L'ôi^alilc

<■' -r,T^r,'i-iH'-^)('-r)-(--^)]

esl donc établie pour les valeurs de y comprises entre o et i, et la démonstration même prouve que, pour ces valeurs, la quantité entre crochets tend vers une limite, lorsque n augmente indéfiniment.

Il est aisé d'établir directement cel'.e dernière affirmation pour ioiilcs les valeurs de y.

Remplaçons en effet, dans la quantité entre crochets, n'~'J par une puissance de e dont l'e\[)Osant soit

vlog/i= — v( 1 -+- ^ -^ ., -I- ... ^- „ — <^- —

en désignant par C la constante d'Euler n" 194 et par 7.,t une quantité qui tend vers o quand n augmente indéliniment ; on aura

en posant

en sorte que £„ tend vers o quand /; augmente indéfiniment. On va montrer, que si l'on pose en général

(i -h^j e~'-= 1 H- «,., le produit infini

est absolument et uniformément convergent i)our les valeurs de y appartenant à n'importe quel intervalle, en sorte qu'il représente une fonction/ y continue dans tout intervalle.

92 IMUODICTIO.N A LA TIlÉolUE DES F (t.NCTlONS

Si l'on admet qu 11 en soit ainsi, 11 est clair que l'on aura, quel que soit y,

ji,„.[,:-,(,H-.;-)(,+.^)...(. + .;;)]=e'=.'/(,).

Quant à la convergence uniforme du produit infini, elle résulte de ce que l'on a, en vertu de la définition de a,,

ar-" \i.2 1,2. 3//"* \i.2.3 i.2.3.4/r*

et de ce que, si A désigne un nombre positif quelconque, la série, à termes positifs,

\l.2 1.2.3/ Ll-2...(p l) I.2.../)J

est manifestement convergente, en sorte que si l'on désigne sa somme par B, on a, pour toutes les valeurs de y qui appartiennent à l'intervalle — A, A,

la série dont le /•'^'°'' terme est ,0 étant convergente, le produit infini

dont le r'^""^ facteur est i + ii,- est absolument et uniformément convergent dans l'intervalle — A, A .

Il convient de remarquer en passant la façon étroite dont la fonction/ X , que l'on vient de définir, est liée à la fonction sin r.x.

En partant de la relation