I .2 ... (n — i)*' ^ ' I , 3 ... (fi — i) p
9 est un nombre com[)ris entre o el i, n et p sont clés nombres naturels. Celte formule sera légitime si la fonction f ,r admet une dérivée /i''=™*' dans un intervalle auquel appartiennent les nombres X, X -\- h, ce qui implique la continuité de la fonctioa/'a;), l'existence et la continuité des dérivées jusqu'à l'ordre n — i, dans cet intervalle.
Su[)[)osons que ces conditions soient vérifiées quelque grand que soit n, et que, en outre, pour les valeurs considérées de x et h, le terme complémentaire
(t fl^n— /< h"
[i ttj ^y(n) (a; + O/l)
ait pour limite o f|uand n augmcnic indéfiniment ; alors la série indéfinie
/(•-) + 77'(^)+ ~-,f"i^) ^ - + n.^yj-i)/'""" (^) + -
sera convergente et aura pour somme/ .k -\- h , puisque la somme de ses n premiers termes diffère def(x -f- h) d'une quantité qui a
q6 i>'Ti\oni;cTioN' a la tiikoiuf, i»f.s fonctions
pour limite o quand /? angmenle indéfini nient ; on pourra donc écrire alors
cette formule permettra dedévelopper la fonction/ (x H- /i) suivant les puissances entières et positives de /i, si les conditions pour qu'elle soit applicable sont réalisées ; à la vérité, il est souvent difficile de reconnaître qu'il en est ainsi, lorsqu'on part d'une fonction donnée f X ; l'expression générale de la dérivée n''^'"" de cette fonction peut être fort compliquée, et il devient alors fort malaisé de reconnaître si le terme complémentaire tend vers o quand n augmente indéfiniment.
On reconnaît immédiatement que ce terme complémentaire tend verso, pour les fonctions/ x telles que leurs dérivées /" x restent toutes inférieures, en valeur absolue, à un nombre positif fixe pour les valeurs de x appartenant à un certain intervalle. C'est ce qui arrive pour les fonctions sin x, cos x, <?'', auxquelles la formule (i) s'applique sans difficulté.
Quand on a affaire à une fonction/ x dont on sait que f x -\- h) est développable en une série qui procède suivant les puissances entières et positives de h et pour laquelle on sait etVecluer le développement, la formule : 2 ' permet, en s'appuyant sur ce que ce développement ne peut s'effectuer que d'une seule façon ^n° 173 , de trouver la forme de la n'^"'" dérivée/*"* (x) def'xj.
Si, par exemple, on prend / x ^= e—^^, on trouve sans peine, pour la dérivée /i'*""" de cette fonction, l'expression
la quantité entre crochets est un polynôme de degré n dont le dernier terme s'obtiendra en faisant i = — - — ou / = - suivant que n sera impair ou pair.
(.ii\i'riur". VIII. — srit ni r.i.(jrr:s ki.vki.oi'F'KMkms i:n skiui-: (jy l,;i lornmle de Maclaurin n° 232),
suppose cpic la //'^'""" th'iivc'c /**"* x de la foiii-lioii f(x) existe dans l'inlervalle o, x . KWe donne lieu aux mêmes observations que la fonnide dite do Taylor, d'où elle a clé déduite. Si elle est applicable quelque grand que soit n et si le terme complémentaire
I . 2 ... (n — i) p tend vers o quand n augmente indéfiniment, la série indéfinie
/(o) 4- ■ /' lO) + •-- /"(o) + ... H % ./("-•) (o) -h ...
sera convergente et aura pour somme f \X ; si l'on arrive à reconnaître que ces conditions sont réalisées, on pourra donc développer la fonction f x suivant les puissances entières et positives de x par la formule
Cette formule s'applique immédiatement, en vertu d'une remarque faite sur la formule de Tavlor, aux fonctions e'", sin x, cos X et d'une laçon un peu plus dillicile, aux fonctions i -+-x)'", log ^î H- Xj, arclga;, lorsque œest intérieur à l'intervalle — i, i). On montre alors que le terme complémentaire tend vers o rpiand n augmente intléfiniment. Je ne m'y arrêterai pas.
265. — \ la formule de Taxlor se raltacbe une fornmle importante dite babituclleinent for/iiii/c so/iuiKiloire de Maclaurin, bien qu'elle soit due à Iiuler, qui en a d'ailleurs tiré grand parti ' .
