CHAPITRE VII. l.Mi:<;i\.\Li:S hKI'I.MKS I.'i

d'une série convergente à Icrnics positifs quelconque, avant pour somme A, cl de multiplier chacun de ses termes par . , en désignant par a un nombre positif quelconque plus petit que i. Ceci posé, [)uisque E est dénombrablc, on [)cut en faire correspontlie les éléments aux nombres de la suite naturelle i, 2, 3, ... : on regardera l'élément fjui correspond au nombre n comme le centre d'un intervalle dont l'écart soit égal à u„ ; la somme des intervalles sera la somme de la série «i -4- «2 H- ••• + ii,i H- ... ; la proposition énoncée est évidente.

Par exemple l'ensemble des nombres rationnels qui appartiennent à l'intervalle G, I est dénombrable ; il est donc de mesure nulle, au sens qu'on vient de dire. Il est clair que le mot mesure est pris ici dans un sens diiVérent de celui de M, Jordan ; l'ensemble considéré, qui est dense dans tout yinlervalle o, 1 , a une étendue extérieure égale à i, une étendue intérieure égale à o ; il n'a pas de mesure au sens de M. Jordan.

La pensée d'un ensemble de mesure nulle, au sens qu'on a expliqué plus haut, et dense dans un intervalle choque quelque pou notre intuition spatiale, et le précédent exemple montrera [)cutêtre au lecteur qu'il ne faut pas se fier outre mesure à cette intuition, si féconde qu'elle soit : il justifiera peut-être aussi à ses veux la minutie de certaines démonstrations. Quoiqu'il en soit, je pénétrerai un peu plus avant, en indiquant, d'après M. Borel ' , quelques résultats intéressants.

245. — Considérons, d'une part, l'intervalle a, b , et, d'autre part, un ensemble I , formé d'intervalles, qui peut, d'ailleurs, être fini ou infini, dénombrable ou non ; je dirai que cet ensemble Ij recouvre l'intervalle a, b , ou que les intervalles de I recouvrent \a, b pour dire que chaque point de a, b est intérieur à quelque intervalle de l'ensemble '1 . Ceci posé, on a le théorème suivant, dont j'emprunterai la démonstration à M. Lebesgue ^, :

Si l'ensemble d'intervalles 1 recouvre l'intervalle 'a, 6 , il existe un nombre fini d'intervalles, appartenant tous à I-, dont l'ensemble lo recouvre a, b .

(') Levons sur la théorie des fondions, p. '42. (^) Leçons sur l'inU'<jration, elc, p. io5.

l4 INTKOOUCTION A L.V TllÉlMtll-. DF.S FONCTIONS

Supposons en effet que l'ensemble l recouvre (a, b\ Soit i[E) l'ensemble des points x de a, 6} tels que l'intervalliî (a, x) soit iccouveit par un nombre fini d'inleivalles appartenant à (I) ; tout revient à démontrer que b ap[)arlient à E . Observons d'abord que l'ensemble [E] contient certainement des points : tels sont les points de [a, b) intérieurs à l'intervalle de F auquel a est lui-mùme intérieur. Soit Xo la borne supérieure de l'ensemble E , ensemble dont tous les points appartiennent à [a, b) ; le point Xo appartient lui même à [a, b), soit qu'il appartienne à '[E), ou qu'il en soit un point d'accumulation. Il y a donc un intervalle (a.o, [îo], appartenant à I , auquel le point Xq est intérieur ; il y a un point Xi(xi -^Xo) appartenant à (£■) et suftlsammeut rapprocbé de Xq pour être intérieur à la fois à ^a, b] et à (ao, |5o). Puisque le [)oint Xi appartient à E , c'est que l'intervalle 'a, Xi) est recouvert par un nombre fini d'intervalles appartenant à I) : adjoignons à ces intervalles, qui recouvre-it a, Xi , l'intervalle ao, ^o], s'il n'en fait pas déjà partie : on obtiendra ainsi un ensemble fini d'intervalles qui recouvrira manifestement l'intervalle (a, x], pourvu que x soit un point intérieur à [7.0, [jo] ', en d'autres termes, x est certainement un point de E pourvu que x appartienne à (a, bj et soit intérieur à ao, jjo). En particulier o^o appartient à (£J) ; enfin Xo est égala b ; car si l'on avait x^, ■< b. il y aurait, au-delà de Xo. des points de a, b] qui seraient intérieurs à (ao> ^0] ', oco ne serait pas la borne supérieure de (E) .

