COS .T I

si l'on convient de reearder la fonclion . " comme prenant,

'- sin XX r '

pour X =^ G, sa vraie valeur, à savoir o ; on aura donc

('?^-')dx= V ( -^-'^^^,dx, Vsin X X. .i-J ;„ X' — n---

pourvu que x appartienne à l'intervalle ( — a, c/.. : cette égalité équivaut à la suivante :

, sin X V 1 / ^ \

° 37 jLà ^\ IV-.-

Sin */;

pour 3? = o, on doit remplacer par 1. Le second membre est

une série uniformément convergente dans l'intervalle ( — a, a). On déduit immédiatement de cette égalité

r.MAi'iTnF Tiii. — srn (.hfxot es in:\Ei.fiiM'F:HE>TS en séiue laô

celte égaiité, déinonlrée ixnir les "\ a leurs de j- comprises enirc — r. et -h T., subsiste évidemment poar les vaktjrs — r«t -+- ::, qui annulent sin x, et pour toutes les valonrs de r à cause de la pénodicilé des deux niendjies. On voit ainsi comment se relient les résultats pour lesquels on avait été obligé de donner deuv démonstrations distinctes {n"' 200, 201 .

267. — Les acrica IriijoiunnctriqHcn sont des séries de la forme

«0 -f- (rt, cos X H- 6, sin x) -)- {a., cos 2x -+- h., sin a.r) h- ...

-H (a„ cos nx -t- 6„ sin ^/r) -h ... ;

X est une variable que l'on supposera, dans ce qui suit, appartenir à l'intervalle — 7:, -|- ::; ; au, «i, 6i,-.., a„, 6,,,... sont des coefficients constants; an cos nx -r- b,, sin nx est le /i -+- i 'L"ie terme

de la série; on a alTecté le premier terme du coefficient pour la

commodité des calculs ultérieurs.

L'importance de ces séries, qui se sont introduites naturellement dans l'Analyse pour la solution de certains problèmes de mécanique et de physique mathématique a été révélée par cette remarque, due à Touricr, qu'elle paraissent aptes à représenter une fonction quelconque définie dans un intervalle d'écart égal à 2-.

Soit en effet/ x une fonction bornée dans l'intervalle ( — ~, t:) et supposons que l'on ait, pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à cet intervalle,

/ \ \f{^) = 2 "" "^ ^"' ^°^ ^ ~^ '^' *'" ^^ "*" ^"'- ^"°* '-ix -\- h., sin 2x) / -f- ... -h (a„ cos nx -+- b„ sin nx) -h

Multiplions les deux membres par cos px, p étant l'un quelconque des nombres o, i, 2, 3, ...; supposons que l'égalité subsiste quand on intègre le [)remier membre enIrc les limites — - et -, et le second, terme par terme, entre les mêmes limites, en sorte que l'on ait

f {x) cos pxdx==. a„ I cospxdx

- ^ f«» I cosn.rcos/)a-(/j: + ^,^ i sinnxcospxdxj

iiO

l>TUOI»l'C.TIO.\ A l.A TIlKdlUK llKS FONCTIONS

C'est ce qui arriverait ccrlaiiiciiient si la série (jui ligure dans le second membre de l'égalité (i' était uniformément convergente dans l'inlervalle ( — ir, t: . Si mainlcnanl on lient compte des égalités

/ cos n:c cos pxdx = I [ces [n — px) H- cos(/i + p)x] dx

sin (;i — p)x sin [n H- p) x

1 sin hx cos px dx = | [sin [n -\- p) x -+- sin (/i — p) x] dx

cos [n -t- p) X cos (/i — p) x 2 (« -+->) 2"(n^:^p)^

/ C0S2 pxdx='^ f (' "^ '^''' ^/'■'■) ''-^ = 2 "^ ^^^' (p § O).

Jsin px cos nj- t/x = | sin a px dx = . 2j ^ Ixp

cos 27)0",

qui entraînent les suivantes

cos nx cos pxdx = o [p § «) ,

I Sin /u" cos px dx ■=^ o (p S '0'

cos- px dx

sin px cos pxdx ^= o,

on voit de suite que l'égalité 2 revient à celle-ci

/"(.r) cos pxdx = Qj

en multipliant de même les deux membres de l'égalité 'i par sin px, et intégrant de la même façon, on trouvera sans peine

x) s'ia pxdx = bf, {p = i, -i, $, ...).