(') IiislUuliones calculi dijferenlidlia. Cliap. \ . l/aUriliution de ceUc formule k Euler est due à M. Erieslirmi ; voir dans le tome \ des Aeta Malhcmatica [). 2 la réimpression du méuioirc de Malmsleii. Sur la formule
hii\ = A"x — A". + ' A«; — ... :>. I . a
C'est, pour co qui coiuerne le reste de la série, l'analNsc de Malmsten qu'on lrou\era [)lus loin.
Tannktiï II. — IntiOliulUion à la Théorie îles fondions 7
qS I.MIIO DICTION A LA TUKtHUE 1»ES 1 OX'.TIO.NS
Soit y X une foiiclion dont je .siip[)Oseiai qu'elle admellc, dans un intervalle auquel a|i[mrticnnent les valeurs x. x H- /( de la variable, des dérivées conlinues f x , f'x, ... d'un ordre an moins égal à l'ordre de celles qui ligureronl dans les formules qui vont suivre : posons pour abréger
on pourra écrire
en posant, suivant qu'on adopte une forme ou l'autre du terme complénienlaire de la formule de Taylor,
ou
dans ces formules i doit prendre les valeurs o, i , 2...,/> — i ; dans la première Si désigne un nombre dont on sait seulement qu'il est com[)ris entre x el x -h h. Il est clair que. entre les équations i , on peut éliminer les quantités
il suffit pour cela de les ajouter membre à membre après les avoir multipliées par des nombres Ao, A,, .... \p-i qui vérifient les équations
Ao , A,
«•.iiviMTiu: vin. — srn oiikloiks KKvr.i.oppF.MKMs in ^imi, (|() Si l'on atloplc ces \nlniirs j)ciir A^, A,, ..., A;,i. on aura
(2) A„A/(.v) + A,A/'(^)4- ... +A,.A/("-"H = AoV'(a::)4-A"-i'S,„
on posant, |>ium- ahiégcr,
S^ = Aopn H- A,p, -+- ... 4- A,,,p,,,.
Des équations qni clélermlncnt A„, Ai, ..., A;,i on tiic successivement
Ao= I, Ai = — J, A^^:-^-, A3 = o. ...
On rpin;U(|Uora (rnboid (|ne, si Ion augmente/), les premirres rqualions restent tftujours les mêmes, en soile (pic les valeurs écrites ci-dessns, par exemple, conviennent (pielfpic grand que soit/). Les valeurs des coelïicienls \o, Ai, iV>, ... sont manii'estemenl rationnelles.
Eidin ces équations ne dépendent en aucune façon de là fonction J X et cette remarque, en prenant pour f x des fonctions particulières, va nous fournir des renseignements sur les valeurs des nombres Au, Ai, ..., A/;i.
Vm [)renant d'abord /^Xy = e'", les quantités A/ x , A/" x , ... sont toutes égales à
gT+k pT . g,T (^ph j )
en sorte que la formule 2 donne, après avoir divisé par e''c''—i , et en tenant compte de ce que Ao est égal à i,
,/ , = ^ + A,/. + \,h^ + ... + A,,/,.-' y^'l hr ;
cette dernière forninle subsiste pour // -^o, si l'on cotni(Mil daltri-
buer alors la \aloiii- 1 à la fonction . (ini. dans ces conditions,
est une fonction continue, rpiel que soit h. Dans le dernier terme du second membre, le coefficient de //'' est une fonction bornée de //. [)onr // voisin de o ; il résulte de là que ce second membre n'est autre cbose que le développement par la formide de Maclaurin de la fonction de h
ail I '
lOO INTRODUCTION A LA THKORIE PES FONCTIONS
(léveloppemenl qui conlicnt /> termes réguliers et le terme compléuienlaii'C
Puisqu'il ne peut s'ciTectuer que d'une seule façon (n" 194 , A„ est la valeur, pour r = o, de la dérivée n'*'"* de la ionclion
divisée par 1.2.3 ... n.
