I. DÉFINITIONS FONDAMENTALES

270. — Dans les chapitres qui précèdent, on s'est occupé presque exclusivement de fonctions d'une variable. L'étude des fonctions de deux variables est grandement facilitée par l'emploi du langage géométrique et des figures de géométrie plane. Ce langage a déjà été employé, puisqu'on a presque constamment confondu les nombres et les points d'un axe dont ces nombres sont les abscisses ; mais la signification numérique de ce langage était alors manifeste.

Lorsqu'il s'agit de fonctions de deux variables, et que l'on veut ne pas perdre le bénéfice du langage géométrique, il est nécessaire d'expliquer ce langage et de lui donner encore une signification purement numérique. C'est ce que je vais essayer de faire dans le présent chapitre. Le lecteur n'y trouvera aucune discussion concernant la nature des êtres géométriques ou des axiomes géométriques. Le procédé qui sera suivi consiste simplement à prendre comme définition certains des résultats de la géométrie analytique plane. Une fois qu'il a été saisi, et que les définitions sont acquises, le développement est facile, sauf pour quelques points sur lesquels j'insisterai davantage. On reconnaîtra sans peine que les théorèmes de géométrie plane euclidienne s'interprètent aisément, et que, tout en prétendant rester dans le pur nombre, il est permis de les invoquer et de s'aider des figures qui leur correspondent.

271. — J'appellerai pom/ un système de deux nombres x,y :, ces deux nombres sont les coordonnées du point : le premier en est ïabscisse, le second en est ['ordonnée. On désignera un point soit

r.iiAi'irui: IX. — i.a.n(;a(;|': (jkomktuioi i: l'.VS

[)ar le syslùme do ses cooiLloiinécs, iniso-^ eiilic itarciilhèscs ' , soil par une seule IcUre. h'orKjinc est le puiiil o, O;. Deux points ,x, J;,;^'. j', sont confondus si l'on a ./; = x' , y=^y', distincts dans lecas contraire. La dislance de ces deux points est

leur distance rcdailc est le plus grand des deux nombres \x — x'\, \y — y'\. La distance, réduite ou non, de deux points n'est nulle que si ces deux points sont confondus.

Le plan est l'ensemble de tous les points.

\lnc jifjure est \\n ensemble tle points. La figure l'\, est c(jalc à la figure F) si l'on peut établir entre les points de l'une et les points de l'autre une correspondance parfaite, telle que les coordonnées -x, v^ et 'x' , y') de deux points correspondants de la figure F et de la figure F') soient liées par des relations de la forme

(i) :f = p -i- x' cos (A) — y' sin m, y = q -{- x' sin w H- y' cos w,

où p, ij, 0) restent les mêmes quels que soient les points correspondants. La distance de deux points de (F) est alors égale à la distance des deux points correspondants de (F') (^ .

Il est très aisé de reconnaître que, dans cette définition, les trois conditions imposées à toute définition de l'égalité sont vérifiées :

Une figure F, est égale à elle-même. Si la figure F') est égale à la figure T , T est égale à (^F j. Si iVj est égale à (F') et F' à fF"), rF)'est égale à (F").

272. — Une droite est l'ensemble de tous les points x, y dont les coordonnées vérifient une même équation du premier degré A a; 4- B j -h C = o ; celle-ci est Vêqualion de la droite; il est sous-entendu que A, B ne sont pas nuls simultanément. Lorsque

B n'est pas nul, la penlc de la droite est — '., ; lorsque B est nul,

(•j La confusion enlrc le /joi/i< (.r,v) cl l'i/iic/'i-a/Ze (.rjj) n'est guère à craindre. (-) li en serait de même si la correspondance était exprimée par les formule.*

.r z=z p -\- x' COS 0) -f- v' sin o), v = «y -|- x' sin o) — v' cos w.

On pourrait dire alors que l'une des figures est égale h la figure symctrique de l'autre.

l34 IMROItrcTION A LA THKOr.IE 1»ES FONCTIONS

on (lil que l;i pente de la droite est infinie. Toutes les droites du plan sont des ligures égales.

In point est ou n'est pas sur une droite, celle-ci passe on ne passe pas par ce point suivant que les coordonnées du point vérifient ou non l'équation de la droite. On reconnaît iniuiédiatenient, sur les équations de deux droites, si celles-ci ont un point commun fsi elles se coupent , si elles n'ont aucun point commun si elles sont parallèles , si elles sont confondues. Deux droites parallèles à ime troisième sont parallèles ou confondues.

Par deux points distincts on peut fiire passer une droite et une seule.

Il est souvent commode de regarder imc droite comme l'ensemble des points 'x, y que l'on obtient en donnant à / toutes les valeurs possibles dans les formules

011 a, h, a, |3 sont des coefficients dont les deux derniers ne sont pas nuls à la fois ; on désigne alors souvent un point de la droite par la valeur correspondante de /; on dit <( le point / » au lieu de dire « le point x, y ».

Si l'on considère deux points distincts /^, f^ de cotte droite, le ftcrjment de droite, borné à ces deux points (,,, /,, est l'ensemble des points que Ion obtient en donnant à /, dans les formules précédentes, toutes les \'aleurs qui appartiennent à l'intervalle /(,, /, ; tout point de ce segment, autre que les deux points t^, ty, est dit entre ces deux points.