Il suit de là que, si l'ensemble (I) recouvre l'intervalle a, b et s'il est dénombrable, en sorte qu'on puisse parler de la somme des intervalles qui le composent, on peut être assuré que cette somme dépasse b — a : en effet, la somme des intervalles de ,1 est au moins égale à la somme des intervalles de (lo) ; ces derniers intervalles étant en nombre fini et recouvrant (a, b), leur somme est certainement supérieure à b — a; c'est là un point sur lequel il me semble inutile d'insister.

Inversement, si l'on part d'un ensemble dénombrable d'intervalles I , et si l'on sait que la somme 7 des intervalles de cet ensemble est inférieure h b — a, on peut être certain qu'il y a des points de l'intervalle a, b] qui n'appartiennent à aucun des intervalles de (L .

Supposons en effet, pour arriver à une contradiction, que chaque

CIIAPITKK Ml. I.MKCIIAI.RS DKll.M KS l.j

point de a, b) aj)pailioiine à quelqu'un des intervalles de (l). Il ne lui sera pas nécessai renient intérieur; mais il est aisé de construire un ensemble d'intervalles l dont la somme sera encore inférieure h b — a, cl tel que chaque [)oint de a, b soit intérieur à un intervalle de V ; il suffit pour cela, ou conservant son centre à cliacun des intervalles de 1 , d'agrandir un j)eu cet inler\allc en le multipliant par ( i -h a ; la somme des intervalles de I' sera 7 \ i -+- u., et il suflira ilc prenilre le nombre positif 7. assez petit pour que cette somme soit moindre que b — a : tout point qui a|)partenait à un intervalle de I sera Intérieur à l'inlervallc correspondant de 1' ; ainsi, dans l'hypothèse où nous nous pla- <;ons, l'ensemble l'y recouvre entièrement l'intervalle a, 6 ; il v a alors un ensemble fini Je , contenu dans F , dont les intervalles ont donc une somme au plus éf:alo à 71 + a; <; b — a, dont enfin les intervalles, en nombre fini, recouvrent a, 6/ : l'absurdité est manifeste.

Soit donc, en supposant toujours que la somme 7 des intervalles de I soit moindre que b — a, E^ l'ensemble des points de a, b qui n'appartiennent à aucun des intervalles de I ; je dis que (E; n'est pas dénombrable ; si, en effet E était dénombrable, sa mesure serait nulle; il y aurait un ensemble J d'intervalles, avant une somme c' inférieure à ^ — a — 7, et tels que chaque point de (E) fût intérieur à quelque intervalle de (D) ; l'ensemble (I) + \l des intervalles qui appartiennent soit à (I) soit à (J) recouvrirait (a, bj\ la somme des intervalles de cet ensemble (I) -4- '^y serait au au plus égale à 7 -l- c et par conséquent moindre que b — a ; on a vu que cela était impossible.

Ce dernier résultat, rim|)ossibilité qu'il y a à ce que rcnscmble (E) soit dénombrable, n'a rien de surprenant lorsque cet ensemble contient tous les points d'un intervalle contenu dans a, b\, mais il n'en est pas toujours ainsi.

Prenons, par exemple, pour l'ensemble dénombrable I un ensemble d'intervalles dont les centres sont les points à abscisse rationnelle de l'intervalle o, i et pour lequel la somme des intervalles soit moindre que i. L'ensemble E est l'ensemble des [)oints de l'intervalle (o, i) dont aucun n'appartient à un intervalle de 1 1 ; si m, ni' désignent deux points de cet ensemble, il y a certainement entre m et m' un point r à abscisse rationnelle ; il est le

l6 INTRODUCTION A I.V TIIKOIUK DKS FONCTIONS

ccnlie (l'un -des inlorvalles de 1 qui sépare ainsi les deux points m, m' \ cnlre deux poinls quelconques tle l'ensemble non dénonibrable E , il y a des poinls qui n'appartiennent pas à E j : il est impossible que tous les points d'un intervalle, si petit qu'il soit, appartiennent à E .

246. — Soit f X une fonction de x définie dans l'inlervalle «0, a ; je désignerai sous le nom de somme 2l relative à la décomposition Oo, fli, ..., a„i, a ao < ai <. a> <C . . . <C a , \a somme

^ = l/(«.)-/(«o)i + i;(«.)-/(«oi + •••-+- i/(«)-/K-i)

La fonction f x est dite à variation bornée dans l'intervalle (''«0, o^ s'il existe un nombre positif A qui dépasse toutes les sommes 2l, relatives aux diverses décompositions possibles de l'intervalle a^, a .