Bien que la conclusion ne suppose pas qu'on ait établi la possibilité de développer cette dernière fonction en une série indéfinie) entière en r. je prierai le lecteur d'admettre cette possibilité ; il me sera commode, dans un instant, de pouvoir l'invoquer. Dans un autre chapitre, on établira que ce développement est légitime, sous la condition \z\ <C it,\ on a l'habitude de l'écrire sous la forme
B" ^ ' 1.2. ..an
j;axif ^ r, il n'v ligure aucun terme de degré impair; cela résulte de ce que la fonction
ch'
étant paire, son développement ne doit pas changer quand on change z en — z. Puisque le développement de ^rzT" ^*^ P^^* ^^ faire que d'une seule façon, il est clair que l'on doit avoir
Les nombres rationnels B,, B^, ..., B„, ..., définis comme on vient de le faire, sont ce que l'on appelle les nombres de BernouUi ;
ciivi'iTiu: VIII. — SLR oii:i.oLi:s dkvei.oppkmen'^s k.\ skrik ioi
ils s'introduisent clans de nombreuses questions d'Analyse et jouissent de curieuses propriétés aritliniéliques ; voici la valeur des dix [)reniiers
R — ^ H — ' lî — ^ R — * 1\ — '^ R — ''^1 ij - 6o ^ l\-2 * ôo " hU 2700
En adoptant ces notations, et en prenant p = 211, la formule ^2) peut s'écrire
1 hf'{x)=if{x)-'l ^f'U) -H ^''^ Af{x) - ^ ^'^^^ ^f^{x) + ...
\ ^ ' 1.2... (an — 2) •' ^ ' ^
en posant
Si l'on prend pour ^o, p,, ..., ^^«-2 l^s expressions qui comportent une intégrale définie, que l'on a rappelées un peu plus liant, on peut écrire
/, 2,1+1 n\ en posant
Dans celle formule, en avant des nombres de Bernoulli, figurent les coefficients binomiaux, pris de deux en deux, el relatifs à la
l.\TnODUCTIO.\ A LA TIlKOniK KES 1 OX.TIO.XS
puissance •J/J'^"'^ Avant tlo Iranslormcr l'cxpiession de R2,Hi,je ferai de la formule /i une a|)plic.alion qui nous conduira à des résultats importants en eux-mêmes et indispensables pour celte transformation.
Si l'on suppose que, dans la formule (4), f^x. soit un polynôme de degré inférieur c\ in ^ i, le reste disparaîtra de luimême ; on obtiendra ainsi des identités qui, en égalant dans les deux membres les coefficients des diverses puissances de x, fourniront des équations qui perrnettraient de calculer successivement B,, Bj, ... ; sans nous arrêter à ce point, prenons en particulier
on aura
(h -h l) (.T — I ," = x"+^ — (ce — 1 ; (G) ' +B, ("+!)" [X"-'
Le dernier terme contient [x — x — • i ) quand n est j^air et \x- — X — I -] quand n est impair. Si l'on désigne par /> un nombre entier positif, que Ion remplace dans l'équation (6) x successivement par I, 2, ..., p et que l'on ajoute, on aura, après avoir divisé par n n- 1,
/ + Bi^" VV^/^""'-'^-
Le second membre de cette formule, quand on y replace l'indéterminée ac au lieu de l'entier p, est ce que l'on appelle un polynôme (le BernoiilU, je le désignerai dans ce qui suit par (ûn'x ; si l'on tient compte de la remarque précédemment faite à propos du dernier terme de la formule G , on voit qu'il convient d'écrire
ciiAPiTUK VIII. — srn qieloies i»i:vf:i,(tiM'KMK.Nrs kn si;hif, io3
/ . \ / \ 0.. 4 an -h II .,„ , Ti (2'* "*" ' '2" 'n-i
(2n+i)'f2„(x)=a"^"-î*— ^ ^x^^ + B/ ^^ oc-»'
c , yj3 (an + 1)2/1 ...(2/1-- 31 + g) ^.î,.-.,^ 1 ^^
2/to.>„i(.rj= a-'-" — x-""' -+- 13
2n(2n —jj 2,^,
, 2nf2ft — i) (2n — 2) (2n^-^j 2„-4 , 1.2.0.4
f,VB. 3»(2» — 0---(^»— at + i) ^2„2; ^ ^ '' ' 1.2 ... 21
Les formules (6; et (8 mettent en évidence les relations sui-
vantes
ç,„(.'r) + cp,„ (— x) = — T-", o,»-! (3-) — «?>n-i(— 3r) = — a;-"-'.