Le segment prend le nom de vecleiir si l'on distingue l'ordre des deux points /q, /, et si l'on regarde l'un de ces deux points comme le premier ou l'origine , l'autre comme le second ou l'extrémité : pour exprimer que le point f^,, par exemple, est l'origine et le point /, l'extrémité, on dit que le vecteur va du point t^ au point /,. Dans les mêmes conditions, on dit que le vecteur est déci II par le point t quand la variable / croit de t^ h /,, si l'on a /,j <C /,, décroît de tf^ h /i, si l'on a ^^ > t^. Cette façon de parler, dont l'origine est dans l'idée de mouvement, n'implique rien déplus n" 172 qu'un certain ordre de succession atlribué aux nombres de l'inlervalle 'Iq, l, ou aux points du vecteur.

(MAi'iTiir. i\. — I \N(;\<;i: crtoiKTitiorK i.\o

Sur la droite irnk'linic. il v a une inlinilé de verlcurs : les <lcu\ vecteurs qui vont l'un du point t^ au point /,. l'antre du poinl /j au point f^, sonl dits de même sens, ou de sens contraires, suivant que t^ — /,, et /, — /, sont, ou non, de mêmes signes,

l ne légère difficulté relative aux définitions précédentes consiste en ce que les coordonnées des points d'une même droite pouvant, d'une infinité de fac.ons. être mises sous la forme

on peut se demander •«i les délinilions que l'on a adoptées ne dépendent pas de la façon que l'on a choisie pour représenter la droite. Cette difficulté est aisée à lever. On reconnaît en effet sans peine que, pour que les équations

déterminent, quand t varie, le même ensemble de points que les équations i^, il faut et il suffit qu'il existe deux nombres )., a, dont le premier n'est pas nul. et tels que l'on ait

a' = Xa, a' = « -j- a;JL,

^' = A3. li =b -^- Su;

s'il existe de pareils nombres, les équations (ij et 2) définiront le même point quand les valeurs de t et de t' se correspondent de façon que l'on ait

t = II' -f- iji.

Lorsque À est positif, / et /' croissent ensemble ; lorsque À est négatif / décroît lorsque /' croît ; dans tous les cas, si /, — /q et t. — t, sonl, ou non, de mêmes signes, il en sera de même pour //— /,' et t' — t.;, etc.

Quand on parle du sens, ou de la direction, d'ime droite, c'est qu'on a fixé sur clic un vecteur, par exemple le vecteiu- qui va du point /,^ ail point /,. En disant alors d'un vecteur porté par la tlroite qu'il a, ou non, le sens choisi sur la droite, on entend simplement que le sens de ce vecteur est le même que le sens du vecteur fpii va (lu |ioint /„ au point /, : (ni dit aussi, suivant que /,, est

i>TRoi)rr.rio.\ a i.a tiikokik i>i:s i-onctio.ns

plus petit ou plus grand que /i, que le sens choisi sur la dioilc est celui dans lequel elle est parcourue quand / varie de — ce à -f- 3c , ou de -{- oc à — oc ; on peut aussi parler du sens qui correspond aux valeurs croissantes de /, ou aux valeurs décroissantes. On désigne sous le nom de demi droite avant pour origine le point a, b et pour coejjîcicnis dircclcurs les nombres a, jj l'ensemble des points que l'on obtient en donnant à /, dans les formules X T= a -\- c/.t , y =: h -\- j^/, la valeur o et toutes les valeurs positives. Le point x, y décrit celte demi-droite quand / croît de o à H- oc ; le sens de la demi-droite est le sens qui, sur la droite indéfinie, correspond aux valeurs croissantes de /. Les relations

a + a/ = a +(—«)(— 0, fc + p/ = 6 -^ (— ^) (— /)

montrent que l'ensemble des points obtenus en donnant à / des valeurs négatives ou nulles et, par conséquent, à — / des valeurs positives ou nulles, constitue une demi-droite ayant pour origine le point a, b et pour coefficients directeurs les nombres — a, — fj. La direction est opposée à celle de la première demi-droite. L'ensemble des deux demi-droites est la droite indéfinie. L axe des X est la droite dont l'équation est y = o. La partie positive de cet axe est la demi-droite formée par les points dont l'abscisse est nulle ou positive. La direction positive de l'axe des x correspond aux X croissants. Des dénominations analogues s'emploient pour l'axe des y.

Les deux demi-droites D), (D) définies par les équations

(D) rr = a -^ a/, j = 6 ^- |3t

(D') œ = a' ^ Oit, y = h' -^ <^l

et dont, ainsi, les coefficients directeurs sont les mêmes, sont parallèles ou confondues ; par définition, elles sont de même sens.

Par un point donné on peut mener une infinité de droites ; on peut en mener une, et une seule, parallèle à une direction donnée.

Les deux vecteurs qui vont respectivement du point (x^, y^) au point (a;,, y^) et du point (x^, yj) au point 'x[, y[) sont parallèles si l'on a

X, — a-„ y, — Vf,'

cil AriTIll". I\. I.A.MI.VCK (iKuMKTUluLi; l',^~

ils sont lie nièiuc sens, ou de sens cuiilraiies, suivant que ces ra[)-. ports sont positifs ou négatifs; ils sont ê(jaii)oUenls si les rapports sont égaux à i ; clans ce dernier cas, on voit tout de suite que les vecteurs qui vont l'un du point x^, y,, au point x^, y\ , l'autre du point Xj, j, au point x^, yl sont aussi équipoUenls; les deux premiers vecteurs et les deux seconds forment le contour d'un i>tiraUcl()ijraminc, sauf dans le cas où les quatre points sont en ligne druilc.

