X II ( I

établie au n° 200, on est tenté d'écrire

r=^oo r=x r^z-x

n(.-?:;)=n(.--)xn

r.HAPrruF. vu. — iNTi'x.uAi.rs f.lli':uif..n.m:s f)3

mais les deux produits inlinis qui li^Mircnt dans le second niond)rc n'avanl pas de sens, ce second mcudjre est, conimc eux, dénué de signification; au contraire, l'égalité

oii les deux produits inlinis du second membre sont convergents, d'après ce qui précède, est évidemment légitime; on en conclut

(2) sin -X = ^xj{x)f{— x) = rxYl ) ( ' ^ )) ^~ ' ('

en entendant que, dans le produit II»'' doit prendre toutes les

valeurs entières positives ou négatives , àlexclasion delà valeur o. L'égalité i) ou, ce qui revient au même, l'égalité

ou encoi'e, en désignant par £« une quantité qui tend vers o quand n augmente indéfiniment,

n'est établie que sous la condition o <<y < i- H est maintenant aisé de voir que cette égalité, évidente pour J = i , subsiste quelle que soit la valeur /)o.s///rt' de y, c'est-à-dire pour toutes les valeurs <le y pour lesquelles la fonction

' dx

a été définie.

Remarquons en ciTet que si l'on pose

(/(v)=lim.r 1-3 ... n X n'J-^ 1 1.2 ... n X rHJ-^ , ,

^ '- a=-. LWy + I) ... (j + n)\-y (y h- i) ... (j -h n)/'^'"^'

la fonction (j j,, défin'.e pour toutes les valeurs de y qui ne sont pas des nombres entiers nuls ou négatifs, jouit de la propriété

f/ (r + 0 ==Ji/ 0')

9^ INTROKITTION A LA TUKOUIF: DES FONCTIONS

élahlie plus liant pour la fonction F r , on parlant de l'inlégrale définie : on a en efTet

Le second membre, quaml n grandit indéliniment, tend vers y ; d'oii résulte la proposition à démontrer.

Soit alors en supposant y >• i, K la partie entière de y et

On aura

r (j) = (v - I) Cr - 2) . . (v - K + I) r (y„), 9 (y) = {y — i) (v — 2) ••• (r — K + i) 5 (vo),

et, puisque g y^] est égal à F y^ , il faut bien que g y soit égal a 1 y .

On peut donc regarder la définition de g j, comme une nouvelle définition de la fonction F .j) définie d'abord, mais incomplètement, au moyen d'une intégrale : la nouvelle définition s'étendant à toutes les valeurs de y autres que o, — i, — 2, ... ; il revient exactement au même de définir la fonction F y par les

égalités

d'où il suit que F j' est l'inverse d'une fonction continue dans tout intervalle, fonction qui s'annule pour y = o, — i, — 2, ..., et seulement pour ces valeurs. De ces égalités et de l'égalité (3) résulte immédiatement la relation

^ ' ^ ' sm t: X

qui pour a? r= - donne

t=r(rl= V </x

d'oi'i l'on déduit, en remplaçant x par x^,

CHVPITRK Vin