III. — IMEGRVLES EULERIENNES
261. — Les règles qu'on vient de donner, soit pour reconnaître la continuité d'vme intégrale définie qui contient un paramètre variable et que l'on regarde comme une fonction de ce paramètre, soit pour prendre la dérivée de cette fonction par rapport au paramètre, sont soumises à des conditions trop étroites ; beaucoup de travaux ont eu pour objet d'obtenir des conditions plus larges ; malgré l'intérêt et l'importance pratique de ces travaux, je n'en développerai pas les résultats et je me contenterai de traiter un exemple.
Ainsi qu'on l'a vu au n" 257, l'intégrale
xv-'^e-^dx = Y [y)
est une fonction définie de j, pour toutes les valeurs "positives de y. Je signale, en passant, la propriété qu'exprime l'égalité
(2) r(v+i)=jrCy)
où, bien entendu, on suppose y positif; cette égalité s'obtient en partant de la relation
[a-;'e-^]' = vrcv-'e-^ — x'Je-^,
où le premier membre désigne la dérivée par rapport à oî de la quantité entre crocbets ; il suffit d'intégrer les deux membres entre les limites o et x , ce qui donne o pour le premier membre.
r.nAPiTRK viF. — i:^TTâ;nAr.Es ETM.F,mK:^^Es 83
De la relation y. résullcnl iinmédiatement les formules suivantes, où V désigne un nombre nalnrel plus grand que i
(3) rcv) = ..2.3... Ck-i);
on reconnaît d'ailleurs directement que l'on a
La fonction V y est continue dans tout intervalle a, 6} borné par des nombres positifs. Ceci, toutefois, n'apparaît pas sur la définition i , [)arce que, si y est plus petit que i, la fonction
sous le signe / n'est pas continue pour x = o et parce que la limite
supérieure est infinie. Cette continuité peut s'établir comme il suit ; on a. quels que soient les nombres positifs a et A.
Or. si on se donne un nombre positif i, on peut prendre a assez petit et A assez grand pour que la première et la troisième intégrale du second membre soient plus petites que c, (juelle que soit la valeur de y appartenant à l'intervalle a, h . On a en elfet, en supposant a <C h, puis a <C i, A >> i,
x''~^e'''dx <^ I x^^^c'^dx.
A Jk
Dire f[u'on peut prendre a assez petit, A assez grand pour que les seconds membres de ces inégalités soient moindres que £, c'est dire que les intégrales qui figurent dans ces- seconds membres ont un sens.
D'un autre côté, en vertu des règles du numéro précédent, l'intégrale
^ (j ) == I x'i~^e~''dx
84 IXTROnUCTK» A I.A TllKORIR DES FONCTIONS
est continue. La démonslralion peut maintenant s'achever à peu près comme an n° 180 :
Apres avoir choisi a assez petit, A assez grand pour que l'on ait, en supposant que y appartienne à l'intervalle a, b ,
x''~'e '^dx <C. Ei
on peut fiiire correspondre au nombre i un nombre positif y^, tel que l'on ait
sous la condition que les deux nombres y, y -+- h appartiennent à l'intervalle a, b et que l'on ait \ h\<.r,. On a d'ailleurs
r(v -h h) — r(v) ^ I x'J^''-^e-'dx — 1 x'J-^e-''dx
xy+''-^e~'''dx — I xy-^e-'dx A Jk
et, par conséquent, sous les conditions précédentes,
la continuité est évidente.
Si, sans se préoccuper de la légitimité de l'application, on calcule par la règle du numéro précédent, la dérivée de l'intégrale définie r(j} par rapport à y, on trouve
fe-
■^rr^"' log.T(/.ï.
Mon but est de prouver que cette expression est elTeclivement égale à F' i^ . Le premier point serait d'établir qu'elle a un sens ; il est aisé de montrer, plus généralement, que l'expression
e ^x'J^^ log" xdx.
ciiU'iTiiK Vil. — i.\tk(;uam:s i:i i.i:iiii;.\.\es oo
où II est un nombre naluicl qnclconcjiic, a un sens pour j ^ o et niàne (ju'olle représenlc une fonction continue de y : je ne m'arrêterai pas à ce point, qui est lacile, et je dési^Mierai, dans ce qui suit, par 0 ,y la fonction de y dont il s'agit d'établir qu'elle est égale à T' îy).