La demi-droite D , définie [)ar les équations

où t ne doit prendre que des valeurs positives ou nulles, a la même direction que lo vecteur qui va de l'origine au point a, ^j , ou au point Àa, ÀjS quand ). est positif. Si le point a, b varie et si a, fi restent les mêmes ou sont remplacés par des nombres proportionnels, le coefficient de proportionnalité étant positif, la direction de la demi-droite D reste la même. On peut ainsi, sans changer la direction d'une demi-droite, mulli[)lier ses coefficients directeurs par un même facteur positif. Les quantités

s'appellent les cosinus directeurs de la demi-droite D , ou de la direction définie par cette demi-droite; lorsqu'on se donne a et ^5, le nombre ç; est déterminé par les équations précédentes, à un multiple près de 2~ : si l'on pose r = / v^a^ -|- ^-, les équations qui définissent D peuvent être remplacées par les suivantes

X ^=z a 4- ;• cos'v, y = h -\- r siu'f,

;• est de même signe que l ; si /• est positif, le [)oint x, y] est sur la demi droite D ; il est sur la demi-dioile opposée si ;• est négatif; dans tous les cas, ia \aleur absolue de /• est la distance du point x, y au [)oint a, \> . Les quantités

— ces 'f = cos('j; -f- ~), — siii o = sin (-^ -t- t.)

sont les cosinus directeurs de la direction opp()séeà D .

Deux demi-droites parallèles à une troisième et de même dircc tion que cette troisième, ou de direction opposée à cette troisième, ont la même direction.

i38 i.NTuoitrcTioN A i.v ïiiKonir. des fonctions

273. — La distance des deux points /', /' de la droite définie par les deux équations

X ^= a -\- ot.t, y = 6 -i-p/

est égale à v^x"^ + p- j /' — t" \ ; on voit tout de suite que, si trois points / , /', /'" sont sur la droite et si le point f est entre les deux points t' et /'", la distance des deux points /', /'" est égale à la somme des distances des points /', /' et /", /'". Il en est de même pour les distances réduites, car la distance réduite des deux points /', l" est I a I I /' — /' I ou 1 1'5 I I /' — f I suivant que le nombre I a j est plus grand ou plus petit que i ^3 |.

L'inégalité

\\a -^ a'y- + (6 + l'y- < \/a^ ^-6^4- Va' + b"^,

qui ne se transforme en égalité que si ab' — a'6 est nul, permet de montrer que, ti les trois points .r,, y, , x,, j^ ' (-^s- J^^ ^^ sont pas en ligne droite, la distance de deux quelconques d'entre eux est plus petite que la somme de leurs distances au troisième, et que la distance de deux de ces points ne peut être égale à la somme ou à la dilîérence de leurs distances au troisième que si les trois points sont en ligne droite : elle est alors égale à la somme des distances au troisième si celui-ci est entre les deux premiers points ; autrement, elle est égale a leur différence.

Pour ce qui concerne les distances réduites, la proposition analogue peut s'énoncer ainsi :

La distance réduite de deux points est égale ou inférieure à la somme des distances réduites de ces points à un troisième point.

274. — Deux droites, dont les coefficients directeurs sont respectivement a, |S et a', ^S' sont perpendiculaires lorsqu'on a y.y! -^ ^^' = 0. Les deux axes sont perpendiculaires. Par un point, on peut mener une perpendiculaire à une droite et une seide.

Le carré de la distance d'un point fixe à un point variable d'une droite fixe est ime fonction du second degré de !a variable qui détermine la position du point variable sur la droite; l'étude de la variation de cette fonction est très aisée ; la fonction est minimum quand le point variable coïncide avec le pied de la perpendiculaire

c.iiM'nni; i\.

i.A>(;\f;K ci-HMrriuoi K

monéc du point (i\c à la droite ; la \alcur de ce niininmin est ladistance du point fixe à la droite. La même étude fournit les théorèmes classiques sur les longueurs des [)erpcndiculaires et des obliques.

275. — Considérons une droite D , et soit nx -I- 6y + c = o son équation. Deux points (x^, y,\ 'x.,, y^) qui n'appaitiennent pas à celte droite sont dits du même cûlé par rapport à cette droite, si les deux nombres r/x, -t- />y, -I- c, ax,, -+- by„ -+- c sont de mêmes signes ; dans le cas contraire, les points sont de calés différents par rapporta D . Si les deu\ points sont d'un même côté, il en est lie Miéine de tous les points qui a[)parliennent au segment qui relie les deux points, segment qui ne rencontre pas D). S'ils sont de côtés différents, il y a un point x', y \ de D sur le segment qui les relie; tous les points du segment qui relie (x' , y') à (x,, y, ', sauf le point (x' , y'), sont d'un côté de la droite ; tous les points du segment qui relie {x' , y') à [x.^, y^), sauf le point a;', j' s sont de l'autre côté. On dit alors de la droile D qu'elle est entre les deux points .r^, y^\, 'x.^, y., .

