COS X TZ

— X sni X

et le second facteur a poiu- limite l'unité quand x tend vers '" par valeurs croissantes; on a d'ailleurs, pour x compris entre o et ",

On a considéré au n° 250 l'intégrale

I log (l — 2 a COS X -+- a-) dx, en supposant a^ § i ; [)Our a = i, la fonction sous le signe I peut

s écrire

log(i — COS x)''^ = log 4 4- l\\og sin ' ;

54 IMRODLCTIO.N A LA lIlliolUK UKS FONCTIONS

elle devient infinie pour x = o; mais ridcnlilé

loiï sin = a;""'" ( a;'' log sin - j,

OÙ 1 on suppose que /• est un nombre positif quelconque plus petit que I et où le facteur qui, dans le second membre, multiplie œ""'" a o pour limite quand x tend vers o par valeurs positives, montre que l'intégrale proposée a un sens ; en appliquant une méthode analogue à celle du n^ 250, on trouve

log(i — ces x)- (/.r = — 2- log 2(').

Les remarques précédentes montrent que l'on peut donner un sens au symbole

* (x) dx

lors même que, dans l'intervalle ao, a\ la fonction o[x), devient infinie aux environs d'un nombre limité de valeurs; cette intégrale est alors la limite d'une somme d'intégrales relatives à des intervalles partiels auxquels il faudrait, pour obtenir l'intervalle total ,ao, a), adjoindre un nombre fini d'intervalles infiniment petits. Si cette limite existe, on dira encore que la fonction /(ce), quoiqu'elle ne soit pas bornée dans l'intervalle fao, a), quoiqu'elle puisse ne pas être définie pour un certaia nombre de valeurs, est intégrable dans l'intervalle Oo, a .

Bien que cette extension de la notion d'intégrale puisse être poussée beaucoup plus loin ' , c'est à ce cas simple, inévitable dès les éléments, que je me bornerai.

(*) La comparaison à (o; — «)"' dune fonction o (x) qui devient infinie aux environs de x = a ne suffit pas toujours à décider de la nature de l'inlc-

'•f (x) dx. On peut alors avoir recours aux critériums logaritiimiques

dont l'usage sera expose au n" 257; le lecteur fera sans peine les légers cliangemcnls qui permettent d'appliquer ces critériums au problème actuel, lequel, comme on le verra ne diffère pas au fond du problème traité au n" 255-

(^) ^oi^les premières pages des Leçons sur l'iiitcgialion et la rechcrclte des fondions primitives de M. Henri Lebesgue.

CIIAI'ITIU: vil.

iMi;(.iiAi.i:s i)i;i i.MKs 55

Plusieurs des llicoicincs dénionUcs pour les Ibnctions bornées et intégrahlos dans nn iiiler\allc donne s'étendent d'cux-mcines aux fonctions intégrables, mais non bornées ; tels sont ccuv qu'expriment

les égalités

[A/(x) -4- V>2 (x)] c/x r= A I /(x) (/x 4- n I (j (.r) dx,

Ja t,'a c/''

OÙ, pour la première, A et li désignent des constantes.

Je m'arrêterai un instant sur le second théorème de la moyenne. Supposons que la fonction f(x) définie dans l'intervalle a^, aj, sauf peut-être pour ^- = ao, ne devienne infinie qu'aux environs de ce point et que lintégrale

f{x) dx

ait un sens; désignons, en reprenant les notations du n" 254, par ç> {x) une fonction non-croissante dans l'intervalle ao, a) et qui ne soit jamais négative dans cet intervalle. On voit d'abord que l'intégrale

J{x) O {x) dx

a elle-même un sens ; car si l'on désigne par a^, al >> «[, deux nombres quelconques appartenant à l'intervalle (aQ, a; et plus grands que «o, mais aussi voisins de ao qu'on voudra, on aura, en vertu de ce second théorème de la moyenne

f{x) (f (x) dx = ixo («0 -+- o)

en désignant par y, un nombre appartenant à llntervalle formé par la plus grande et la [)kis petite des valeurs de l'expression

dx

56 i.MnonicTio.N a la Tiiiiouii:; des io.nctions

quand x varie de o'^ à a"^; mais, puisque l'on suppose que l'intcgrale

r f{x)dx

a un sens, la valeur absolue de [j. peut être supposée aussi petite qu'on le veut, pourvu que a'^ et a,', soient suffisamment voisins de Ofl ; il suit de là que l'intégrale

f{x) o{x) dx

a un sens.