En changeant dans la première de ces équations // en '.m, x en I — ic et ajoutant, membre à membre, à la seconde équation, on trouve
(10) ?2n(a^) H- ?2n(i — jr) = o;
on obtient de même
(10'''') ^-in-iix) — 'f2«-l(l — X)=0.
Ces relations montrent que (p^n^x] est une fonction impaire de X — , et [)ar conséquent s'annule pour x = ; au contraire
X est une fonction paire de x
Les formules (8j montrent que tous les polynômes o„ x^ sont nuls pour x = o; la première des formules (j montre ensuite qu'ils sont tous nuls pour x = i.
iCi i.NTnonrcTio.x v i.a tiikorik ors 1'0>t,tii»s
Enfin, si dans les équations 8 on prend les dérivées des deux membres, on trouve ininicdiatcment
/jjx ( ?'-2,.(a-)= 2«'f.,.-i(a^) — (— ij"B„,
( 9'->n^i{x) =={--in -h i)o,„{x),
qui vont permettre d'établir la proposition suivante :
Le polvnonie o^n x nul jiour x =^ o, x = , x = i, garde le même signe pour les valeurs de x comprises entre o et , , cliange de signe pour x = , , et garde un signe constant pour les valeurs
de X comprises entre et i . Le polynôme '-^o» f i ^- > ^^^ pour x^o
et ic = I, garde un signe constant pour les valeurs de x comprises entre ces deux nombres.
Ce théorème se vérifie sans peine pour les petites valeurs de ii ; admettons qu'il soit vrai pour les polynômes ç;o„i x , O-m'X], et démontrons qu'il subsiste pour les polynômes 'v.2„j i ip), Çan+ota?;.
Si le polynôme œ^jj^,, x s'annulait pour une valeur a de x, autre
que G et 1 . appartenant à l'un des intervalles (o, |, | , t j, au
premier par exemple, sa dérivée G'2;,-fi x s'annulerait pour un nombre compris entre o et a, distinct de ces limites; il en serait de même, en vertu de la deuxième égalité ii), du polynôme Çi,, X , ce qui est contraire à l'hypothèse; il résulte de la même égalité que la fonction '^^jî+i X varie toujours dans le même sens
quand x croit de o à . et dans un sens contraire cfuand x croît de à I : la fonction
(an H- 2)o2„+i(aî) + (— i)"B„+i peut donc s'annuler seulement une fois dans l'intervalle (o, ) et seulement une fois dans l'intervalle ( . i ); il en est de même de la
fonction Ç5'2„^.2(^J qui lui est égale, en vertu de la })remière égalité 'il . Or si la fonction 92»+ 2 •^y s'annulait pour une valeur 9j
de X autre que o, , i, comprise par exemple entre o et , la dé-
• '.IIAPITUE MU. SI II (JLEI.QI KS Ili;\ KJ.tilM'KMI'.MS E\ SKIilF. lOJ
rivée 'f'on-j tlcvrait s'aniuil?r |)i)ui- un nombre compiis enlrc o
et fj, et pour un nombre compris enlrc ■'^ et , ce qu'on vient de
démontrer être impossible. Il résulte de ce qui [)iécède que, dans
l'intervalle o, i , la fonction ç.2„^j x passe, pour x = ^. par un
maximum ou un minimum et que, dans l'intervalle o, i , il n'y a pas d'autre valeur de la variable qui lui fasse acquérir soit un maximum, soit un minimum.
La valeur de ce maximum ou de ce minimum se trouve facilement en partant de ce fait que l'on obtient le polynôme 'yn[x en multipliant par 1.3. .'5. ... n le coefficient de r" dans le développement en série, suivant les puissances entières et positives de z, de la fonction yj
Cette proposition se vérifie immédiatement. La formule B fournit les développements en série des fonctions
en multipliant la première série par
et retranchant du résultat la seconde série, on obtient le développement cherché - .
i^) La plupart des propriétés des polvnomes de Bernoulli peuvent se dctiuire de là. Voir sur ce sujet le Traité de calcul différentiel de .M. lierlrand (p. 353); j'ai emprunté au même ouvrage la démonstration de l'csistence du maximum
ou du minimum pour x =
{-) Notons en passant que, en supposant ./• entier positif, la fonction considérée peut être remplacée par
et que le coelficient de :" dans le développement de cette expression est manifestement
../... al'"+ =•" + ••• + (■-- ■)"].