On peut définir le cijlé r//'o// et le côté r/aac/tc d'une droile D quand on a choisi une direction sur celle droite. Supposons que celle droite soit définie par les équations

et qu'on ait choisi sur cette droite le sens qui correspond à / croissant : soient x,, j,) et \X^, j^} deux points de cette droile correspondant aux valeurs /,. t., du paramètre ; soit a^o, Jo un point en dehors de la droile, le délcrminant

^0 Jo

a -h ^l.^ l) -h ^ii I

<Vo-^)-P(x„-a

iW.

n'est ]ias nul ; son signe, qui détermine de quel côté de la droile '^^D se trouve le point x^, y^^"^, ne dépend du choix des points /,, I,, que par le signe de /^ — /, ; supposons /. > /,, en sorte que le sens du vecteiu" qui va du point /j au point /., soit le sens qui. sur

l4o INTROIIUCTION A LA TlIKtHUK I>[:S rO.NCTlO.VS

la droilc D , corrcspoml, aux / croissants : on dira que le point ^0' ïo) 6St à gauche ou à droite de D) suivant que le déterminant est positif ou négatif; on dit, avec la même signiQcation que le point \^Xo, Vo est à gauche où adroite du vecteur qui va du point (x'i, j,) au point ^r^, y/, ou de la demi-droite qui, sur D , a la direction de ce vecteur. Tout point pris sur la partie positive de l'axe des v est à gauche de la direction positive sur l'axe des x ; tout point pris sur la partie positive de l'axe des x est à droite de la direction positive sur l'axe des y. Etant donnés trois points Ao, A,, Ag non en ligne droite, si A^ est à gauche du vecteur A,A^, le point A, est à gauche du vecteur A^Aq et le point A^ est à gauche du vecteur AqA,, etc.

Si l'on ccnsidère deux droites [)arallèles sur lesquelles on a choisi la mémo direction, ces deux droites partagent l'ensemhle des points qui ne sont pas situés sur elles en trois ensemhles, les points situés à gauche des deux droites, les points situés à droite des deux droites, les points situés à droite de l'une, à gauche de l'autre; ces derniers sont dits eiilre les deux droites : tout segment qui joint deux points situés dans l'un de ces ensembles lui appartient tout entier. Les points situés entre les deux droites appartiennent à des segments dont les extrémités sont respectivement situées sur ces deux droites.

276. — Les points situés sur ime droite "^D , à laquelle on a attribué un sens, ne sont situés ni à droite ni à gauche de D . Il est commode, dans un très grand nombre de cas, de pouvoir dire d'un point quelconque qu'il est à droite ou à gauche de D) ; pour cela, on considère cette droite comme double, comme formée de deux droites parallèles, confondues en réalité, mais que l'on distingue par la pensée : on dit alors que cette droite constitue une coupure, dont les deux bords sont respectivement ces deux parallèles, l'une constituant le bord droit, l'autre le 6o/v/ ^a«c/«(' : le bord droit est regardé comme faisant partie de l'ensemble des points qui sont à droite de la coupure D , le bord gauche est regardé comme faisant partie de l'ensemble des points qui sont à gauche de D . Alors un point quelconque est, soit à droite, soit à gauche de D ; mais si ce point est sur (D , il ne suffit pas, pour le spécifier, de donner ses coordonnées ; il faut encore dire s'il appartient au bord

CIIVI'ITIIK IX. L.\.N(iAf;K CKOMKTIUnlK I^I

gauche ou au boni droit de D . Lorsqu'on a à figurer une droili» à laquelle on donne celle si^^nification de coupure, il est conimodr d'eni|)lov(n- un schéma où les deux bonis sont distincts.

277. — Considérons les deux demi-droites D , D' définies [»ar les équations

(D) X = a -h Oit, y == 6 + pi

(D') x = a -h oLl'. y z= h -i- jâ'/'

où /, /' doivent prendre des valeurs nulles ou positives ; elles ont même oriirine; supposons que a^^' — yJ^b ne soit pas nul, c'est-àdire (|ue les deux dioites ne soient pas confondues.

La figure formée par ces deux demi-droites est ce qu'on appelle im atv/le. Le sommet de cet angle est le point a, h ; les deux demi-droites D , D y sont les cotés de cet angle.

La demi-droite D' est à gauche de la demi-droite D si y.^j — a'jS est positif; elle est à droite si a.3' — a S est négatif. Lorsqu'on attribue un ordre aux deux côtés, on dit que l'angle est orienté et qu'il a la disposition directe si le second côté est à gauche du premier, la disposition indirecte si le second côté est à droite du premier. L'angle dont le premier côté est la partie j)Ositive de l'axe des x, dont le second côté est la partie positive de l'axe des y a la disposition directe.

