P = \ (2/1 4- 1) TT
P' = v/(2^i +"a)Tr — \/(27i H- T)ir ;
ces formules entraînent les inégalités
Les deux quantités n>„, ho„^i sont positives et la seconde est plus petite que la preuiière : on a en effet
r^ sinjc/j ^ p sin jclj ^ p^ sinjjy . Jo V^riTt -\- y Jo y/afiitH-J Jp' V'a rit -h 7 '
le second terme du second membre est positif; d'ailleurs l'inégalité
J'' sinjrfv /^'" sîn y dy
o \^2n- -+- Y Jo \/(27}. -h l)-
\/(2n 4- i)- + j résulte de ce que l'on a, pour les valeurs de y comprises entre o et tt,
sin y ^ sin y
[/arnz 4- j •V'(3" + 1)^^ + 7 on établit de même l'inégalité
Les termes ii.,„, u,„i tendent vers o quand n augmente indéfiniment; dans l'intervalle (o, /5), en eifet, on a
sin y ^ I
[/2 71TÎ -\~ y \/2mi et par suite
enfin on voit de même que le dernier terme u[, est plus petit que u,, et par conséquent décroit indéfiniment quand z, et par suite
CUAPlTlir. vil. l.MKt.l-.AI.liS UK! I.MKS -jy
jD, auj^^mentcnl iiulcliniincnl. Dans ces coadilions J a potu' limite la somme de la série convergente
On démontre d'ailleurs que l'on a
I sin.x'-(/.r= | cosx-dx^ V ^ •
260. — Soit /".'•, V une fonction des deux variables x, y définie et bornée dans l'cnscndjlc XY des systèmes de valeurs qui satisfont aux conditions
(i) cto^x^ a, 60 < r < b,
a^, a, 60, b étant des nombres donnés. Si, lorsque l'on attribue à y une valeur fixe appartenant à l'intervalle 6,,, b , la fonction f, x, y , regardée comme une fonction de x, est intégrable dans l'intervalle (a^, <i . et cela, quelle que soit la valeur cboisie pour y, l'intégrale
f{x,y)dx
définira, dans l'intervalle (b^, b), une fonction de y : désignons cette fonction par (o'jj ; on peut se demander si elle est continue et si elle admet une dérivée dans l'intervalle 1^60, b).
Soient y', y" deux valeurs appartenant à cet intervalle, on aura
(/) - ?(/) = rUi^, y") -/(^. y)]d^-
Regardons pour un moment y comme donné; si à chaque nombre positif £ correspond un nombre positif /^ tel que, pour toutes les valeurs de x, y" qui vérilienl les inégalités
on ait
8o l>TRO[>lîf,TIO>" A l.X TinÔORIE DES KOCTIOMS
la fonction o y sera continue pour y = y' ; on aura en eflet, pour toutes les valeurs de }'" qui vérifient les inégalités 3 ,
Ir(/)-?(v')l^^(«-«o)-
Si à chaque nombre positif î correspond un nombre positif y; tel que l'inégalité '\ soit vérifiée pour toutes les valeurs de x, y', y" qui vérifient les inégalités
la fonction ç y sera continue dans l'intervalle 6o, b . 11 en sera ainsi certainement si la fonction des deux variables x, y est continue n" 165 dans l'ensemble X'\ défini par les inégalités i .
Si, en particulier, la fonction /(.r, y admet une dérivée /y(£C,j) par rapport à }', pour chaque syslcme de valeurs x, y appartenant ù l'ensemble XY , et si celle dérivée reste toujours inférieure en valeur absolue à un certain nombre positif M, on aura, quelles que soient les valeurs x, y' , y" appartenant à l'ensemble X\),
I/"(^.j")-/(^'/)l<Mlv"-y'|;
dans ce cas la continuité de la fonction z, y est manifeste.
Cette continuité étant supposée, ainsi que l'existence de la dérivée/^ X, y , ou a, en supposant toujours que y', y" appartiennent à l'intervalle ^feo» ^ ,
^^^ ~Y^y' ^ ~Ja, y"^y'
Regardons dans celte égalité / comme fixe et faisons tendre y" vers j ; la quantité
où la seule variable est y", tendra vers la limite /^ x, y' , en désignant par ce symbole ce que devient f'y'x, j quand on y remplace y par y' ; on ne peut en conclure que le second membre ait pour limite
f',j{x,y')dx
ClIAPITUr, VII. IMKC.RALF.S [tKKI.MKS bl
ni même que ce symbole ait un sens ; mais cette conclusion deviendra léfïilime, si la fonction de x, f',/x, y' , est intcgrable dans rinltivalle ('/o, >i cl si, en outre, à chaque nombre positif i correspond un nombre /; tel que l'on ait, pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle (Uu " .
sous les seules conditions
A^ y") — /"C^. y') f /„ y/\ y" — y' ' Jy\^>y )
Dans ce cas, en elTet, la valeur absolue de la quantité
ou
sera, pour toutes les valeurs de y" qui vérifient les inégalités (j'j, plus petite que a — at, i.
On sera certainement dans ce cas si la fonction f'y x, y) est continue dans l'ensemble (XY) ; on a, en effet n" 216 1
Ife /) — /(^/) f, , ,,n
en désignant jKir y ' un nombre compris entre y' et y" ; l'inégalité '^6^ équivaut donc à la suivante :
si à chaque nombre positif î correspond un nombre positif r/ tel que cette inégalité soit vérifiée sous les seules conditions
oo < X < a, 6o < y" < f^
TaNxebt II. — IiilroJuction à la Théorie îles fonctions 6
8a I.NTRODICTKW A LA THKOKIE 1>F.S FO.NCTJO.NS
et c'est ce c|ul aura ceiiainoment yiew quand la fonclian f Jx, y) des deux variables x, y est continue dans Tensemble X^ , il est clair que l'on pourra satisfaire aux inégalités 6 sous les conditions (7; et que l'emploi de la formule
sera légitime pour toutes les valeurs de y qui appartiennent à l'intervalle 60, /' .
