CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFIMES G
Supposons que la série proposée soil convergente, et soit S sa somme; si,/j restant fixe, q augmente indéfiniment, l'intégrale
'f {x) dx
reste toujours inférieure à .ç,^, — 5^i et par suite à S — .v^,i : donc, puisqu'elle augmente avec q, elle tend vers une limite ; il en est de même de l'intégrale
j ^':({x)dx
quand | augmente indéfiniment par valeurs positives.
Réciproquement, si cette dernière intégrale a une limite L, l'intégrale
I 'f {x) dx
Jp
restera, lorsque q augmentera indéfiniment, inférieure au nombre
fp L — I ^{x) dx ;
il en sera de même, à cause de l'inégalité i^ de la quantité s,j — s^, ce qui suffit à prouver la convergence de la série proposée. On a dans tous les cas
(2) G < I 'V {x) dx — (s, — S,) < 'f [p) — 9 {q) ;
Jp
cette inégalité donne lieu aux remarques suivantes :
Si la série est convergente, en sorte que l'on ait certainement
lim. o{q) ^ o,
on voit, en désignant par I\;, le reste de la série limitée au p'«"« terme ':> />) et en faisant croître q indéfiniment, que l'on a
o(x)(/x — ll^<«>(y>); p
Tax!«ery. — Introduclion à la Théorie îles fondions 5
66 IMHODl'CTIO.N A I.A THKOKIF, r>ES FONCTIONS
ainsi, en prenant pour le reste 11,, de la série la valeur
I 'f {x) dx, p
on commcllra une erreur au plus égale au dernier terme conservé
Je vais mainlenant établir, dans le cas où la série est divergente,
des conclusions qui sont évidentes lorsqu'elle converge. On déduit
des inégalités 2 les suivantes :
(3) * ip) ^ * iq) < 9 (p) - r (7) + * (p).
en représentant d'une façon générale par ^ n) la quantité
dx — s„,
où n est un nombre naturel plus grand que a. Ces inégalités montrent que la fonction 4>:/i augmente avec n et qu'elle n'augmente pas indéfiniment ; elle tend donc vers une limite, lorsque n augmente indéfiniment par valeurs naturelles. Par exemple, l'égalité
I — == I02; X, jointe aux remarques précédentes, montre que la quantité
l (n) = I -\ h o -h ••• H log n
tend vers une limite lorsque n augmente indéfininnent ; les inégalités (i) montrent que log n est compris entre
+ o + ... H- - 20 II
Enfin les propositions que l'on vient de démontrer montrent que
CIIAI'ITIU: vil. I.NTK(;ilVI.lvS bKKIMES Q^
la série dont ou ublicul les ternies en taisant x = a, a -<r i, ... [a suffisanimcnl grand dans l'expression
X log a- log- a; . . . log"~' a-(log"x) '"l"*
est convergente si a est positif, divergente si a est nul ou négatif. Si, dans l'intégrale
I o[x)(ix,
Ja
la fonction 05 x^ ne garde point un signe constant pour les valeurs de X supérieures à un nombre fixe, les méthodes précédentes ne peuvent s'appliquer ; c'est ce qui arrivera par exemple si l'on suppose
tf. [x) = sin x^ ou cp(aî) = cos x- ;
on montrera toutefois, dans le numéro suivant, tpie les intégrales
sinx'^(/x, I cosx^dx J 0 ^ ^
ont un sens; ces intégrales jouent un rôle important en physique mathématique et dans la théorie des nombres.
Au lieu de supposer que, dans une intégrale, la limite supérieure augmente indéfiniment par valeurs positives, on peut su{)poser que la limite inférieure augmente indéfiniment |)ar valeurs négatives; si la valeur de l'intégrale
ça
I o {x) dx
tend vers une limite lorsque v^ augmente indéfiniment par valeurs positives, on représentera cette limite par le symbole
o{x)dx.
Enfin si, lorsque y; et : augmentent indéfiniment par valeurs
positives, indépendamment l'un de l'autre, l'expression
I (f [x) dx tend vers une limite, on représente celte limite par le symbole
o{x)dx.
J — oc
Pour que ce symbole ait un sens, il faut et il suiïit que les deux symboles
I <i{x)dx, I ':({x)dx,
J — oc J a
OÙ a est un nombre quelconque, aient aussi une signification ; la somme de leurs valeurs est alors égale à
I ci{x)dx.
En appliquant les métbodes précédentes, on trouvera par exemple que l'expression
I e-^'-dx
a un sens. On démontrera plus tard qu'elle est égale à sJk. Il ne faudrait pas conclure de ce que l'expression
I 9 [x) dx
tend vers une limite lorsque c augmente indéfiniment par valeurs positives que le symbole
I 9 (.r) dx
a un sens. On a par exemple, en désignant par r, V/ des nombres positifs,
r+^ xdx , /ijtLl'
CIIAI'ITISI', VU. I.NTKr.HAI.KS llKKI.MKS (>()
Celte quanlilénc tend vers aucune liiiiile lorsque z. et y; augmentent indéfiniment cl indépendamment par des valeuis positives; elle est au contiaire toujours nulle si l'on suppose y; = ç.
258. — Bien que je n'aie pas l'intention d'exposer les divers procédés qui servent à la détermination des intégrales définies ou indéfinies, j'établirai une proposition fondamentale sur laquelle reposent presque tous ces procédés.