Puisque v.^' — y.'^î n'est pas nul, les équations

x = a ^ oLt -^ %'l', V = 6 -4- i>t H- '^'l'

peuvent être résolues par rapport à /, /' ; ces formules établissent une correspondance parfaite entre les systèmes (x, y) et les svstèmes t, /'). L'ensemble des points 'x, y; que l'on obtient en donnant à /, /' des valeurs positives non nulles'^ constitue ce qu'on appelle Yintêrieur de l'angle ; Vexlérieur est l'ensemble des autres points, en exceptant toutefois ceux qui appartiennent aux côtés de l'angle. Si l'on regarde D comme le i)remier côté de l'angle, D' comme le second, et si la disposition est directe, tous les points situés à l'intérieur de l'angle sont à gauche de D , à droite de (ïy j ; réciproquement, tout point qui est à gauche de ' D , à droite de D' , est alors à l'intérieur de l'angle. Ce serait l'inverse si la

I ;j2 INTHODIC.TIO.N A LA TIlKlHUr, DES KOX.TIO.NS

(.lisposillon de l'ant^le clail indirecle. Si deux points sont à liiilélieur Jun anj^lc, il en est de même de tous les points du segment cpii les relie. Tous les points dune dcmi-droilc avant son origine sur l'un des cotés d'un angle, parallèle à l'aulrc c«*)lé et de même sens, sont intérieurs à l'angle, sauf l'origine de cetle demi-droite. Tous les points situés entre les deux extrémités d'un segment qui relie deux points des deux cotés d'un angle sont intérieurs à cet angle et lous les points intérieur? à l'angle pHivcnl être oblenus de celte façon.

Les droites indéfinies A\ A' sur lescpielles sont situées les demi -droites D , D' forment quatre angles; en désignant par D, , D,' les demi-droites opposées à /D , D'}, ces angles ont pour côtés ;D et D';, (D') et D,), (D,) et (D;», D;} et (D). Chacun de ces angles est adjacent au suivant et au précédent; le troisième est opposé par le sommet an premier ; de même le second est opposé par le sommet an quatrième. Tout point qui n'appartient pas aux droites A , A ' est intérieur à l'un dos quatre angles et à un seid. On voit sans peine, pour chacun de ces angles, de quel côté, par rapport aux directions D , ' D , sont les points intérieurs. Deux angles opposés par le sommet ont la même disposition en supposant qu'on regarde comme premier côté de l'un des angles la direction opposée au premier côté de l'autre.

On a vu plus haut comment la considération d'un angle défini par les deux demi-droites 'D\ D'^ permettait de décomposer le plan en deux régions, l'une inlérieure à l*angle, l'autre extérieure. En supposant que D soit le premier côté et ' D' ; le second côté de l'angle, il est parfois commode de pouvoir désigner Tune de ces région comme étant à gauche, l'autre comme étant à droite de l'angle, cet angle étant regardé comme la figure formée par les deux demi-droites. En supposant que l'angle ait la disposition directe, les points intérieurs sont dits à droite de l'angle et les points extérieurs à gauche; c'est le contraire si la disposition est inverse. Pour accorder celte définition avec l'intuition, on doit regarder le premier côté comme ayant, non la direction (D définie par les deux coefficients directeurs a, 5, mais la direction opposée ; en employant le langage cinématique qui, comme on l'a déjà dit, n'implique pas autre chose qu'un ordre de succession attribué aux points de la figure formée par la réunion des deux demi-droites

cuvi'iTiiK i\. — l.\.\<;vi;e (.komktiik.u k i43

(Dj, (D'}. on regardera le premier cùlé cominc paicoiini par un mobile dont les coordouiices successives s'obtiennent en faisant dècroili'i' I de -r- co à o; au contraire, pour le second côlé, le^ coordonnées s'obtiendront en laisant croître / île o à -h x .

Dans ces conditions, ï«i la disposition de l'angle est directe, les points intérieurs à l'angle sont efleclivenienl à droite des deux côtés. Quant au\ points extérieurs, ceux qui sont dans les angles adjacents à l'angle donné sont à gauclic des deux côtés ; bien que les points situés dans l'anizle opposé par le sommet soient à droite des doux rôles, on les regarde comme étant à gaurlie de Vanrjle.

278. — Considérons deux angles orientés ^Xj, A' dont le premier et le second côté sont respectivement définis par les formules

X ^ a -I- r cos 'i, v ^= fc -j- r sin '^i, X =^ a -h r cos 'l, y ^= b -\- r sin -l,

pour le premier angle, par les formules

:r' = a' -h r' cos ■■^' , y' = 6' -|- /•' sin ^', :/ = a' 4- r' cos 'i/', v' = b' -+- ;•' sin 'l' ,

pour le second ; on a vu plus haut comment les équations qui déterminent les côtés peuvent toujours être ramenées à cette forme. Les deux figures A" et 'A' ; seront égales si l'on peut établir entre les points des côtés une correspondance du type précisé au n'^ 271 et telle que les premiers côtés des deux angles se correspondent, ainsi que les seconds côtés; les sommets se correspondent nécessairement; écrivons que les deux premiers côtés se correspondent point par point ; puisque la distance de deux points doit être égale à la distance de deux points correspondants, il faut évidemment que l'on ait, pour de tels points, /■ = /" . Les égalités

a -f- r cos o ^ p -I- (a' + r cos -s,') cos w — [b' -h r sin 'i') sin 'o, a -h r sin ç = ry -h (a' -t- r cos o') sin oj -\- (Jj -f- r sin ':^') cos w^

qui doivent èlrc des identités en /'. exigent que les nombres ç- et o' H- co dilTèrent seulement d un multiple de 2 ~: il doit en être tle même des nombres 'J> et <l' + o), comme on le voit en considérant les seconds côtés; ceci exige qu'il en soit de même des

l44 IMnODUCTlON A l.A TlIKORT, DES lO.Nt.TIO.NS

nombres 'i/ — ç; el 'V — o' ; si cette dernière condition est vérifiée, on pourra prendre pour w le nombre o — (p' ou 'h — 'j»', et il est aisé de constater qu'on peut alors déterminer les constantes p, q de manière à réaliser la correspondance qui assure l'égalité des deux figures (A , A' . La condition

•y — o' ^ d/ — o (inod. ar)

qui s'énonce 'V — o' congru l\ ^ — -p suivant le module 2 ~ et qui signifie que les deux membres séparés par le signe ^ ne dilTèrent que d'un multiple de 2 ~, est donc la condition nécessaire et suffisante pour que les deux figures A , A so'xQwi cc) nies, au sens qu'on vient de préciser. Le nombre '|i — ç;, dont l'importance est manifeste, ou ce nombre augmenté d'un multiple de 2 n, est la mesure de l'angle ^A) ; lorsqu'il n'y a pas de confusion à craindre, on dii souvent que l'angle (A) est égal h à — (p.