(.11 vi'iTiir. \iii. — sin ni i:i.niw;s i)i;vpj.niM'i;>ir.MS n.\ skiuk 117

Sans doiilc, si l'on un sail licn sur la iialiuc cK- la convergence (le la série fjui ligure dans le second membre de l'égalité , 1 , les calculs (jui précèdent ne sont en aucune façon légitimes; mais les lormules \, et 5 ont un sens [lourvu que la fonction y x soit bornée et intégrablc dans l'intervrdle — r., r, ; il n'est même pas nécessaire cjiie la fonction f'Xj soit bornée dans cet intervalle, pourvu que les fonctions /^aî s'in px, fx cos px, qui peuvent elles-mêmes être infinies aux environs d'un nondire fini ou infini de valeurs appartenant à cet intervalle, soient inlégrablcs, quel que soit l'entier />. entre les limites — - et -h -. Dans ces conditions, il est bien naturel de se demander ce qu'est la série Irigonométrique dont les coefficients a,,, b,, sont définis par les formules (4j et 5 , si cette série est convergente dans l'intervalle [ — t., tt , si, dans cet intervalle, sa somme est égab à fx . La recherche de conditions très larges, sous lesquelles on peut affirmer qu'il en est ainsi, a été l'objet d'un grand nombre de travaux importants. Je considérerai seulement le cas qui a été étudié par Lejeune Dirichlet, celui où l'intervalle — ;:, :: peut être décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction fXj soit continue et varie dans le môme sens si elle varie;.

Si dans le ^p -+- i »èrae terme a,, cos px H- h,, sin px de la série

(S) «0 H- (ai cos X -\- bi sin rr) -h ... -h (a„ cos /la? -+- 6„sin nx) -h •■•,

on remplace les coefficients a,,, b,, par leurs valeurs déduites des formules 4y et 5 , qu'il convient d'écrire sous la forme

«;- = ( /O')cos/)r<v, ^i' = ^j /O') s'n/'J'O'

afin de ne pas confondre la variable x qui figure dans les termes de la série S avec la \ariable d'intégration, on trouvera

h^ sin p.r ^ I /(,)') cos p ()' — .r) dx ;

«^ cos px

on aura donc pour la somme S« des n -h i premiers termes de la série S ,

Il8 I>(T1U)DL>:tI()> X la THÉOUIE des Fl>?fCTIOXS

en posant jx^ur abréger

r„ ^ -+- ros (v — x) -t- cos 2 ()' — s) -H ... -h cos ai (v — x), ;

mais en voiin de l'identité bien connue • / \ «

Sm (3 AT -h I) -

= -h Gos a -h cas 2a h- ... -f- cos na,

asiQ -

on a

d'oà

sin (an + i\

. r — ar 2 sin '

sin (2/1 H- i) •^~~

ar

/.+ Tr sm (^2/1 H- ij--~ —

2 sin

en entendant que, fHjur r ^ x. le rapport sin (2a -+- i}-

a sin "^

doit être remplacé par sa vraie valeur n -\ — . Relativement à l'intégration, la quantité xqui figure sous le signe / doit être regardée

comme im paramètre constant. La question posée revient ainsi à cbercher si, lorsque n augmente indéfiniment par valeurs entières et positives, l'intégrale qui figure dans le second membre tend vers une limite et, s'il y a lieu, à évaluer cette limite. En faisant dans cette intégrale la substitution

y = X -\- iz, on aura

f ' /(a: + 2c)^(^iL+ilid,.

ciiAi'iTiti: VIII. — sru qlelqiks i):ivi:L()''Pi:MK.\Ts r.N skmie i kj

L intégrale qui lifiiirc clans le second membre a sa limile infér rieurc négative et sa limite supérieure positive, puisque x est supposé compris entre — tt et -l- t ; elle peut être remplacée par la somme de deu\ antres intégrales, portant sur la même quantité et

ayant pour limites, la [)remière — et o, la seconde o et ;

en faisant dans la première la substitution c ^= — ^ et remettant ensuite la lettre : ù la place de l, on trouve finalement

1 ',> sm z

c, s sin (in -H i)z

J ' ein ?

dz.

sm 2

Les limites supérieures > des deux intégrales qui figurent dans le second membre sont comprises entre o et - et peuvent atteindre l'une ou l'autre de ces limites.

