I . - sm mzdz = o

en supposant que b, c sont des nombres fixes, Intérieurs à l'intervalle 'o, 7:\ que la fonction ç, [z. est bornée dans l'intervalle b, c., enfin que cet intervalle peut être subdivisé en intervalles partiels tels que, dans l'un quelconque d'entre eux, la fonction (p c soit ou bien non-croissante, ou bien non-décroissante.

On supposera b < c, pour la démonstration. Il suffit évidemment de démontrer la proposition en supposant que la fonction <^[z) soit non-croissante ou non-décroissante dans l'intervalle ib,c). On peut même supposer, comme je le ferai, que les nombres 6, c

CIIAI'ITUE Vm. SL» QUELQLES DIÎVEI.OPPKME.NTS E.N SI'IllE 123

appartiennent tous Jeux soit à l'itiforvallc (o, j, soit \ I inttr-

valle ( '", T.). Si, en effet, ces condîlions n'étaient pas vérifiées [)Oui-

l'intervalle b. c , on subdiviserait cet inlcivalle en intervalles [)artiels pour lesquels les coudilioas seraient véritiées : la proposition établie pour cliacun des intervalles partiels s'étend évidemment à l'intervalle total.

Supposons d'abord que l'on ait o < 6 < c < " et que la fonction 0 [:], dans l'intervalle ^b, c\, soit non-croissante et ne soit jamais négative. 11 en sera de même de fa fonction ■ ; on pourra ~ sm ; *■

donc appliquer le second Ihéorème de la moyenne et écrire, en désignant par ç un nombre appartenant à l'intervalle b, c ,

i '.^ ' sm mraj = ^ . , I sm m:n:

'(, sin : sin h /^

m sm 0

et, par suite,

1, sm ;

mzdz

m sin h

dans ce cas, la proposition énoncée est établie. L'inégafifé préc^ dente s'applique en particulier dans le cas oij l'on a O'zj = i, et l'on en conclut

i sm mz

/;. sm z

^^= m sin b

Conservons les autres suppositions, mais n'astrei|j:nons plus la fonction o z à ne jamais être négative. Dans l'inlervalle 6, c la fonction c; z] — c c sera, comme ç> z , non-croissanle, et, de plus, ne sera jamais négative, on [)Ourra donc lui appliquer 1 inégalité I / et écrire

p 9(r)3(e) . [ I r z{z) . j , . r sm mz

S ■ ^ ' . — ^^^smmc(/j^ I . smm--(/^ — o(c) I - . - <lz

Jb »I»Z I \Jb ''"- u« *»"-

= m sin b

12 I lNTIU)l»ir.TIO> A LA TllKOltlF. liF.S FONCTIONS

on dédiiil de là, en tenant compte de l'inégalité i l'i

sin nizd:

< 2 j?(c') I ^ a o (b + o) — 2 9^c) — m sin 6 »i sin h

et, a forliori, en désignant par L la borne supérieure de la lonction I ç;,r | dans l'intervalle b. c , ou un nombre plus grand,

sin m:d:

= m sin 6

Observons que si l'inégalité i est vérifiée, il en est certainement de même de l'inégalité 3 , dont on peut donc allirmer

(pi'elle est vraie pourvu que l'on ait o <C ^ <C ^ ^ ~ 6^ que la l'onction ç z, soit non-croissante dans l'intervalle b, c . Si, au lieu d'être non-croissante, o z était non-décroissante, la l'onction — o z serait non-croissante ; il n'y aurait qu'à lui appliquer l'inégalité 3 , pour reconnaître que, dans ce cas encore, cette inégalité subsiste.

Enfin si l'on avait ' < 6 <C c < - et, si dans l'intervalle b, c

la fonction c; .:: était soit non-croissante, soit non-décroissante, on appliquerait l'inégalité 3 à la fonction Z' t. — z en remplaçant 6 et c par tt — c et - — 6 ; on aurait alors

Jr>T: — b ^ ■K C

d'où l'on conclr.t, en changeant z en -

izd:

^ GL = m sin c

T. — :: dans l'intégrale,

6L m sin c

La proposition énoncée est évidemment établie. Il me sera commode d'avoir fait les remarques suivantes.

Supposons seulement sur les nombres b, c qu'ils sont intérieurs à l'intervalle o, t: ; désignons par À le plus petit des quatre nombres positifs b, c, û — 6, r. — c. ?se supposons plus que la fonction o 'z, soit toujours non-croissante ou toujours non-décroissante dans l'intervalle b, c , mais que cet intervalle puisse être

ciiAPiTiu; vin. — SI II mielqles dkvki.oi'I'kmk.nts en skuie r.?.")

<lécomposé en p in(cr\aIlos pniticls où c. r satisfasse à la conilition précédente. Si l'nn de ces inlervallcs partiels contient à son

intérieur le nombre , on le décomposera en deux intervalles pai -

tiels ayant pour borne commune: on aura ainsi phi intervalles partiels, auxquels s'appliqueront, soit l'inégalité o soil l'inégalité 'j , en y rem[)laçant b et c [)ar les bornes de l'intervalle partiel. Dans tous les cas la valeur absolue de l'intégrale partielle correspondante sera au plus égale à

m sin ).'

en désignant [)ar L la borne supérieure de | O'z] | dans l'intervalle total h, c . On aura donc, sous les conditions imposées