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Échelle des aïaiieenients.en décimètres

En élevant une ordonnée quelconque AN et évaluant l'aire OMNA (Jig. a), on a le travail qui a été accompli par la Force lorsque le projectile a déjà parcouru un trajet égal à OA, ou la

force vive qu'il possède à ce moment. En divisant par la demi-masse du projectile et extrayant la racine carrée, on a la vitesse au même instant; et en faisant cette opération un certain nombre de fois, on a pu construire la deuxième courbe tracée sur la figure, qui est celle des vitesses.

L'aire totale se termine au point coté i°*,i45, nombre représentant la longueur L de Pâme. Cette aire est la force vive avec laquelle le projectile commence sa trajectoire extérieure et mesure, suivant les principes du présent Chapitre, la puissance de destruction qu'il emporte dans ses flancs.

Cette force vive, dans laquelle s'est transformé le travail FL, est susceptible de produire à son tour un travail équivalent. Elle sera alors employée contre une autre force F' qui pourra être, dans l'exemple considéré, la résistance opposée par un massif de terre ou de maçonnerie à la pénétration du projectile. Elle triomphera de cette résistance jusqu'à une profondeur L', telle que le produit F'L' (ou l'aire en représentant la valeur moyenne) lui devienne égal.

L'objet d'une machine quelconque, par exemple le levier, le treuil, la presse hydraulique, etc., se réduit en dernière analyse, comme pour le projectile, à vaincre une résistance F' Je long d'un chemin L'; et l'on voit que la machine a pour fonction, non pas de créer du travail, comme se l'imaginent Jes chercheurs de mouvement perpétuel, mais simplement de transformer du travail, c'est-à-dire de remplacer les deux facteurs F, L de celui dont on dispose, et qui s'appelle le travail moteur y par deux autres F', L' ayant le même produit.

Des deux facteurs F', L', c'est presque toujours le premier F' qui est plus grand que son correspondant F, et il faut alors, en vertu de l'égalité FL=:F'L', que le second facteur L' soit moindre que L. C'est ce qu'on exprime en disantque la machine

nous met à même de surmonter avec un petit effort une grande résistance, mais que le premier est obligé de parcourir un chemin d^autant plus grand qu'il est plus petit.

Dans la pratique, le travail de la résistance à laquelle on a affaire s'augmente toujours de celui de résistances parasites dues à l'action retardatrice du milieu ambiant, aux frottements des solides les uns sur les autres, à leurs vibrations, à leur élasticité imparfaite, à la viscosité des liquides, à des inductions électriques, à des productions de magnétisme, etc. Toutes ces résistances, qu'on cherche à atténuer le plus possible, mais qu'on ne saurait faire disparaître complètement, diminuent l'effet utile du moteur. Aussi ont-elles été assimilées avec raison à des forces réelles, animées d'un mouvement égal, mais contraire, au mouvement de celui-ci. Pour en tenir compte, il suffît d'ajouter au terme F'L' un terme analogue, qui ne peut se déterminer qu'a posteriori (*).

Loin de créer ou de faire gagner du travail, la machine en fait donc perdre forcément, et une machine est considérée comme d'autant plus parfaite que le rapport du travail utile au travail moteur, qu'on appelle le rendement, s'approche davantage de l'unité.

A quoi servent donc les machines?

Leur utilité est de produire l'équivalent d'une division de

(') On reviendra, Chap. X, sur la question des résistances et l'on expliquera, au moins pour quelques-unes, par quel mécanisme elles opèrent la soustraction de travail.

la résistance en parties assez petites pour que Tagent moteur puisse les vaincre séparément. Je dois élever un fardeau de mille kilogrammes à un mètre de hauteur et je ne dispose que d'une force de cent kilogrammes. Si le fardeau peut être fractionné en dix parties égales, le mieux sera de faire l'opération en dix reprises en élevant cent kilogrammes chaque fois : j'aurai dépensé juste un travail de mille kilogrammètres. Si le fardeau n'est pas divisible, j'aurai recours à une machine : je pourrai ainsi le monter tout d'une pièce, mais à la condition de fournir un excédent de travail, par exemple i3oo kilogrammètres au lieu de looo.

Les déductions précédentes ne sont pas autre chose que le principe de V égalité de l'action et de la réaction, et sont résumées avec une netteté et une généralité remarquables dans l'énoncé même que Newton donne de ce principe, sous la forme d'un scolie de sa troisième loi, savoir :

« Si aestimetur actio agentis ex ejus vi et velocitate conjunctim ; et similiter resistentis reactio sestimetur conjunctim ex ejus partium singularum velocitatibus et viribus resistendi ab earum attritione, cohsesione, pondère et accéléra tione oriundis : erunt actio et reactio, in omni instrumentorum usu, sibi invicem semper sequales. » C'est-à-dire :

« Si l'action de la cause est mesurée par le produit de son intensité et de sa vitesse (*); et si la réaction de la résistance

( ' ) C'est-à-dire la vitesse de son point d'application estimée suivant

est mesurée de même par les vitesses et les intensités des forces naissant, dans ses diverses parties, des frottements, de la cohésion, du poids et des augmentations de vitesses : l'action et la réaction, dans toutes les machines, seront égales et opposées. »

Nous appelons l'attention sur le dernier terme a ou augmentations de vitesses » de l'énumération faite par Newton. Il importe en effet de bien comprendre que, si les vitesses ne varient pas, le travail accompli par l'agent {actio agentis) a son équivalent dans celui absorbé par les frottements, les forces moléculaires et la pesanteur; mais que, s'il y a des augmentations de vitesses, elles absorbent pour leur compte, comme de véritables résistances, une portion du travail moteur. Cette portion est représentée par la force vive additionnelle acquise par le système,. et celle-ci ne disparaîtra qu'en se dépensant à son tour sur d'autres récepteurs, faute desquels elle persisterait indéfiniment.