Si la fonction/ ce est à variation bornée dans l'intervalle ^ao, a , elle est aussi à variation bornée dans tout intervalle (a, ^) contenu dans (ao, a), puisqu'on peut faire figurer les nombres a, jj parmi les nombres intercalaires. Toute somme relative à une décomposition de l'inlerNalle a, ^v est moindre que A. On a d'ailleurs.

et par suite, | fa | < A h- | / ^o | ; si x est un point quelconque de l'intervalle Oo, a , la fonction est à variation bornée dans l'intervalle Oo, x) et l'on a aussi

!/(-^)l<A-h|/(ao)!;

toute fonction à variation bornée dans un intervalle est bornée dans cet intervalle.

Une fonction qui est non-décroissante, dans l'intervalle (ao. aj, ou non-croissante n" 163 , est à variation bornée ; en effet toutes les sommes 1 sont égales à/ a~ — f'ao] dans le premier cas, à — [f a^ — /(«o^] dans le second.

Si la fonction /'ic} est à variation bornée dans l'intervalle (a,,, a,, l'ensemble des sommes 1 relatives aux diverses décompositions de

ciiAriTRF. vir. — i>ri:r,[i\i.i:s hkiimks i-j

cet intervalle est borné on haut. Sa borne supérienrc V Uo, a, est la variation (o laïc de la fonctiony x dans l'intervalle ''a,,, a' ; elle est au plus égale à A. Il est clair que, si l'on supprime quelqu'un des nombres intercalaires Oi, a>, .... rt„-i, la somme ^ reste la même ou diminue ; que, si on introduit de nouveaux nombres intercalaires, tout en conservant les anciens, la somme ^ reste la même ou augmente : qu'il y a parmi les sommes ^ des nombres aussi voisins qu'on le veut de \ ao, a . 11 y a en particulier des sommes i aussi voisines qu'on le veut de V ao, a et pour lesquelles les intervalles partiels sont aussi petits qu'on le veut : il suffit en effet de partir d'une quelconque lo des sommes ^ telle que l'on ait o<V — Zo<Cî>ctde subdiviser ensuite les intervalles en intervalles partiels, plus petits que la limite qu'on s'est fixée. Mais on ne peut affirmer ici, en général, comme pour les intégrales par excès et par défaut, qu'une somme 2! diffère aussi peu qu'on le veut de Y Ou, a pourvu que les intervalles soient suffisamment petits, parce que l'introduction ou la suppression d'un nombre intercalaire a pour lequel la fonction serait discontinue peut modifier la somme 2l d'une quantité finie, quelque petits que soient les intervalles. Il est aisé de voir que, si la fonction/ x est continue dans l'intervalle ao, a et si elle est à variation bornée dans ce même intervalle, les choses se passent comme pour les intégrales par excès et par défaut : une somme 2l est aussi approchée de la variation totale que l'on veut, pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits.

En effet, si l'on désigne par o^ le plus grand des écarts de la foncliony X relatifs aux intervalles ao, ni , ai, a^ ... fl/i-i, a , on reconnaît sans peine que l'introduction d'un nombre intercalaire dans la suite Oo, ai, ..., ùn-i, a ne peut augmenter la somme -que de 2 0^ au plus; l'introduction de /• nombres intercalaires ne peut de même augmenter 2l que de 3 rc? ; d'autre part on sait que ^ peut être supposé aussi petit qu'on le veut, pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits n" 164 ; dès lors la démonslralion du n" 241, avec quelques petits changements que le lecteur fera de lui-même, conduit à la [)ioposltion énoncée.

Su[)posons toujours que la fonction y j: soit à variation bornée. Une somme 2Î relative à la décomposition a^, a^, ..., a„,, a^ de l'intervalle a^, a est la somme des valeurs absolues des

Ta:<.<<ebt II. — lolroJuction à la Tbèoiie tles fonctions 2

i8 iNTnoDirno.N a i.a tiikoiui: nr.s fonctions

différences

Parmi ces différence?, si l'on ne lienl pas compte de celles qui sont nulles, les unes sont positives, les autres sont négatives ; soit p la somme de celles qui sont positives, — n la somme de celles qui sont négatives ; à charpie décomposition correspond un nombre p et un nombre /( ; on va montrer que l'ensemble des nombres p et l'ensemble des nombres n qui correspondent aux diverses décompositions possibles sont des ensembles bornés en haut et que leurs bornes supérieures cpe je désignerai par P (ao, ci), N (a^, a) satisfont aux relations

( P {a,, a) H- N («0. Cl) = V («„, a) (0 iPi«o,«)-N(ao.«)=/(«)-/'>o,)-

On a en effet, pour la décomposition considérée

(2) p -4- ,i. = V p ,i =/(a) — /(ao).

