Voici maintenant quelques exemples. Soit l'intégrale
cUt
j^ (x-aj^ + b^'
on posera
X = a -h hy ;
aux valeurs /) et ç de la variable x correspondront les valeurs p — a ; — a
de la variable y, et l'on aura
T' (Le ' r '' ''^' M ■ — " /'~"i-
le symbole arc tg désigne toujours, suivant nos conventions, un nombre compris entre — et 4- - : si l'on suppose que | augmente
indéfiniment par valeurs positives et /) par valeurs négatives, la quantité entre crochets tendra vers tt si h est positif, vers — - si 6
jl^ iM'nonrr.TioN a i.a tiikouik oks Fo.Nrrio.NS
est négatif, en soilc que \'o\\ aura
^ (^-a).-Tl,^=6 'Snb{')-
Soit encore l'intégrale
dx
a ûa^x -\- h cosrns '
où rt, 6 sont des nombres positifs; on est amené naturellement, afin de rendre rationnelle la quantité à intégrer, à faire la substitution X = arctg j; la fonction arctg }', toujours comprise entre
— -" et ", est continue et admet, dans tout intervalle une dérivée
par rapport a y, a savou- , ,-i • Si c est compris entre — et , ;
la fonction arc tg y prendra les valeurs o et 2 pour }' r= o et j = tg £, en sorte qu'on aura
dx ^ /"tg ï t/y
H- h cos''a; I ay- + 6 '
le second membre, comme on le voit en posant y == «i / ,est égal à
On en conclura, pourvu que les nombres ç^, | appartiennent à l'intervalle ( — '". ' )»
mais la méthode précédente cesse d'être applicable si | n'appartient pas à l'intervalle ( — '", ' j, puisqu'il ne peut y avoir alors de nombre r, tel que l'on ait | = arc tg r,.
(^) D'une façon générale, le symbole sgn x représente + i ou — i, suivant que X est positif ou négatif. On lui attribue habituellement la valeur o pour X — o : sgn x est une fonction discontinue de x.
ciiAPiTiti: VII. — i>Ti:(;nALi:s dkumf.s 7.>
A la vérité, en fraclionnanl convenablement l'intervalle d'inl(' gration, on peut s'arranger pour que chaque intervalle partiel soit
contenu dans un intervalle tel que in- — '" , n- -f- ] et chacune
des intégrales se ramène alors par un changement de variables de la l'orme x ■= n~ -+- x' h une intégrale du type précédent ; mais il est préférable de s'adresser à une fonction continue ayant pour dérivée
n sin''x -+- b cos-a;
On a défini une telle fonction à la fin du n° 214 ; c'est, avec les notations de ce numéro
-^Arctg(y'«tga.j;
v/a6 on a donc, quel que soit le nombre |,
— ^~^ — ; — L 2- =^ -^ Arc tg ( V / T tî? ç
Q a sin-a; -h b cos^x y/^/j ° \V 6 °
Le lecteur n'aura aucune peine à reconnaître que la relation
(i — î CCS v) (i H- s cos J") = r — i-,
où i désigne un nombre positif << i, permet de définir soit y comme une fonction continue de x, soit x comme une fonction de y, de manière que les deux fonctions s'annulent en même temps et varient dans le même sens: leurs dérivées sont données par la formule
'0' __ V^i — ^^ 1 — £ cos y
dx I H- £ cos X ./j ^3 '
ces deux fonctions peuvent d'ailleurs s écrire sous la forme y = 2 Arc tg (\/^ ^' tg fj, X = 2 Arc Ig [sj \ ^ Jtg ^).
7O I.NTROIUCTION A [-A ÏIIKOUIR DES FONCTIONS
Le cliangcnicnt de variable défiiii par ces relalions conduit aux formules suivantes
J^"^ dr I n
7 ^ ^ = -7 I (i — £ CCS y)"- ' dy,
dans la première n et x sont quelconques ; dans la seconde, si n est un nombre négatif dont la valeur absolue est une fraction irréductible à dénominateur impair, x peut être quelconque; autrement il doit être intérieur à l'intervalle — a, a en posant
y est alors intérieur à l'intervalle [ — -' , "j.
Il convient d'observer qu'un cbangement de variable très simple permet de ramener l'un à l'autre les problèmes traités aux n°^ 255 et 256.
La fonction de y
varie toujours dans le même sens; si l'on suppose que — ^, n'appartienne pas à l'intervalle b^, h , on pourra cboisir /, u. de manière que les nombres 6^, b correspondent aux nombres Oo. a et par conséquent transformer une intégrale oij les limites sont a^, a en une autre 011 les limites soient b^, b. Si l'une seulement) des limites est infinie, on peut par ce procédé, la remplacer par une autre intégrale où les deux limites soient finies ; inversement, on peut s'arranger pour qu'une des limites soit infinie. On prévoit, sans que j'insiste davantage, que les questions relatives à la signification d'une intégrale dans laquelle la fonction sous le signe /
devient infinie pour l'une des limites d'intégration, ou pour laquelle l'une des limites est infinie, se ramènent l'une à l'autre; on n'a parlé des critères logaritbmiques que dans le second cas; il est bien aisé de reconnaître qu'ils s'appliquent aussi directement au premier.
<;ilAPITHK VII. I.NTKCIt.VLICS KKII.MKS
Les méthodes cxposôees aux n" 255, 256 [)u\\v Irailcr ce fjcnro de questions ne s'appliquent pas toujours; elles ne s'appliquent pas, on l'a déjà dit, aux intégrales
Jsinx^dx, i cosx-ila
C'est par une mélliode spéciale qu'on })rouYera que ces intégrales ont un sens; il suffira de raisonner sur la [)rcmi('re. Soit
J = I sina-(/x,
il s'agit de montrer que, lorsque le nombre positif z augmente indéfiniment, la quantité J tend vers une limite. La fonction sin x'- reste positive quand x varie de s/inr. à v/(2/i + i)-, négative quand x varie de /(an -\- i)-n à v'(2n -h 2)7: ; on peut donc poser
J = «0 — "1 + "2 — ••• =t «;^ =F "'iM
en faisant
u.^n= \ ûnx-dx,
Uin-i-i = — I ûnx-dx ;
l'indice p est égal à la partie entière de ^ ; le dernier terme ip u^, est égal à
I sina:^(/a;.
En faisant dans les deux termes u.„, «o,,^.! les substitutions respectives
x^= \'2- n -+- J, x = v/(2n -+- i)- -(- J, on trouve sans peine
I r^ sin jc/y 1 T^ sinydy
^8 l.NTUOlKKniON A LA THKORIK BES l'^ONCTlONS
«n posant