I06 INTfSODUCTlON A LA THKORIE DES FONCTIONS
11 suit de là que o.,,,. J ) s'obtiendra en multipliant par
le coeflicient de r-"~' dans le développement de
le second membre se développe de suite en série au moyen de la formule [bj et Ion trouve
Enfin la première égalité (ii) conduit à la suivante : ?2« ( I ) — 'ii„ (o) = 2n i 'f o„i [x) dx — (— I )" B„, d'où
(.3) jy,,n-.{œ)dx = t-^^^"B,,.
Nous sommes maintenant en mesure de transformer l'expression du terme complémentaire.
En comparant les équations (5; et [8], on voit que l'on a
le second membre, en vertu de l'égalité 10 ^'^\ , est égal à 2n'5o„i ''t. ; finalement on a
^'^) ^"^' = 1.2. ..(^n-f) r ^^"- > OP'-n-r -^ l^t)àt.
La fonction ©2»i-i 'J) ne changeant pas de signe dans l'intervalle o, i) on peut appliquer à l'intégrale définie le premier théorème de la moyenne et, si l'on tient compte de l'équation ! i3), écrire
(i5) IW, = ^^'^;^J" /,^«-./2n+. (.r -^ GA),
en désignant par S un nombre compris entre o et i.
rilAPITHE Vril. SUR QCELQCES «i:VELOPPEME?iTS EX SKUIK IO7
Si dans l'intervalle (o, i) la l'onction de U p""^^ (x ^ ht, ne changeait pas de signe, on pourrait appliquer d'une autre façon le nxMiic lliéorème de la moyenne et, en s'appuyant sur ce que
'i-in-i ( ) est un maximum ou un uiiuin)um de la fonction Ç/o„i (tj dans l'inlervalle o, i , écrire
/ i\n + l R lin ,
(iG) R,„^i = 0 ^ '> ^^ ^ .,„, h'- A/-" (x),
en désignant par 0 un nombre appartenant à l'intervalle (o, i . Les formules i5 et lO sont dues à Malmslen. Lorsque R^nri ^^'^•^" nue indéliniment qutind ii augmente indéfiniment, l'cquation Ji [)eut être remplacée par une autre équation, dans le second membre de laquelle figure une série indéfinie. La convergence de cette série n'a lieu que dans des ca» très particuliers ' ; mais la formule (4) n'en a pas moins une grande importance ; on a vu plus haut comment elle fournissait immédiatement la somme des j)uissances ,ji.iiies jg^ p premiers nombres entiers ; elle conduit de la même façon à une expression de la somme
qui pourra servir à l'évaluation approchée de cette somme, si pour des valeurs convenables de n le reste complémentaire se trouve être suffisamment petit, .le me contenterai de citer dans cet ordre d'idées l'application de la formule d'Euler aux hypothèses suivantes :
/, = i. /' (:r) = log r (.r),
A/(^) =/(-ï - 0 "-/(^) = l iog (2^) -+- X log X — X.
en renvoyant le lecteur, pour le détail des calculs, au mémoire déjà cité de Malmsten. On parvient ainsi à la finniulc de StirUiuj savoir :
log r (a- H- i) = log [^-i-) -i- |x -h - 1 log X — X
"lin — 3) {"in — 2) .t''"~' {"in — i' 2n .r-"-' '
(H Voir le mémoire de M. Darijoux : Sur iiueljues dcveloppemmls en série. (-) L'expression, du reste, est «lue à Cauchy.
I08 INTROOrCTION A LA TUKORIE OES FONCTIONS
OÙ ô est compris entre o et i. Cette formule, qui est légitime, pourvu que x soit positif, fournit dos valeurs très approchées de r i^a; -h i;, ou si .r est entier, du produit 1.2 ... x, lorsque x est très grand.
T^a fornuile d'Eulor, légèrement modifiée, permet aussi de calculer approximativement une intégrale délinie.
Soit en effet F ;.r) une fonction continue et admettant des dérivées dans rinlcrvalle a, 6 , et soit, en désignant par /j un nombre
. -r 1 b — f* entier positif et en posant h = ,
si, dans la formule 4 , on remplace /' V; par ¥ x, Af(x) par
I F X (Ix et que l'on ajoute membre à membre toutes les
équations qu'on déduit de l'équation ainsi obtenue en y remplaçant successivement x par a, a -h h, a -+■ ih, .... a + p — i) /«, on trouve
<>,^jj{x)dx-\[Y{b)-Y{a)]
Quant au terme complémentaire, si l'on se reporte à la formule i''i5 , on voit qu'on pourra, en désignant par M2,, un nombre positif égal ou supérieur aux \aleurs absolues de F*'-"' [x) dans l'intervalle a, h), et par 5' un nombre appartenant à l'intervalle — 1,-1-1), l'écrire sous la forme
ï.,„ = 6' ('- 0IB.A':! M,„.
