance ? revient à en extraire
la racine cubique (277).
En général, élever un nombre a une puissance fractionnaire revient à extraire du nombre la racine dont Tindice est le degré de la puissance renversé; et, réciproquement, extraire une racine d*un indice fraction* oaire d*un nombre revient k élever ce nombre k une puissance d*UD
lUi PREMIÀK» mOTJS: — AlUTBMénQUE.
dai^ié^dgaLà lUndioerrenverséj^iànm*
Le nombre 512, correspondant à ce lôgarittim^, est* ïà^ranne -on Ifc
puissance - de 64.
Cet exemple ftît vcfir qn'éiever un-mmittre à^une putssaivea d'un defr
gré fractionnaire, - par exemple, revient à l'élever à une puissance égale
au numérateur 3, et à extraire de là puissance obtenue une racine d^un indice égal au dénominateur 2. Cet exemple fait voir également qu'ex^
traire une racine d'un indice fractionnaire, ^ par exemple, d'un nombre,
revient à extraire de ce nombre uneracine ayant le numérateur 2 pour
indice, et à élever la racine à unw puissance d'un degré égal au déno-
minateur3;.ce qui revient à élever le nombre à la puissance -, c'est-a-
dire à élever d'abord le nombre au cube et à extraire ensuite !& racine, carrée de ce cube.
404. Logarithmes népériens ou hyperboliques. Les logarithmes ont été imaginés par le baron écossais Jean Néper, qui en a publiéla déoou^ verte en. 1614. Les logarithmes népériens^ que l'on nomme aussi logarithmes hyperboliques^. k cause du rôle important qu'ils jouent dans la quadrature de l'hyperbole (voir 5* partie), ont pour base lé nombre 2,718 281828 459... Néper reconnut' qu'il aurait» pu choisir un système de logarithmes plus en harmonie que le sien avec notre système de numération, et par conséquent plus convenable pour les calculs numériques, et il adopta le système ordinaire^ dont la base est 1^. Mais la mort Témpôcba de dresser ses nouvelles tables, et il chargea- de cetravail important Henri Briggs, professeur de matHémartiqaes - au collège de Gresham, qui publia, en 1618, année de là: mort de Néper,- une tttble des logarithmes vulgaires des .1006 premiers nombrcd* en tiers; en 1624, il en donna une seconde contenant les logarithmes des nombres entiers de 1 à 20 000 et de 90 000 ». lOOGâB. Les lacunes furent, bientôt remplies par Gellibrand, Gunther et Adrien Vlacq, savants distingués, élèves ou amis de Briggs.
Ai\é, Les logarithmes log.A*et.L. Ad'ua môme nombre A dans deux systèmes, dont les bases sont b et 6', sont en raison inverse des logarjtiimes da ces hases pris dans un système quelconque. Ainsi Ton a^en prenant, par exemple, les logarithmes de 6 et 6' dans le système logA,
d'ûu.
logA logi>î L.X. ""iog6''
LITRE Yll. — LOGARITHMES.
ou, en remarquant que log 6 = 1 (1*, n" 393},
log A = L. A X log 6', et L. A = log A x
logl/'
€e qui permet de passer du logarithme d*un nombre quelconque A dans un système au logarithme de ce mémo nombre dans un autre système.
Soit, par exemple, A = 743, dont le logarithme hyperbolique L. A = 6,6106960, et supposons qu'il s'agisse de déterminer le logarithme vulgaire log A.
La base 6'= 2,7482818 du système népérien a pour logarithme vulgaire log 6' = 0,434 2945 ; donc
log 743 = 6,610 6960 x 0,434 2945 = 2,870 9888.
Ainsi le produit du logarithme népérien d^un nombre par 0,434 2945 est le logarithme vulgaire de ce nombre. Comme on a aussi