La légitimité de la formule
g-,rgj.y-l logxdx,
où a cl A sont des nombres positifs, résulte du numéro })récédent. Puis(pic l'inlégrale qui figure dans le second membre conserve un sous quand on la prend entre les limites o et x , c'est que, y étant donné, on peut, à cliaque nombre positifs, faire correspondre des nombres positifs «o et Af, tels qu'on ait
g—r^>j-i lorrxdx
'"a-''-' logxcîx <; s;
sous les conditions o ■< a <; ao, A >> Ao; sous les mêmes conditions, on peut donc écrire
Or. on a
log X dx
/ e-'-xy-^' — , — lo /a h
SX dx.
Quand h est très petit en valeur absolue. ' , est voisin de
log X] on peut prévoir que la première, par exemple, des intégrales qui figurent au second membre est voisine de
e~^x''~^ loa'^xdx
intégrale dont on sait qu'elle a un sens, lorsque y cl a sont positifs, et qui peut par conséquent être supposée aussi petite qu'on le
86 l.MUOltlOTION A LA TlllioillK DES I-ONCTIO.NS
veut, |>our\u que a soil assez pelil. 11 doit eu être de même pour la première intégrale du second membre.
Afin de justiûer cette dernière assertion, rappelons d'abord {n° 216 que l'on peut écrire, en désignant par ) un nombre positif" moindre que i ,
r ^ = .T^Mosrr,
en sorte que le coefficient de dx, dans notre première intégrale, peut s'écrire
Dans ce coefficient, x doit prendre des valeurs appartenant à l'intervalle o, a), donc plus petites que i, si, comme il est évidemment permis, on suppose a-< i. D'ailleurs dans le même coefficient, tous les facteurs sont positifs, on aura donc
e~-^xy-^:P''' log2 X <; e-'^x-' — ' —'^'O log^ x,
en désignant par y^o un nombre supérieur k \ h\. Je le supposerai en outre moindre que y. Sous ces conditions, l'inégalité
g-T^^y-i — \og xdx <^ i e^^'x^ '"'" ' log-a;(/x
Jo
est évidente. D'ailleurs, quand on se donne le nombre positif y et que l'on a cboisi le nombre positif /jo, l'intégrale qui figure dans le second membre a un sens ; c'est donc qu'on peut, à cliaque nombre positifs, faire correspondre un nombre positif aj, tel qu'on ait
x^ "^io I Iog2 xdx <^ z.
sous la condion a ■< a^ et, par conséquent,
g-r^y-i ___^ logxdx <; e
(IIAI'ITIIK VII. IMK(;UAI.i:S F.UM-.UII-.WKS
SOUS les conditions y. < a,',, ! /» ' < r,o. On pionvcinil de mèn\e qu'il cxisle un nombre \|, Ici que l'on ait
gkx^y-
1^ -' ^ogxdx
sous les conditions A >■ A^, \h\ <C "/Jo-
Sous les mêmes conditions, on pourra donc écrire
r (y-4- h) — r(y) ?Cy4-/0-9(.y) h h
Ayant pris arbitrairement /^o < }', ayant ensuite pris a inférieur au plus petit des nombres v.^. ôc^, et A supérieur au plu§ ahpand des nombres A^, \'^, on peut faire correspondre au nombre positif i un nombre positif y; < •/;o tel que, que sous la condition \ h\ <. r,, on ait
ou en raison de l'inégalité (4)
et, finalement,
L(ii+ '■)-'-■:/) 9w|< 5.
toujours sous la condition ]/«]< 'r,.\\ est donc bien prouvé que S j est la dérivée de T jy.
Ln raisonnement analogue montrerait que l'on a, en général
g-x 3J../-1 log" xdx.