Si la formule 16^ est applicable, on pourra écrire Ces formules résolvent entièrement le problème posé.
c.iiMMTitK viii. — SL'u qui:lqli;s iti;vFj.(»i'i'r..Mi:.Ms r:.\ skuik kk) 266. — Soit
une série dont les termes sont des fonctions bornées et intégrables de la variable x dans l'inlervalle [a^, a) ; si celte série est uniforniémcnl ('onvoigenle dans cet intervalle, au sens étroit n" 182 il en est de iiiénie de la série
L Hrfa- + f,{x)dx + ...-+- I f„{x)dx -t-
soient 'j x et ^ x les sommes respectives des séries i et ^2, ; la fonction çj ^£C^ est bornée et intégrable dans rinler\allc a^, a , el l'on a, pour toutes les valeurs de ./; qui appartiennent à cet intervalle,
* (ce) = I o [x)dx.
Désignons en effet par S„ (oc} la somme des n premiers' termes de la série f^i et par R„ ^x) le reste correspondant, en sorlo (pie l'on ait
Je dis d'abord que la fonction o 'x\ est bornée el inlégrable dans l'intervalle a,,, a .
Soit en effet - un nombre positif arbitraire ; puisque la série (i) est uniformément convergente, an nombre £ correspond un nombre naturel p tel que l'on ait, ])our toutes les valeurs de l'indice // supérieures à p et pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle [qq, ci ,
De celle inégalité et de ce que la fonction Sn'x) est bornée, il résulte d'abord que la fonction © (x) est bornée dans l'intervalle (ÏQ, a). Dans ce même intervalle, l'écart de l\„fx) est inférieur à 2£. Ceci posé, soit x une valeur quelconcpie a|)partenanl à l'intervalle («q, '/ : la Innclion S„ x) étant, i)ar li\potlièse, inlégrable dans rinlcrvallc m^, x, au nombre positif; correspond certaine-
I lO IM'nontlCTION A LA TIII'.ORIE DES FO.SCTIONS
ment une décomposition tic rintervalle (a^, x), teîlc que la dîfFérencc entre les sommes si.pciioure et inférieure, relatives à cette décomposition et évaluées pour la fonction S„ ,r . soit moindre que c ; la même dilTérence, évaluée pour la fonction R„ x], sera moindre que 2 a — a^ £, puisque l'écart de cette fonction est moindre que 2 £ et que l'écart de l'intervalle («o, x) est au plus égal à a — «0 ; Ï3 même diflerence enfin, évaluée pour la fonction S„ ' .ic} H- R„ (x), ou ©(a;\ sera moindre que
comme 0 est arbitraire et que le facteur qui le multiplie est constant, ce produit peut être supposé plus petit que tel nombre positif arbitraire que l'on vondra ; il est donc démontré que la fonction O 'x) est intégrable dans l'intervalle 'Gq, a) ; il en est de même de la fonction
R„ (x) — o{x) — S„ (a-) et l'on a, pourvu que x appartienne à l'intervalle 'Gq, a ,
f '^{X)dx= f S„(.T)da-+ I K{x)dx.
La seconde intégrale du second membre est, en valeur absolue, moindre que 3 a — a^ ; on voit donc que, sous les seules conditions
'> 'x] fix et
J/^x fx f*x nx
I ^n{x)dx = ( fi{x)dx -h j /^ (a;) f/x H- . . . -t- / fn{x)dx,
est moindre que 0 a — an ; cette dernière quantité pouvant représenter tel nombre positif que l'on voudra, il est prouvé que la série [2j est uniformément convergente dans l'intervalle (a„, a) et que
sa somme <I> x^ est égale à j o [x) dx.