Ces définitions s'appliquent lors même que l'angle A' n'existe pas à proprement parler, c'est-à-dire lorsque la quantité

cos cp sln •!/ — sln o cos 'l = siti {<\i — o)

est nulle, ou que '} — 'J est un multiple de r ; lorsque 'i> — o est un multiple de 2 7r, les deux côtés de l'angle sont confondus, on dit souvent que l'angle est nul ; tous les points, sauf ceux qui sont sur les côtés, sont extérieurs à l'angle ; lorsque 'b — o est un multiple impair de z, les deux côtés de l'angle sont dans le prolongement l'un de l'autre : il importe de remarquer que les mots intérieur ou extérieur de l'angle n'ont plus de sens dans ce dernier cas. Celle des valeurs de 'b — ç; H- 2 /m (ji entier qui est la plus petite en valeur absolue, est la valeur principale (de la mesure de l'angle ; ceci n'a de sens que si d» — © n'est pas un multiple impair de r ; la valeur principale d'un angle est positive ou négative suivant que l'angle a, ou non, la diposition directe.

L'angle de deux directions quelconques 'D), (D'j est, par définition l'angle de deux demi-droites ayant pour origine un point quelconque et respectivement paralèlles aux deux directions données ; je représenterai souvent cet angle, ou sa mesure, par le svmbole D, D' en supposant que D soit la première direction, et (D'; la seconde. Si(D), (D';, (D"y sont trois directions quelconques^

ClIMMTIti: l\. I.A.MiAM': <.i;o\I i; IKIOIE I |;j

on a

^D, D) H- (D, D)=o (inocl.27:).

(D, D') -h (D', D") -H (D", D = o) (mod. 2 7r), (D, D") = (D, D') -+- (D', D") (mod. ar).

En conscr\ant les notations antérieures, les directions D;, D'j seront parallèles ou confondues si 'h — ':> est un multiple de " ; de même sens, si 'b — o est un multiple pair de -, opposées si 'b — z est un niulli[)lc impair de -. Les deux directions sont perpendiculaires si la niesiue de leur angle est un mulli|>le iii)|)air

de"

On a

(X. D), ■•o = (D, Y) (mod. 2

en désignant par X et \ les directions positives sur l'axe des x et sur l'axe des y.

Les formules

X = a -\- r cos 'f , y = h -r- r sin 'f, r > o

quand on attribne une valeur déterminée à o, définissent une demi-droite dont l'origine est a, b .

Cette demi-droite varie avec o ; si '^ croît ou décroît, de a à ,3, on dit que la demi-droite tourne autour du point a, 6 de la position initiale, correspondant à la valeur o = a, à la position finale, correspondant à la valeur ç) = j'S ; dans le sens direct si l'on a a <! (3, dans le sens indirect si l'on a a > ^j ; dans les deux cas, on dit qu'elle a tourné de l'angle jS — a ; le lecteur ne doit pas oublier, d'ime part, que cette façon de parler n'implique rien autre chose n" 172 qu'un ordre attribué aux valeurs de ':> et aux positions correspondantes de la deini-droite et, d'autre part, qu'elle appelle l'attention non seulenienl sur les positions extrêmes initiale et finale do la dcnii-droitc, mais aussi sur les positions intermédiaires. Lorsque ^' — 7. est, en valeur absolue, moindre que ~, l'angle dont a tourné la demi-droite n'est autre chose que la valeur [)rincipale de l'angle dont les deux cotés sont la position initiale et la [)Osilion finale de la demi-droite. Dans ce cas, toutes les j)osilions inteinirdiaires sont intérieures à cet angle et toute position

Taskebï II. — Inlro.iuction & la Théorie des fondions 10

l/|6 INTimniTTION A I.A TIIKORIF. DES FONCTIONS

de la demi-droite intérieure à l'angle correspond à une valeur de o comprise entre a et j>. Lorsque ^ — a est égal à ~ ou à — -, on dit que la demi-droite a décrit im demi- plan : les deux positions extrêmes sont opposées. Lorsque ^ — a est égal à 2 t: ou — 2 -, on dit que la demi-droite a décrit tout le plan : sa position finale coïncide alors avec sa position initiale.