Si, maintenant, on désigne toujours par Ao et A les bornes inférieure et supérieure de la fonction de x

J{x) dx

dans l'intervalle ao, a , puis p^r Aj, et A' les bornes inférieure et supérieure de la fonction de x

fj{x)da

^ ^ ,dx

dans l'intervalle (a^, a on aura

Ao — £^A;^Ao -+- £. A — £<A'<A + £. en posant

J{x)dx\;

le nombre £ peut être supposé aussi petit qu'on le veut, pourvu que a'^ soit suffisamment voisin de a^ ; d'ailleurs le second tbéorème de la moyenne appliqué à l'intervalle a^, a donne

a;? (a; 4- o) ^ r f{x) o (x) dx ^ A'? « -+- o) d'où (i) (Ao-E)-f(a;-ho)-s^ ry(^)'f(^)rf^^(A + s)9K+o) + E.

(.IIAPirilK VII. I.NTKCRALF.S llKllMKS OJ

Mais, lorsque a'„ lond vers do par valeurs décroissanles, o VtJ, h- o) tend \ors la limite o ^o + o; ; en effet on peut l'aire correspondre au nombre positif a un nombre positif .3 tel que l'on ait

(i (rjy -t- o) — 'J {u'q + /j) < a

sous les conditions

o < /i «0 4- /t — Oo < P-

Si l'on fait tendre h vers o par valeurs décroissantes, on voit qu'on aura sous les mêmes conditions,

quand o^ tend vers eu, par valeurs décroissantes, o cIq + o a donc pour limite o Oo + o . Cette remarque jointe à ce que, dans ces conditions, i tend vers o montre, que dans les inégalités i), le premier et le troisième membres sont aussi voisins qu'on le veut de Ao^ rto -+- o , A;p flo + o\ en sorte qu'on peut écrire

Ao? («0 + o) ^ f{x) o {x) dx < A'y (flo

La forme donnée par W eierstrass à ce second théorème de la moyenne subsiste évidemment dans les mêmes conditions.

Pour ce qui est des propositions qui ne sont pas susceptibles d'extension, je me contenterai de faire remarquer que si les deux fonctions tp 'a; , ^'x) sont intégrables dans l'intervalle Vïo, a sans y être bornées, on ne peut plus affirmer que leur produit soit intégrable, comme on le voit en prenant par exemple

257. — A oici maintenant un autre problème analogue à celui que l'on vient de traiter.

Soit (p (x) une fonction de x définie pour toutes les valeurs de x supérieures à aet intégrable dans tout intervalle ^(i, z], où | désigne

un nombre quelconque plus grand que a : lorsque ç augmente indéfiniment par valeurs positives, l'expression

ç [x) dx

tend-elle vers une limite?

S'il en est ainsi, on représente cette limite par le symbole

I 9 (x) dx.

Remarquons d'abord que, lorsqu'on cherche à répondre à cette question, on peut remplacer la limite inférieure de l'intégrale par tel nombre que l'on voudra, plus grand que a ; puis, que la proposition générale du n" 158 fournit immédiatement la règle générale, que voici :

Pour que l'expression

«p (x) dx

tende vers une limite lorsque ç augmente indéfiniment par valeurs positives, il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif a corresponde un autre nombre positif A, tel que les inégalités

entraînent l'inégalité

ir

ç (x) dx

Supposons d'abord que, à partir d'une certaine valeur de x, la fonction cp [x] conserve le même signe. On pourra alors, sans nuire à la généralité, supposer que cette fonction soit positive pour les valeurs de x plus grandes que a ; s'il en est ainsi, l'intégrale

cp [x) dx, OÙ Ë est plus grand que a, augmentera avec | : ou elle tendra vers

CU.VIMTRK VU. I.NTi;<.UALr.S KKKI.MKS 69

une limite, ou elle tendra vers -i- x ; pour reconnaître ce qui eu est, on comparera l'intégrale proposée à une autre de même nature,

où .1/ Xj est aussi une fonction qui resle positive lorsque la valeur de X est supérieure à a ; si l'un a. pour les valeurs de x supérieures à un certain nombre fixe,

et que la seconde intégrale tende vers une limite, il en sera de même de la proposée; si, au contraire, on a

et que la seconde intégrale augmente indéfiniment avec £, il en sera de même de la première.

