II. 51 n z
inz dz
m sin X
Nous sommes maintenant en mesure de montrer que l'intégrale >6
, , sm mz ,
o (z) —. dz
' ' ' sin 2
a une limite pour m infini et d'évaluer cette limite en supposant toujours que l'on ait
que, dans l'intervalle (o, h la fonction ^ {£) reste inférieure ou égale, en valeur absolue, à un nombre positif fixe L, et enfin que l'on puisse partager l'intervalle o, /> en un nombre fini /) d intervalles partiels tels que dans cliacun d'eux la fonction c; c soit, ou bien non-croissante ou bien non-décroissante.
Soit en elTet i un nombre [)ositif arbitraire. D'après les conditions imposées à la fonction çi 2, il est clair que :elte fonction tend vers une limite lorsque r tend vers o par valeurs positives ; désignons cette limite par o -+- o ; au nombre i correspondra un nombre positif y;, tel que, sous les conditions
on ait
T cp (x) — O (+ O) 1 < £.
Ceci posé, désignons par j'j un nombre positif moindre que r,, h, û. — h et tel que dans l'inlervalle ^o, ^S^ la fonction o [z] soit ou bien non- croissante ou bien non-décroissajite.
On aura
J, , sin me , [^ , . sin mz , [ , . sin mz , 'i (-) .- — (/- = «5 (:) - . - dz -h i o (r) --. dz.
La seconde intégrale du second membre peut se représenter par
2 m sin p
en désignant par Q' un nombre compris entre — i et -h i. Quant à la première intégrale du second membre, on peut lui appliquer le second théorème delà moyenne, et la remplacer par l'expression
, , / 'sin mz , ,r. \ / '^sin mz ,
c (+ o) . - f/z H- o (3 — o) . dz
Sin
, , T'^sm mz j r ,„ / , m C ^m mz ,
où c désigne un nombre compris entre o et ^"j ; en remplaçant dans le second membre de cette dernière égalité la première intégrale par
a ' m sin {i
et en se rappelant que la seconde est, en valeur absolue, au plus égale à ~, on voit qu'on peut écrire finalement
mz j ■^ / , T>
1 7n sin fi ^ ^ 2 m sin p
Ô' étant, comme 0 et 6', compris entre — i et + i ; on peut choisir d'aboid le nombre i, puis le nombre m, pour que R,„ soit, en va-
CHAPITUE Vm. sur. quelques DEVELOPPEMENTS E\ SKUIE 127
leur absolue, plus petit que tel nombre que l'on voudni : l'intégrale
, , sm nn , cp (:) - . — dz ' ^ ' sin ;
a donc pour limite o (-\- o quand m augmente indéfiniment ' . Supposons que la fonction o (z) dépende d'un pniamètre x et écrivons-la ç x, z) ; supposons même que le nombre positif b dépende aussi de ce paramètre; si, pour chaque valeur de x appartenant à un intervalle (g, h}, la fonction de z, o ^x, z , satisfait aux conditions précédemment spécifiées, et qu'en outre h cl ~ — }> ne soient jamais nuls, il est clair qu'on pourra écrire
. . sm mz t " / N T) / \
R„, aï; étant une quantité qui, pour chaque valeur de x apparte nant à l'intervalle ' tj, h tend vers o quand m augmente indéfiniment. De l'expression de Km résulte en outre la conséquence suivante : si les valeurs de L et p qui correspondent aux diverses valeurs de x restent, tant que x apppartienl à l'intervalle '(/, h . inférieures à des nombres fixes ; si les valeurs de b et de ~ — b restent supérieures à un nombre positif fixe ; si, en outre, la fonction 'y X, c tend uniformément vers sa limite ç; x, -+ o quand z
(') On a sujiposé clans ce c|iii [)rc'ct'(le m impair ; ce cas est le seul dont on aura besoin dans ce qui suit ; mais il convient de remarquer que la conclusion à laquelle on vient d'arriver ne suppose en aucune laçon cette restriction" elle n'est intervenue dans ce qui précède que j)ar répaiitc
Jo
sin z
on ('lablira sans peine que lorsque m aTipmentc iiidcTiniment jiar \aleurs paires et positives, lo premier membre de régulité précédente a pour limite ' , rc qui suffit pour les déductions ultérieures.
La méthode quon a suivie dans ce paragraphe permet, en imposant les mêmes conditions à la fonction ti (r), d'établir l'égalité
/ (5 (:) sin mz ;= S) (-1- o).
Kronccker a donné à Tintégrale qui ligure dans le premier membre le nom d'intégrale de Diricblet.
