II

et que les trois séries qui figurent dans les seconds membres sont absolument convergentes dans l'intervalle ( — A, A) en supposant G <; A <C I ; si donc X appartient à cet intervalle, si, en d'autres termes, sa valeur absolue est inférieure à i , on aura

rp T*" /-p)X~\~i

arc tg .r = ' — '., -h ... -h ( — 1)" - --, 1-...,

arc sui a; = + r,- -[-... -{ , ' \- ....

En supposant toujours [ x | <C i, on démonlrera de même que l'on a (n" 196

alhx = los V/ = ~

ash X = log (x + v/i + X-) = 'o

^ ' 2. Ci... 211 2/1+1

on reconnaîtra plus tard que ces formules subsistent pour x = 1 ou x = — I lorsque les séries correspondantes sont convergentes : on reconnaît d'ailleurs immcdialemcnl que celles des valeurs i ou

Tasnkrv II. — liitroiluclion à la Tliéorie des fonctions 8

lljj 1>TR0III(.TI0> A I.A THEOUIE DES F (t.NC.TlONS

— 1 qui rendent divergente une de ces séries rendent infinie la fonction correspondante. On a déjà signalé n° 193 l'utilité de certaines de ces séries pour le calcul des logarithmes. L'expression de arc tg x appliquée à l'identité, bien aisée à démontrer,

= !^ arc tg - — arc tg

fournit le moven facile de calculer z avec une très graixle approximation.

Considérons encore la série

elle est uniformément convergente pour les valeurs de ./; qui appartiennent à l'inlervallc — a, a , en désignant par a un noïiabre positif plus petit que -. La somme de cette série est d'ailleurs