Il sera souvent commode, pour faire la comparaison, d'étudier le rapport

si ce rapport reste compris, pour toutes les valeurs de x supérieures à un certain nombre fixe, entre deux nombres fixes positifs non nuls a, fj, les deux intégrales auront le même caractère : toutes deux augmenteront indéfiniment avec leur limite supérieure c, ou tendront vers une limite ; on sera certainement dans ce cas si, pour X =: -h '-C , le précédent rapport a une limite différente de zéro. Le lecteur reconnaîtra sans peine que, s'il en est ainsi, et si les deux intégrales augmentent indéfiniment avec |, leur rapport

aura, pour 2 = H- x , une limite égale à celle du rapport w^y

pour a; = -H X . Si le même rapport, pour les valeurs de x supérieures à un certain nombre fixe, reste plus petit qu'un nombre .5, ce qui arrivera certainement s'il a pour limite zéro, la première intégrale tendra vers une limite si la seconde tend vers une limite.

o (x) Si, enfin, le rapport J ; ; finit [»ar rester plus grand qu'un nombre

positif et non nul y., et si la seconde intégrale augmente indéfiniment, il en sera de même de la première.

6o INTRODIC.TION A lA TlIKHUir, DES FONCTIO.NS

On voit lûul d'abord que rinlL'grale

cp [x) dx

augmcnlcia Indcfinimeiit si, pour les valeurs de x supérieures à un nondire fixe, la fonction o'x reste plus grande qu'un nombre fixe jj >> o : en effet, l'inlégralo

augmente indéfiniment avec ç; mais lors même que l'on aurait

lim. tf (.t) = G,

on ne pourrait affirmer l'existence d'une limite pour l'intégrale proposée; par exemple, l'intégrale

^ dx , ^

croît indéfiniment avec ç.

L'intégrale la plus simple qui puisse être prise pour terme de comparaison est la suivante :

' dx x^'

où /• est un nombre positif; elle est égale à

^l-r ql-r

si r est différent de i, à log si /• est éj^al à i ; elle tend vers une limite, ou augmente indéfinimejit suivant que l'on a

r > 1 , ou r < I ;

on pourra donc appliquer les règles précédentes en comparant la fonction f (a;) à la fonction / .

(iiAi'iTisi: vil. — iMiic.itu.KS bi:i-iMi:s (li

Considérons par cxcnipK' l'iiilégralc

où f'x et F X sont deux: polynômes entiers en x et n'admettant point de diviseur commun ; je supposerai, afin que la fonction

finisse par rester positive, que les coefTicients des plus hautes puissances de X dans les deux polynômes soient de même signe; pour que celle fonction soit intéyrablc dans un intervalle, il faut que le polynôme F x n'admette pas de racine dans cet intervalle; pour que lintégrale proposée ait un sens quelque grand que soit le nombre positif?, il faut donc que le [)oIynonie F 'x] n'ait pas de racine positive. Si le degré de f x était égal ou supérieur à celui

de F x , la fonction 'wj7\ finirait par rester supérieure à un nombre

positif fixe et l'intégrale proposée augmenterait indéfiniment avec ç ; si le degré de /x n'était intérieur que d'tuie unité à celui de

¥{x , le ra[)port de j/C ^ à aurait, pour x infini, une liiuile différente de zéro et l'intégrale proposée deviendrait infinie comme log q ; si enfin le degré dey* x est inférieur à celui de I' x de deux

unîtes au moms, on voit en comparant la lonclion p\ %, a .i, que

l'intégrale proposée a une limite poui rinlini. En résumé, l'expression

dx

aura un sens si le polynôme F .Ky n'a pas de racine positive ou nulle et si le degré àef(xj est inférieur de deux unités au moins à celui de F 'x,.