Tout accroissement comme toute diminution de vitesse exige donc un trayail, et c'est en cela que consiste le principe de l'inertie.

Les résistances que Newton appelait réactions contre les accroissements de vitesses s'appellent aujourd'hui /orce^ d'inertie, mot composé qui éveillerait des idées fausses si l'on n'avait soin de dépouiller de leur signification propre chacun des deux mots dont il est formé, et qui ne se seraient jamais attendus à être accouplés ensemble. Il suit de l'énoncé de Newton que si aux diverses forces, tant intérieures qu'extérieures, qui sont en jeu dans un système quelconque en mouvement, on

sa direction. Cette manière d'estimer la vitesse est indiquée par Newton dans un de ses paragraphes précédents; elle l'a été ici à la fin du § 9.

joint les forces d'inertie considérées comme autant de forces réelles, on aura un ensemble de forces se faisant équilibre à chaque instant sur le système entier. Ce n'est autre chose que le célèbre principe de d'Alembert, qui ramène aux équations de l'équilibre tous les problèmes du mouvement. De plus, en posant l'égalité qui résulte de l'énoncé même de Newton, on a immédiatement l'équation générale que l'on obtient aujourd'hui par la combinaison du principe de d'Alembert avec celui des vitesses virtuelles, et sur laquelle Lagrange a édifié sa Ménique rationnelle.

Ce scolie de Newton, qui renferme explicitement les principales méthodes de la Mécanique moderne, était resté inaperçu jusque dans ces derniers temps ; il a été mis en lumière par MM. Thomson et Tait ( * ).

Nous pouvons présenter maintenant sous un nouveau jour la notion de force, en la rattachant à la force vive et au chemin parcouru, de même que nous l'avons rattachée plus haut (§ 7) à la quantité de mouvement et au temps écoulé.

On voit que la force mesure ce qui produit de la force vive, ou augmente ou diminue d'une certaine valeur une force vive existante. Mais cet effet ne saurait se produire si l'objet

(*) Treatise of Natural Philosophy ; Oxîord, 1867. — L'équation à laquelle il est fait allusion dans l'alinéa précédent est celle-ci :

(x.^)ex..(v-„.g)a^,.(z-„.^)a.

de l'action demeure immobile, et le théorème du travail, exprimé par Tégalité

FL =1 ^/wr* — j'^ï^'î

montre que la force est égale à la force vii*e produite divisée par le chemin parcouru, ou, si Ton veut, à la force vivepro^ duite par unité de longueur.

Lorsque la variation de force vive n'est pas la même en tous les points de la trajectoire, il convient de considérer un trajet excessivement petit pour avoir la mesure de la force en un point donné, qui sera le milieu dudit trajet. Le quotient en question, lequel varie aussi d^un point à un autre, devient alors la dérivée de la force vive par rapport au chemin parcouru (comparez §§ 1 et 7).

Dans ce cas, et pour nous conformer à l'usage, nous continuerons à dire que la force est la variation de la force vive par mètre courant. Ainsi qu'il a été expliqué § 1, ceci doit être entendu, non pas de la variation qui se produit effectivement sur un parcours d'un mètre, mais de celle qui se produirait sur ce même parcours si, à partir du point considéré, elle demeurait uniforme.

On aura remarqué sans doute le parallélisme qu'il y a entre les considérations présentées dans ces deux derniers Chapitres relativement à la force vive et celles données dans le Chapitre 111 relativement à la quantité de mouvement, parallélisme que nous avons voulu accentuer en reproduisant les mêmes formes de rédaction. Ajoutons, pour le compléter, que, tandis que la première grandeur a pour unité le kilogrammètre {kilogramme-mètre) ^ l'autre a pour unité le kilogramme-seconde.

Il convient d'ajouter aussi que, dans le présent Chapitre

comme dans le Chapitre II et tous les autres, la force n'est considérée qu'au point de vue des changements produits dans la grandeur numérique de la vitesse. Tout changement pro duit dans la direction de cette même vitesse agit aussi comme une résistance et suppose également un agent moteur, mais pas toujours un travail. Dans une précédente publication (*), nous avons rencontré cet autre cas et fait voir comment s'y évalue la force.

(•) Théorie élémentaire des phénomènes que présentent le Gyroscope, la Toupie et le Projectile oblong; Paris, 1874.

JocpniET. — Énergie, 4

LA FORGE VIVE ET L*ÉNERGIE DE POSITION. 5l