La première de ces égalités (2) montre que les nombres positifs p, n ne peuvent dépasser 2!! et, par conséquent, Y a^, a ; l'ensemble des nombres p et l'ensemble des nombres n sont donc bornés en haut. Ceci posé, si l'on se donne un nombre positif e, il \ a certainement une décomposition pour laquelle les nombres 1, p, n diffèrent respectivement de leurs bornes supérieures V (ag, a), P 'oo, a), N(ao, a) de quantités moindres que • : en effet, il y a certainement trois décompositions telles que les trois nombres positifs ou nuls Y («0» «) — ^' P {<^o> ^j — /'' ^ (f'o, Cl — n soient moindres que î, étant entendu que 1 se rapporte à la première décomposition, /) à la seconde, n à la troisième; rangeons par ordre de grandeur tous les nombres intercalaires qui entrent dans ces décompositions : il en résultera une quatrième décomposition où les nombres 1, p, n seront remplacés par des nombres 1'. p', n , au moins égaux ; donc les nombres toujours positifs ou nuls Y 'a„, a] — 1' , P «o» «) — P > ^ /'«' '^0 — '^' seront, a fortiori, plus petits que z. Dès lors, les deux égalités (i) sont des conséquences évidentes des égalités (2}.

Dans le cas où la fonction f{x) est non-décroissante dans l'intervalle (ao, à;, il est clair que l'on a Y («0. «) =/(«o) — /(«}

r.H vpiTiu: VII. — iMiocnvi-Ks ni:Fr>fiES i»)

= P (T,y, a , iN «0» « = o ; si la fonction f J') est non-croissante, on a au contraire \ 'oo, a = f'n^) — fa = — ^ '«fo» ^)^ P(rto. a == o.

Si. en supposant r/ •</'<< c, la foncf ion /(aï) est à variation bornée dans les intervalles 'a, b\ (b, c) elle est évidemment à variation l)ornée dans l'inlorvalle a, c) ; je dis de plus que l'on a

. Y ia, c) = Y (a, b) + Y (6, c).

Occupons-nous de la première de ces égalités.

Employons pour distinguer ce qui se rapporte aux divers intervalles, les notations l[a, b), 5(6, c), 2 (a, c) : elles désigneront des sommes formées comme celles que l'on a désignées précédemment par 1, et relatives à des décompositions des intervalles (a, b), (6, c , (a, c .

Si la décomposition de l'intervalle (a, c) à laquelle se rapporte la somme 5(a, c) est obtenue par la juxtaposition des deux décompositions des iatervalles (a, b}, (b, c, auxquelles se rapportent les sommes la, 6 , l[b, c], il est clair que l'on a

Donnons-nous un nombre positifs : il existe r.ne décomposilion de l'intervalle ^a, c , une décomposition de l'intervalle a, b , une décomposilion de l'intervalle (6, c telles que les difl'érences respectives entre les quantités Y {a, e\V(a, b^,Y(b, c^et les sommes l'a, c), Ka, b\ l'b, c qui se rapportent à ces décompositions soient moindres que c ; mais, pour ces sommes, l'égalité 4 n'est pas véiiliée, en général. Rangeons par ordre de grandeur croissante tous les nombres qui figurent dans ces trois décompositions, y compris les nombres a, b, c ; il en résultera trois nouvelles décompositions des interalliés (a, c , (a, b , (6, c telles que la première résulte manifestement de la juxtaposition des deux dernières; pour ces nouvelles décompositions l'égalité sera vérifiée; mais les nouvelles sommes l'a, c], la, />), 1 b, c sont supérieures ou égales aux anciennes, puisque les décompositions auxquelles elles se rap-