Soit encore l'expression

62 l.MIl(1I>l"(".TIt».\- A I.A TIlKiHUK IIKS FO.NCTIONS

OÙ a est un nombre [losilif (|uclconque ; si l'on compare l'expression x''~^ t'~' à J , /• étant un nombre plus grand que i, on re-

connaît sans peine que l'intégrale précédente a une limite pour £ infini; il est aisé de reconnaître qu'il en est de même lorsque a tend vers o; on en conclut que l'intégrale

xi'~' e~^ dx

(inlr;/r(ilc calcriennc de seconde espèce) a un sens pour p > o. On en représente la valeur par F p .

Lorsque la comparaison do la fonction o'x^. à -7. ne réussit pas,

ce qui arrive quand le produit x''C/'x] augmente indéfiniment avec a; pour ''> i et tend vers zéro pour r-< i, on peut employer d'autres termes de comparaison [^j, dont je vais dire quelques mots.

n 1 on pose

log- X = log log X, log^ X = log log log

log'" X =: log log ... log X,

on aura, à cause de l'identité

log'" X = log log"'~' X, et de la règle de dérivation relative aux fonctions de fonction,

T^ /1 N D^ (loe'»-* x)

log»'-i X X log X log- a; ... log'""* x '

d'où, en désignant par a un nombre suffisamment grand, dx

X log X log- X ... log'"-' X

log'" ? — log'" a ;

lors donc que ç augmente indéfiniment, le premier membre augmentera aussi indéfiniment. Il en sera de même de rintéo:rale

o {x) dx

(') AIjcI, (jKurrcs, :>.' éd., l. ii, p. 200.

ciiAPiTni: vil. — iNTiy.n.vî.F.s iikfimks G3

si, pour les valeurs de x supérieures à un nombre positif fixe, le rapport

p{x) X log X log- X ... log"'"' X

reste supérieur à un nombre positif lixe. Au contraire i'identilé

-'dJ ^ ^=- '

^ Lllog'" ^"J^J ^ log ^ ^og' ^ ••• log'"-* ic(Iog''' a-)'+*' où l'on suppose que a est un nombre positif, montre que l'on a r^ rfx ^ iF I î n

Ja .r]ogJ-Iog-a;...log"'-'a-flog"'.T)'+'' »L(log'"a)* (log"'ï)''J* et cette égalité prouve que le second membre tend vers la limite

a (log"' a)"" lorsque z augmente indéfiniment ; l'expression

r«p {x) dx

aura donc un sens si, pour les valeurs de a: supérieures à un certain nombre fixe, le rapport

X log X log- X ... log"*~* a- (log'" x)'"*"*

reste inférieur à un certain nombre positif lixe.

L'analiigie entre ces règles et celles qui regardent la détermination de la convergence ou de la divergence d'une série à termes po>itifs n'a [)u manquer de fra[)per le lecteur. Le lien qui unit les deux questions est mis en [)leine lumière par la remarque suivante, qui est due ;i Gaucliv.

Soit Ç"a;; une fonction de x qui, pour toutes les valeurs de or supérieures à un certain nombre fixe a, soit positive et non-crois-

64 IMKODrc.rid.N A I.\ TIlKOIUi: DES 1-0.>(.TI0>S

sanlc, en sorte que, pour toutes les valeurs de x, x qui satisfont aux conditions

on ail

(p(ar)^cp(a;')>o;

la série

cp(i) -I- 'j(2) -^ ... H- (?(«) + ...

dont les ternies finissent par être positifs sera, ou non. convergente suivant que l'intégrale

dx

tend, ou non, vers une limite, quand ^ augmente indélinimcnt par valeurs positives.

Soient en effet p, q des nombres naturels plus grands que a et supposons q> p', si l'on divise l'intervalle ^p, q en q — p intervalles égaux à lunité,

les bornes supérieures de la fonction (p{x) dans ces intervalles seront respectivement

r{p), r(p+i), .... v(7-0> tandis que les bornes inférieures seront

rlP+O. ?(/J H- 2), .... ?(r/).

En désignant en général par s,, la somme des /i premiers termes de la série proposée, en sorte que l'on ait

s^ — s,, = 'i{p'+- i) H- ?(p-+- 2) + ... -h'fiq),

on voit que l'on aura

(i) s^ — Sj,^j tf(af)rfx<s,, — S^,j.