I.NTllODl (.TK» A I.A TIIEOUIK DKS l-O.X/llO.XS
toiul vers o par dos \alciirs posilives, on sorte qu'à cluicjiie nombre positif I corrospondo un nond)ro positif y; toi cpio l'on ait
sous les conditions
la quantité Rm'£c convergera uniformément vers o pour les valeurs de X qui appartiennent à l'intervalle g, h , c'est-à-dire qu'à chaque nombre positifs' correspondra un nombre entier positif nï tel que l'on ait
tt (x, z) — . d: o (a-, + o) < s'
sous les conditions
Revenons maintenant à la question posée au n" 267 et notamment à la formule
sin (2n
dz
fix -h iz) ^-i dz.
■^ sm z
Supposons que la fonction / a; soit bornée et intégrablo dans l'intervalle — ~, -h ~ , que cet intervalle puisse être partagé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, elle soit, ou bien non-croissante ou non-décroissante ; il en sera évidemment de même, relativement aux intervalles! o, " — |, ( o, — — |
des fonctions de z, fix — iz, et/ x + iz], en supposant que le nombre x appartienne à l'intervalle ' — tt, h- ti) ; supposons d'abord que ce nombre ne soit égal ni à t: ni à — t.; les propositions précédemment démontrées relativement à l'intégrale
, \ sm mz ,
o [x, z) —. dz
CIl.VIMTHK VIII. SI II nlKLQI'KS liKVKLOPPEMEMS EN SKUiE 1 9AJ
sont applicables, et l'on aura it + ^ lim. I f{x — 2z) ''V';' clz = lf(x - o).
,. r ^ /•/ \ sin mz , - ., ,
celte dernière limite ne sera autre chose que / j; , si la l'onction / X est continue pour la valeur considérée de x; il résulte aussi de l'analyse précédente que si la fonction f Xj est continue dans l'intervalle (A, B), en supposant
et satisfait en outre aux conditions précédemment imposées, la quantité S„ tendra uniformément vers sa limite fixj pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à un intervalle quelconque ^A', B'j intérieur à l'intervalle (A, Bj.
Supposons maintenant que l'on ait a; = — ;:, la formule \^{i) donnera
f, , sin mz j
/(— t: -h 2z) —. clz;
le second membre peut être remplacé par la somme de deux intégrales dont l'une ait pour limites o et , l'autre , et -; en faisant
dans celte dernière la substitution z = t. — C, on trouve finalement
o C^ f/ \ sin mz , C^ n \ sin mz ,
' /„ •' '^ sm 2 ' '' sm z
et [)ar conséquent, en appliquant toujours le nièine théorème,
lim. S,, =
«1 = co
si l'on supposait a: = ~, on trouverait la même limite.
Ta:«:«eby 11. — Introduclion à la Théorie des fondions 9
l3o l.>rU0DUCT10> A LA THKOUIK DKS FONCTIONS
En résume :
^'ifx csl une fonction bornée clans l'inlcrvalle ( — n, -+- 7r\ si cet intervalle peut ètie découiposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que dans cliacun d'eux la fonction y ^a;} soit, ou bien non-croissante ou bien non-décroissanle, la série
- «0 + (^1 cos X -+- bi sin .r) -h ... + («„ cos nx -+- 6„ sin nx) + ...
OÙ l'on suppose
.t) cos ixdx (j = o, I, 2, ...), bj = l. j /(.r) s'mjxdx :j= i, 2, 3, ...),
sera convergente pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle ( — tz, -+- tz] ; pour une telle valeur, sa somme sera égale à
f{x-ho) +/(x — o)^
si a: n'est égal ni à — ::, ni à + " ; dans ces deux derniers cas, la somme de la série est égale à
Si la fonction y ù: , que l'on suppose toujours satisfaire aux conditions précédentes, est continue dans l'intervalle 'A, B), en supposant
et si A', B' désignent deux membres tels que l'on ait
la série sera uniformément convergente dans l'intervalle (A', B'y et y représentera /' x) ; enfin si la fonction /(as) est continue dans tout l'intervalle ( — r:, --h z et si l'on a
(IIVl'iTliK VIII. SIU nlKl.nlKS OKVKI.nl'Pr.MENTS ES SKUII". I .> I
la série scia unilni iiirincnl convergente dans ce même iiilorxallc et \ représoiilcra /' ./• .
Il est à [icine iililc de faire remarquer que la somme d'une série trigononiélii(]uc supposée convergente est une fonction périodique de o:, en sorte que les valeurs de celte somme se déduisent, quel que soit x, des valeurs relatives à l'intervalle — ~, -ht:.
Les formules qui donnent les coefiicients a,, hj montrent que si/ .r est une fonction impaire, tous les coefficients a sont nuls; au contraire &ifx est une fonction paire, tous les coenicients b sont nuls.
Le théorème [)récédent permet de construire des séries dont les sommes sont des luiiclions continues ou disconslinues dans l'intervalle — -, -r- ~ , fonctions qui peuvent être définies dans des portions de cet intervalle par des lois algébriques dillércntes ; je me contenterai d'indicpier les résultats suivants.
La série
sin X sin 3x sin 5 3*
sin (2 H + i)x
an -f- I
est convergente quel que soit x ; s\ x est compris entre o et t., sa
somme est ,' : cette somme est au contraire — , si .'• est compris
entre o et — " ; elle est nulle si x est égal à o ou à -. On a
X sin X sin 23c sin 3.t
pour X compris entre — - et -i- :: ; si l'on n x =^± ~, la somme de la série est nulle.