Considérons un angle orienté dont les deux côtés D), D') sont des demi-droites ayant leur origine au point a, b\ et dont je désignerai la valeur principale par o). Si l'on imagine que la demidroite mobile coïncide d'abord avec D , elle peut tourner autour de a, h de manière à décrire l'intérieur de l'angle ; elle tournera de droite à gauche ou de gauche à droite, suivant que o) sera positif ou négatif; quand clic a tourné de l'angle o), elle a décrit l'intérieur de l'angle ; elle coïncide avec D' . Si elle continue de tourner dans le même sens, elle décrira l'extérieur de l'angle ; pour le décrire tout entier, elle doit, à partir de la position (D' , tourner d'un angle égal 32- — w si ^^ est positif, à — 2 7: — w, si'w est négatif; elle a alors tourné, à partir de D), d'un angle égal à 2 -, ou à — 2 -, suivant les cas ; elle est revenue à la position initiale. , Le lecteur continuera sans peine : il reprendra les choses, s'il veut, en supposant que la demi-droite tourne d'abord, à partir de D), de manière à décrire l'extérieur de l'angle D, D' ; il constatera que, dans tous les cas, toutes les fois que la demi-droile mobile coïncide avec D' , elle a tourné, à partir de D d'un angle égal à '2 TiT. -\- 0), n étant un entier.

Considérons une suite de nombre-

rangés par ordre de grantleur croissante si ^j est plus grand que a, décroissante si (ïi est plus petit que a, tels, en outre que la différence entre deux nombres consécutifs soit moindre que - en valeur absolue.

A cette suite de nombres correspond une suite de positions D ,

D,), (D2 . ... de la demi-droite mobile, une suite d'angles D, D^ ,

D,, D^ , ... ; la somme des valeurs principales de ces angles est

l'angle dont la demi-droite doit tourner pour passer de la position

initiale à la position finale, ainsi qu'il résulte de l'identité

P — a = (ïj — a) -H (a, — a,) + ... + (3 — a„,).

CHAI'ITIlt 1\. LA.M;A(;K (ilioMlilUKjLK ikj

Considérons une doini-droitc fixe A ayant son ori^dnc au point a, h el deux dcnii-droiles quelconques D , D' ayant leur origine au même point a, b et dont aucune ne coïncide av«c 'X.. La demi-droite A peut servir à tiélinir, sans ambiguïté, et d'une façon qui est souvent commode, l'une des mesures de l'angle /D, D' . On imagine une demi-droite mobile coïncidant d'abord a\TîC D), toumaat autour de a, b de manière à coïncider avec (D') saiis passer par la position A ^ ; elle aura décrit l'intérieur de l'angle D, D si A est extérieur à cet angle, l'extérieur de l'angle D, D';, si (A est intérieur à cet angle. Dans tous les cas, on choisit pour la mesure de l'angle D, D' t l'angle dont la demi, droite a tourné.

En particulier, quand on prend pour la demi-droite A , la direction négative sur rax:e des a;, l'angde, défini comme on vient de le faire, de la direction positive sur le même axe et d'une direction quelconque n'est autre chose que la valeur principale de l'angle de ces deux directions.

279. — Un cercle dont le centre est le point «;„, Yq; et dont le rayon est le nombre positif /• est l'ensemble le lieu des points dont la distance au centre x^, Jq) est /' ; c'est donc l'ensemble des points dont les coordonnées x, y vérifient l'équation

ces points sont sur le cercle, qui passe par chacun d'eux. L'ensemble des points dont la distance au centre est moindre que r constitue Vinlérieur du cercle ; je dirai de tous ces points et des points situés sur le cercle qu'ils appartiennent au cercle : l'ensemble des points dont la distance au centre est plus grande que r constitue l'extérieur du cercle. Sur le segment qui joint un point intérieur au cercle à un j)oinl extérieur, entre les deux extrémités, il y a un point du cercle et un seul. Le segment qui joint deux points intérieurs au cercle est tout entier intérieur au cercle. Sur chaque demi-droite qui a son origine à l'intérieur du cercle il y a un point du cercle et un seul. Les théorèmes classiques sur l'intersection d'une droite indéfinie et d'un cercle, sur l'intersection mutuelle de deux cercles, et sur les j)ositions relatives de deux cercles s'établissent sans aucune difliculté.

l48 I>TR(>nr(.TIO> A l-A TIIKOIUK I)lvS KO.VCTIO.NS

Doux cercles dont les ravoiis sont égaux sont des figures égales. Tous les points situés sur le cercle de raN on /• et de centre x^, j^; s'obtiennent en attribuant à la variable 'a, dans les rorniules

(i) .T = .T^ + r cos w, V = Vo + rsin w,

toutes les valeurs qui appartiennent à \\n intervalle dont l'écart est 2- : les valeurs extrêmes donnent le même point ; les autres points ne sont obtenus qu'une fois. Si l'on fait varier w dans un intervalle d'écart moindre, on obtient un arc de cercle.

Si, dans les mêmes formules, on regarde o) comme une variable qui doit appartenir à un intervalle d'écart égal à 2 t: et /* comme une variable qui doit a[)partenir à l'intervalle 0, R , rensemble des points distincts ainsi obtenus sera l'eosemble des points qui appartiennent au cercle de centre Xq, Jo et de rayon II. Cet ensemble comprend les points intérieurs au cercle et les points situés sur le cercle.

280. — L'ensemble des points dont la distance réduite à un point fixe Xo, Vo est égale à un nombre positif donné /• constitue un carré ''ou, si l'on veut, le contour d'un carré dont les côtés sont des segments parallèles aux axes et ont pour longueur 2 /■ ; l'ensemble des points dont la distance réduite au centre x^^, r„ du carré est moindre que /' constitue V intérieur du carré ; je dirai des points intérieurs au carré et situés sur le carré qu'ils appartiennent au carré ; l'ensemble des points dont la distance réduite au centre (^0' Jo) ^" carré est plus grande que r constitue Y extérieur du carré. Le lecteur énoncera sans peine des propositions pareilles à celles qu'on vient de rappeler pour le cercle.