Supposons, en conservant d'ailleui's les notations et les autres bypothèses, que la convergence de la série i ne soit assurée, dans
r.llAl'ITllE Vlll. SI K (JLEI-gLKS ItKVKLDin'KMI-.MS K.N SlOItli: I I I
l'inlervalle a^, a , qu'au sens large. On peul. à chaque noinhro [)Osilif i, laire C(jrrcspondre un nombie natniol n tel qiu; l'on ait |R,, x'I <C î pour tontes les valeurs de ,'; ap[)artenant à l'inlorvallo Hq, a . Le raisonnement dont on s'est servi [)ronve que la (onction
rx <2'x) est intégrable dans l'intervalle a^, a) et que 1 S„ 'x dx est
une valeur approclx'e de | o^xdx avec une erreur moindre qne
i a — a„ . erreur qui peut être supposée aussi petite qu'on le vent; mais un ne peut conclure de là ni la convergence de la série : a , ni
l'égalité de la somme de celle série à I '> x dx; on pourrait en
effet s'éloigner de cette dernière quantité en prenant dans la série ; 2^ plus de n termes.
Si l'on suppose par exemple /^ la série i^ telle que S„ 'x^ soit égal à iixe~'"* ou à o suivant que n est impair ou pair, cette série sera uniformément convergente, au sens large, dans l'intervalle o, I et çi (x sera égal à o. On a d'ailleurs suivant les cas
I S„ (x) dx ^= il — j, ou I 8„ {x)dx = o.
La série 2 n'est pas convergente.
C'est sur le cas d'une série dont les termes sont des fonctions d'une variable X qu'on a appelé l'aLtentioa ; mais le lecteur, s'il veut bien se reporter au n' 181, n'aura aucune peine à énoncer et à démontrer une proposition plus générale que le théorème relatif à l'intégration, terme par terme, d'une série. Ce dernier théorème entraîne la réciproque que voici :
Soit
une série convergente dans l'intervalle a^, a , soit '^ ./.-, la somme de cette série ; supposons que, dans l'intervalle 'aQ,a , les fonctions
,'; (ici c\uiiij)lc est Un II M. Usgood [BuUelin (if Ihc uiiicrican mallicinatictl Society, 2' série, T. IX, p. 553).
112 INTUOntCTIl» \ I.A TIlKniUi: KKS K 0>C,TI(1.\S
J\ [x], f^^Xj, ••', fn -'■ , ■•• admcUcnt des dérivées continues /[x',. f^[x . ...,f^(x, ... ; si, dans le même intervalle, la série
est uniformément convergente au sens étroit , la fonction O'x) admettra une dérivée dans l'intervalle considéré et cette dérivée sera la somme ©' X; de la série précédente.
Si en efl'et on applique à cette série le théorème direct, on voit que, en désignant par x un nombre appartenant à l'intervalle i^Oo, a , on aura
(p' (.r) dx = i f[ [x) dx -+- I f., {x) dx
mais on a, en général
f!,{x)dx = Mx)-Ma,},
puisque la fonction /„ x est continue dans l'intervalle [a^, a). On aura donc
ç' {x) dx = /, {x) — /, (aj + f, {x) — f, {a,) = o(x)-9K)-
La fonction 'S^' x étant continue, puisque la série 4, est uniformément convergente, cette égalité montre que (p' 'x) est bien la dérivée de o (x) n" 251 .
Une série peut être uniformément convergente, avoir pour termes des jonctions continues, sans que la série des dérivées soit convergente. La fonction sans dérivée étudiée au n" 237 peut servir d'exemple ; il en est de même de la série dont le n'*'"*' terme est
sin ( 1.2. 3 ... 71. a;) 1.2.3 ... n '
qui, comme M. Darboux l'a montré, n'a pas non plus de dérivée. Voici maintenant quelques applications.
Considérons la série, entière en x,
tt(a;) = Ho H- «1^ + ••• + "«^" -+-...,
ciiAi'iTr.K Mil. - — ■ SI II oi'i'^i-QLKS iii;\i;li)I'I'i:mf,.nts i?n skiiik i i.)
où ;fo, «I,..., Il,,,--- sont des constanlcs; si]p[)Osons que celle série soil absolument convergente pour x- = A ; elle sera uniformément convergente dans l'intcrvallo — A, A et si x appailient à cet intervalle, on aura
G(.r) dx = u^x -+- », '^ -h ... -+- ii„ j^-z^^
On a vu, en particulier, (jue l'on avait, en supposant \x\ <i i,
I I , 1.3... (an — i) .,