Considérons l'intégrale
je suppose que dans l'intervalle (Aq» Ay la fonction o{xj soit continue et que les nombres a^, a appartiennent à cet intervalle. Soit maintenant/ jy une fonction de la variable j; sur cette fonction, je suppose : qu'elle admette dans l'intervalle (60, b) (*) une dérivée continue/ v}; que l'on ait
enfin que, pour toutes les valeurs de y appartenant à l'intervalle (b^, bj, on ail
Ao^/OO^A;
dans ces conditions, en désignant par 6'/; la fonction de r que l'on obtient en remplaçant x par f[y) dans 9 (ce), on a
j=rVo')/o')«0'-
Soit en effet, en désignant par y une valeur quelconque appartenant à l'intervalle ^^o» ^^ »
Cj On ne suppose pas 6,) < b. La supposition 6,1 = 6 entraînerait Og = a; l'intégrale proposée et la transformée seraient nulles; la proposition resterait \raic, mais la démonstration ne s'appliquerait plus.
■JO l>T«OnrCTION a I.A TIll-tMllK DES 1-ONCTIONS
la fonction ^F y admettra clans lintcrvallc 60, b une dérivée W y égale à '\' y J" y , puisque cette dernière fonclion est continue. Soit de même, en supposant que x appartienne à l'inlcrvalle Go, a ,
la fonction <I\.'.") admettra, dans l'intervalle a„, a\ une dérivée par rapport à ./; égale à es 'x , à cause de la continuité de cette dernière fonction. Si maintenant dans <I> x on remplace x par / y\, on obtiendra une l'onction M'i J^ de la variable y, définie dans l'intervalle b^, b et y admettant une dérivée égale à '}(}')/'(}'; ; dans l'inten'alle 60, b , les deux fonctions M' y et ^!\ (y) ont des dérivées égales, elles ne peuvent donc différer que par une constante, et cette constante est nulle puisque l'on a, pour y = 6^,
Les deux fonctions T y et ^f , j sont donc égales pour toutes les valeurs de y appartenant à l'inlervalle b^, b., en particulier pour y = 6 ; on a donc
c'est ce qu'il fallait démontrer.
Il convient de remarquer que, lorsque y varie de b^ à b, la fonction /'j, qui peut d'ailleurs être tantôt croissante, tantôt décroissante, doit prendre, à cause de la continuité, toutes les valeurs qui appartiennent à l'intervalle ao, a ; il est aisé de voir comment, si elle en prend d'autres, sa variation en dehors de cet intervalle n'influe pas sur la valeur finale de l'intégrale
'Aj)fiy)dy
dont on pourrait alors resserrer les limites; je laisse ce soin au lecteur.
La proposition resterait vraie si, pour un certain nombre limité de valeurs de y appartenant à l'intervalle b^, b , la dérivée/"}' cessait d'exister en devenant infinie : il sulfira de supposer que cette
ciiAPiTRi: VII. — i>Ti;(;nAi i:s i>i:iimks 71
circonstance se présente pour la liiiiile su[)éricure h, et seulement pour cette valeur ; on aura alors, en désignant par h un nombre quelcoïKjnc compris entre />y et l> et par a' le nombre / b' ,
r^.{x)dx= f Hy)f'{y)dy:
si on fait tendre h' vers b par valeurs croissantes, a' tendra vers a, à cause de la continuité de la l'onction f'y et, par conséquent, le premier membre de l'égalité précédente aura pour limite
I ^{x)dx;
le second membre tendra vers la môme limite qui doit, en vertu des conventions adoptées plus haut, être représentée par
r ^{y)f'{y)dy,
quand même/' y; n'aurait pas de sens pour y :=: b.
Au lieu de prendre pour point de départ le théorème relatif aux dérivées des fonctions de fonction, on peut, afin de justilier la règle qui fait l'objet de ce numéro, partir de la définition même de l'intégrale définie ; on arrive ainsi à des conditions différentes, encore suffisantes pour l'application de cette règle et moins restrictives sous certains rapports. Je me contenterai de faire, dans ce sens, les remarques qui suivent.
Si la fonction 'j/ x est bornée et inté":rable dans 1 intervalle i «0, a ; si la fonction f y) est continue et non-décroissante ou non-croissante dans l'intervalle b^, b ; si, danscemême intervalle, elle admet une dérivée bornée /'j ; si l'on a
si enfin, la fonction '\>'y)f'(y), où 'i)(y\ désigne toujours ce que devient 'v x quand on y remplace x par f y ■, est intégrable dans l'intervalle b^, b , on a
f\[x)dx=f ^y)f{y)dy.
72 INTRODUCTION A LA TIIÉORIK nES FONCTIONS
Siipposonns en clTet que la ronclion/ij soit non-décroissante : à chaque nombre i)Osilit'£ correspond un nombre [>ositir r, tel que, sous les conditions
on ait
Ceci posé, soit ^6o, h^, ..., /^„i, h une décomposition de l'invalle (6(1, 6 en intervalles partiels ayant tous une étendue moindre que r, ; si l'on pose
«i=/(^)'---. «„-i =/(6„,), on aura
flo ^ «1 ^ ... ^ «„i < a,
et, de plus, les intervalles partiels qui constituent le mode de décomposition r/g, «,, ..., a„i, a de l'intervalle Qo, «; auront tous des écarts moindres que i.
Soient encore j^o, i^,, ..., |'S„i des nombres respectivement compris entre h^ et ^,, tj et 6^, ..., 6„i et h tels que l'on ait (n"216 ,
a, -a, = (/>,- fe,)/'(3,),
a — a„, = (6 — 6„,)/'(3«-i); soient enfin
les nombres a,,, a,, ..., a„i appartiendront respectivement aux intervalles ao, «i , aj, a^], ..., (a„i, a) et les deux sommes égales
(«1 — «o)'f («o) -h ••• + (fl — a„i)9(a„i), (^ - &o)MW(Po) + - + (^ - 6„-i)HP«-i)/(3.,),
seront des valeurs approchées des intégrales
f\(x)dx, f 'Hy)f'{y]^y>