Plus irénéralement, on dit des points dont les abscisses appartiennent à l'intervalle a, n et les oidonnées à l'intervalle 6, h' , qu'ils appartiennent à un rectangle dont les cotés sont parallèles aux axes ('), et dont les sommets sont les points a, b , 'a', b;, (a\ b'), (a, b' . Les points qui sont sur le rectangle sur le contour) sont ceux des points précédemment définis dont l'abscisse est égale

(') Dans ce numéro et ceux qui le suivent inimédistement, il ne sera question que de tels rectangles ; aussi je supprimerai le plus souvent les mois « dont les côtés sont parallèles aux axes ».

CIIAI'ITIU". IV. I.A.\(;.V<;K (iKOMKTUlO» R i/|Q

soil à n, soit à rti', on doiil roitlonnro est égale soit à 6, soit à h' : Iciii' ensemble i-onsliliie les quaUc ci*itcs du rectangle. Les points qui appailicnnenl au rectangle sans èlre sur le rectangle sont à Vinlcricur du rectangle. Le segment de droite qui joint deux points intérieurs au rectangle est tout entier intérieur à ce rectangle. Les points (pii n'appartiennent pas au rectangle lui sont extérieurs. Les dimensions du rectangle sont les nombres \a — a' \, \h — h' \. h'airc d'un rectangle est le produit ilc ses dimensions. La distance réduite do deu\ points intérieurs est moindre (jue la [)lns grande des dimensions.

J'ap[)ellerai premier sommet du rectangle le sommet qui a la plus [lelile abscisse et la plus petite ordonnée, troisième sommet celui qui a la plus grande abscisse et la plus grande ordonnée ; le second sommet a même ordonnée que le premier, le quatrième sommet a même abscisse que le premier. Un rectangle est déterminé quand on donne son premier et son troisième sommet.

Si Ton a a < a' , b << h' , le premier, le second, le troisième, le quatrième sommet sont les points! a, h\, a!, b , a!, b' , [a, b' ;.

La distance de deux points appartenant à un rectangle est au

plus égale à la distance du premier et du troisième sommet, ou à

v'/i^ -h AS en désignant par h et A; les dimensions du rectangle.

Le pomt I - , I est le centre du rectangle.

281. — Si deux rectangles (R), (R') sont tels que tous les points qui aj)partiennent au second appartiennent au premier, je dirai que le premier conlienl le second. En désignant par a,, ai , 6,, 6,') les intervalles auxquels doivent appartenir respectivement les abscisses et les ortlonnécs des points qui apparliciment au second rectangle R, , et en sup[)osant d <^a , 6 <; b' , a^ <^ a[, 6, <; 6,', dire que Ry contient H, revient à dire que l'on a a-<^ a^ <i a[ <^ a! ,

Considérons deux systèmes de nombres «1, «2 a«+i,

''l, b, bj,yi

tels que l'on ait

lOO IMUMWrcTIOV A l.V THKOKIE UES FONCTIONS

le rectangle IV tlonl le premier et le Iroisièine sommet sont les |>oinls a,,/), , nn~\,bp~\ ronlionl chacun des np rectangles Rj,^) \i = I. 'i., ... n ; j =^^ I. -i, ... /> dont le premier et le Iroisiènae sommet sont les points a,, bj , lu^t, bji . Réciproquement chaque point du rectangle R appartient à un au moins des rectangles ^R,,^ ; s il est intérieur à l'un de ces rectangles, il n'appartient qu'à lui. On peut décomposer de cette façon en np rectangles tout rectangle R dont les côtés sont parallèles aux axes. L'aire du rectangle R) est la somme des aires des rectangles Ri^).

Considérons deux suites de nombres, indéfinies dans les deux sens,

... a„,, a„, ..., a i, «a, fl,, .... «„, «,,4,, .... ... ^„i, h„, ..., b^i, fcf,, h^, ..., b„, b„ui, ...,

telles que, pour l'une et l'autre suite, les termes aillent en croissant avec l'indice et que l'on ait

lim. a„ = -}- co , lim. a„ = — oo ,

lim. 6„ = H- oc , lim. 6„ = — 00 ;

n =z KO n = co

les parallèles aux axes dont les équations sont de la forme x = a,, dune part, y = bj, de l'autre, en désignant par /, j des entiers quelconques, partagent le plan en bandes indéfinies ; une de ces bandes est, par exemple, l'ensemble des points dont les abscisses appartiennent à l'intervalle m, a,- ly ; une autre est l'ensemble des points dont les ordonnées appartiennent à l'intervalle bj, b,j^i •..

L'ensemble des droites x = a., y = bj détermine ce que j'appellerai un fjuadrillafje du plan ; le plan se trouve décomposé en rectangles tels que le rectangle dont le premier et le troisième sommet sont les points respectifs (a,, 6,}, fai+i, è;+i). Un point quelconque du plan appartient à l'un de ces rectangles au moins ; il peut appartenir à un seul, à deux ou à quatre.

CIlAfMTKI-: l.\. I.A.\(.A(;E CKOMKTmnlK lui