Cette formule montre que le problème posé revient au suivant : Reconnaître si l'intégrale

, . sm \nz ,

oîi a est un nombre positif fixe au plus égal à ~, q\\ cj z est une fonction bornée dans l'intervalle o, a , tend vers une limite lorsque ni augmente indéfiniment par valeurs positives impaires ; c'est le problème que je vais traiter, sous certaines conditions imposées à la fonction '^ ''z\

268. — Je ferai d'abord deux remarques préliminaires concernant l'intégrale

' sm mz , -.— dz, sin z

où a, ^j sont des nombres appartenant à l'intervalle (o. " j et ohm

désigne, comme je le supposerai dans ce numéro et le suivant, un nondjrc naturel impair.

120 INTUOlirCTU»" A LA TllKOUIE DES 1-0>C.TI0>S

Je montrerai irabord que la valeur absolue de cette intégrale, quels que soient les nombres a, li, m, assujettis toutefois aux condition? précédemment énoncées, est toujours inférieure à im nombre lixe. que l'on peut prendre égal à -. Supposons a << fj. Lorsque r varie de a a (i, la fonction sin z reste positive et croissante. Quant à la fonction sin mz, elle est, en général, tantôt positive, tantôt négative : décomposons l'intervalle a, jS en intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, sin mz garde le même signe ; si

1 on désigne par / et / les parties entières des quantités >

ces intervalles partiels seront bornés par les nombres

l'intégrale proposée peut être remplacée parla somme dej — i-h i intégrales ' dans lesquelles le signe / porte toujours sur la même expression

sin m: ,

. dz,

sm z

et qui se rapportent aux intervalles partiels définis par la suite précédente ; dans le premier intervalle, sin mz a le signe de — i)', puis les signes vont en alternant ; l'une quelconque des intégrales intermédiaires peut être représentée par

^ ' )m Sin m: , , . . . ,

. dz, (r = t + 1, i -t- 2, .... / — i).

Si, dans ceite intégrale, on fait la substitution

elle devient

sm

•^ m sin ( ;■ -]

dZ\

(') Ce mode de décomposition joue le rôle essentiel dans la démonstralion de Diriclilet.

CIIAIMTIU: Vlll. SIR QUELQUES rtKVKLOl'PEME.MS E.N SKIUK 13 1

celle foiine monlre loiit d'abord que la valeur absolue de celle intégrale diminuerail si l'on remplaçail /• par Vun quelconque des nombres r -h i, r -\- 2, ••.■../ — 1 ; en ellel les limites de l'inlé-

gralc resteraient les mèm3s et la quantité ( /• ^- ^ ) sera remplacée par une quantité au plus égale à ,v et par suite à ; ainsi à

partir de la deuxième intégrale, les signes vont en alternant, et les valeurs absolues vont en diminuant ; cette conclusion s'étend mènii-, puisque m |3 — jû est inférieur à ::, à la dernière intégrale dont la valeur est

, \ ■ / sm , ,^

^-^y .-7..-- rV'-

\'' m mj

ainsi n" 137) la somme des intégrales qui suivent la première est du signe de — 1}'+' et est, en valeur absolue, inférieure à

sin ^d^ /"^ sin Ct/C

sin (i + i) ^ -h "^ ^° m sin

L m mJ

quant à la première intégrale, elle est du signe de ( — 1/ et sa

valeur absolue est égale à

sin Ço?C

m(a-(7:) ,„ gin i ' + ^^ \ m m

quantité qui, puisque la limite inférieure m a — i~} est positive et inférieure à t., est elle-même au plus égale au second membre de l'inégalité précédente.

La \aleur de ce second membre est donc supérieure à la valeur de l'intégrale proposée ; mais on a, pour les valeurs de ^comprises entre zéro et r,

m sin ~- > sin C, m —

l'égalité n'avanl lieu que pour m =^ i ; en ell'et, pour ces valeurs de 'C la dérivée cos ^ — cos C de la fonction m sin ~ — sin 'C est

I 22 I>Tn0I)(;rTlO.\ .\ la IUKORlli dks konctio.ns

positive ; cette dernière Ibnction est donc cioissante. et par conséquent positive, ilans l'intervalle o, ;t . On a doue

m sin m

le second membre de cette inégalité est égal à r : la proposition annoncée est démontrée.

L'intégrale

sin mz ,

. dz,

sm z

est égale à ^, ainsi qu'il résulte de l'identité, déjà utilisée dans le précédent numéro,

sin mz , .

=^- ï -h 2 COS z ~\- 2 COS 2 r -H ... H- 2 CCS [111 — l) Z.

sin c ^ ^

269. — Ces remarques préliminaires faites, je suivrai, pour l'étude de l'intégrale

. - sm inzdz sm z

la méthode que l'on doit à Ossian Bonnet. Le premier point consiste à établir que l'on a

Hm. r 9(2) . ,