20 INTRODIT.TION A J.V TIIKORIK DES FONCTIONS

portent se déduisent des anciennes en inlroduisanl de nouveaux nombres intercalaires ; les nouvelles dillV-icnces

yia,c) — Z{a, c), \{a, b) — l{a, b), \{b,c) — S (6, c),

qui sont toujours positives ou nulles sont certainement plus petites que £ ; il faut donc que l'égalité

soit vérifiée, puisqu'il y a des nombres aussi voisins qu'on le veut de \ {a, c , V '«, b , V b, c qui vérifient cette égalité. Les formules

P (a. b) = V(«.fe)+/W-/H N (a. 6) = V(«.fe)-[/W -/(")]

qui sont des conséquences immédiates des égalités ( i\ et les formules analogues relatives aux intervalles b, c , a, c , permettent de déduire de la première égalité 3 la seconde et la troisième de ces égalités.

Il me sera commode d'avoir remarqué que, si une décomposition de l'intervalle a, c résulte de la juxtaposition de deux décompositions des deux intervalles a, b , b, c , on a

[Y {a, c) - Z{a, c)] = [V(a, b) — S (a, bf] + \y {h, c) — S (6, c)]

et que les trois différences entre crocliets sont positives ou nulles ; si, par conséquent, on sait que la première est plus petite que le nombre positif £, on est certain qu'il enest de même des deux autres.

247. — Supposons que la fonction/ x soit à variation bornée dans l'intervalle a, b] : si les nombres a, ^ appartiennent à cet intervalle, les symboles Y a, fj\ P a, ^ , N a, fj ont, par ce qui précède, une signification bien claire, pourvu que a soit moindre que 1*8; il est tout naturel de leur attribuer la valeur o quand jj est égal à a ; j'exclus le cas où ^j serait inférieur à a. P a, [jjj N (a, p) sont positifs ou nuls.

ciivpiruK VII. — i.nti:(;r\i.i:s hkii.mks 21

On a, cil supposanl (]uc ./; appailiciinc à rinlcrvalle (a, b.,

y(ar) —/(a) = P(a, x) — N (a. x) ;

puis, en supposant que h soil positif cl que x -\- h appartienne aussi à l'intervalle a, h,

les deux dernières égalités montrent que les fonctions Va,x),'S[a,x) [et par conséquent, la fonction Y [a, x ] sont non-décroissantes dans rinlcrvalle a, b . En vertu de la première égalité, on voit que la fonction fx peut être, dans l'intervalle (a, 6\ regardée comme la dilïérence entre deux fonctions non-décroissantes.

Si la fonction f ,x est non-décroissante dans l'intervalle («q a), la fonction N i«, xj est constamment nulle; c'est au contraire la fonction P <^a, x) qui est toujours nulle quand la fonction f 'x: est non-croissante.

Si la fonction/ a?) est continue et à variation bornée dans l'intervalle (a, b), les fonctions V(a, x], Va, x), N(a, x) sont continues dans le môme intervalle.

A cause des relations, valables dans tout l'intervalle a, b),

il suffit évidemment de démontrer la continuité de la fonction Va, X .

Soit z un nombre positif donné; il lui correspond un nombre positif y; tel que l'on ait | f[x') — f x} | <C c sous la condition que x et x' appartiennent à l'intervalle a,b et que l'on ait | x' — x \ <<>>> tel aussi que la dilTéroncc positive ou nulle Y «, b — ^ a, b) soit moindre que £ pourvu que tous les intervalles partiels de la décomposition à laquelle se rapporte la somme i a, b soient moindres que y;. Soient maintenant a, fj deux nombres c{uelconques appartenant à l'intervalle a, b et dont la dillerence soit moindre, en valeur absolue, que y;. Considérons une décomposition de l'intervalle [a, b où y., ^j soient deux nombres consécu-

22 INTIIOIUCTION" A LA ïllIiOKIE DES FO.NCTIOXS

lifs cl telle que tous les intervalles partiels soient moindres que v), les sommes l'a, rj\ ^'a, /5) qui interviendront plus loin, se rapporteront à colle décomposition arrêtée au nombre a ou au nombre .3: d'après une remarque antérieure, les dilTcrences positives ou nulles \'a, 7^ — 2 a, «;, Vi^a, /5; — l'a, jS) seront moindres que s ; on a d'ailleurs

en prenant le signe -h ou le signe — suivant que fj esl plus petit ou plus grand que a. On aura donc

et par conséquent

I V:(ffl,!3)-V(a, a)i<.^,

sous la seule condition ^j — c/. <ir,. La proposition est démontrée.