262. — La fonction F y; peut être mise sous une autre forme que l'intégrale
<i~'^ x''~^ (Ix
88 I.NTRODUCTK»- A I.A TIIKOKIE l»ES FONCTIONS
par laquelle on Ta cléfinic. Si // désigne un nombre naturel très grand, f est à peu près égal à ( i — j) ; on est auisi porte a penser que l'intégrale qui définit F y est voisine de
I — ) x''~^ dx.
ni
On montrera tout à l'heure que l'on a effectivement (i) lim. I e ■'■ x'i-^ dx — \ ( i — - i'\t!/-' c/x 1= o
Je me propose d'abord d'évaluer l'intégrale j (i — \ x'J~^ dx. En \ faisant le changement de variable x =^ ni, elle devient
I ( I — ^) x'J-' dx = ny j (i — 0" '■'"' '^'•
Si l'on intègre, entre les limites o et i, les deux membres de l'identité
dt on trouve
^ [(i ty i'j] = y(i — 0" t'J -' — n{i — <;"-• i'J,
(l t)n /V-1 (ly = '\ \ (l — <)""' '■' «J
et par suite
En admettant la proposition énoncée plus haut, on aurait donc
«r(7V.)-yi%)-„'--h(-i)(--î)-(--r)]-
(lIAI'iriU; VII. I.NTKCIIAI.ICS KLLKUJC.N.NES 8^
La [)ropriélé qu'exprime celte égalité sera établie ."«i l'on a établi la proposition cpi'expriinc l'égalité [ij.
J'établirai d'abord cOllc dernière en regardant y comme un noudjro lixc compris entre o et i.
On a évidemment
dx.
Que la seconde intégrale qui iigure dans le second membre tende vers la limite o quand /; tend vers + x , c'est ce qui résulte évi-
demment de ce que l'intégrale I g-'' x''~' (/:/■ a un sens; tout re-
Jo
vient donc à démontrer que l'on a
lim. I I e~'' — ( I — I Ix'-i
n==o Jo L \ 'V J
x'J ' dx = o.
L'étude qu'on va faire de la quantité entre crocliets, que je désignerai par M ix'y, montrera que cette fonction, nulle pour jc = o, est positive pour les autres valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle G, n , qu'elle passe i)ar un minimum cl que la valeur de ce minimum est moindre que
11 résultera de là que l'on a
r W(x)x"-'dx<C f 7^^
-hlx • n'J
ou . — ^ ;
celte dernière quantité tend évidemment vers o quand y est un nombre fixe compris entre o et i et (pie // augmente indélinimenl. La proposition qu'exprime l'égalité 5 sera donc établie pour ces valeurs de y, dès qu'on aura établi les propriétés de M' x qu'on a annoncées plus liant.
«JO I.MUOIUCTiO.N A l.A TUKOUIE DES lO.NCTlO.NS
L'égalité
montre que ^ x s'annule en même temps que la foncllon
<,{x)^x~h{n— i)log(i — *^j,
Jont la dérivée est — , On reconnaît sans peine que la fonction
<p(a; s'annule une seule fois dans l'intervalle (o, n) et cela, pour une valeur Xo qui est plus grande que i. Celte valeur x^ correspond à un maximum de ^ x , lequel est égal à
la dernière égalité résulte de ce que \" {x^ est nul; la fonction ^ ix) croît de o à M dans l'intervalle 'o, x^], décroît de M à e~" dans l'intervalle Xo, n ; ^ \X , s'annule pour a; = o et est positif pour les autres valeurs de l'intervalle (o, ni. Enfin, si l'on regardait M comme une fonction de Xo, on verrait immédiatement que, dans l'intervalle o, // , le maximum de M a lieu pour ce = i ; il est
n\ ni n — i\ n
On a d'ailleurs
car cette inégalité équivaut à la suivante
,ilog(i-^)<-i.
qui devient évidente en développant le logarithme en série. On a donc
(n-,)e' c'est ce que l'on avait annoncé.
CllArilKi: Ml. l.MKGllAHiïi LLLtlUE.N.NES (J l
