II. — SriTES; ENSEMBLES; MENS; FONCTIONS

282. — Nous aurons à considérer des suites cl des ensembles d? poinls ' I. Un très yrand nondjie de délini lions et de [)roposilions relatives aux suites et aux ensembles de nombres ou de points sur un axe s'étendent immédiatement aux suites et aux ensembles de couples des deux nombres ou de points dans le plan : je résume ci-dessous les principales : lorsqu'il n'y aura pas d'explications, c'est qu'elles sont inutiles ou que celles qu'on a données au chapitre III suiliscnl. On a toutefois à remplacer les dilTérences entre les nombres par des distances entre les points ; on considérera, suivant que cela est plus commode, des distances réduites ou des distances vraies ; remarquons d'ailleurs, une fois pour toutes, que lorsqu'on dit que la distance de deux points tend verso ou croît indéfiniment, il n'importe pas que la distance soit réduite ou non, puisque le rapport de l'une à l'autre appartient à lintervalic

Considérons une suite de points x,,, r„ ii ^= i , •>. x

on dit que le point x„, r„ , admet, pour n infini, le point a, h comme limite, lorsque la distance des deux points x„, y„ a, h a pour limite o quand n augmente indéfiniment. Il fanl et il sulFit pour cela que Ion ait

lim. Xn = a , lim. j„ = h.

(') Le mot poinl est jiris ici dans le sens du n" 271 . c est un svstème de deux noililjrcs ; le langapre adopté dans le premier \olume peut prêter à quelques confusions, qu'il suffit de si^ïnalcr au lecteur pour (pi'il n y tombe |)as : jusqu'au prt'sent chapitre, le mot point a été en cfTct sjslcmaliquement confondu avec le mot nombre ; c'est ainsi qu'on a dit un poinl d'accumulation d'un ensemble de nombres; alors un [)oint était un seul nombre : ccsl. maintenant. »m système de deux nombres : au point de vue géométrique on peut dire qu'il s'agissait alors de points sur un axe et qu'il s'agit maintenant de points dans le plan. (Juand il s'agira d'ensembles tels que ceux qu'on a principalement considérés jusqu'ici, dont chaque clément est un nombre, et lorsque quelque confusion sera à craindre, je dirai élément iF accunmlalion au lieu de point d'accumulation; ce dernier terme sera, au contraire, employé pour les ensembles de points, tels que je les considère actuellement.

102 l>TR(tl»r».TION A LA TIH.OIUK DF.S roM.TlO.NS

On dit qu'un ensemble E de points est borné -luanil les abscisses et les ordonnée? de ses points sont moindres en valeur absolue qu'un nombre positif P; il est clair que les points de l'ensemble sont intérieurs au carré dont les sommets sont les points ±P, =bP ; au reste l'ensemble des abscisses des points de E admet dans ce cas une borne inférieure a, et une borne supérieure a ; de même l'ensemble des ordonnées des points de E admet une borne inférieure /> et une borne supérieure b' ; tous les points de l'ensemble (E ■ appartiennent au rectangle donc le premier et le troisième sommet sont les points a. b a', //) : ce rectangle se réduirait à un segment de droite si l'on avait a^=a', ou b = />' , à savoir, dans le premier cas, au segment dont les extrémités seraient les points a, b , a, b' ; cette circonstance, comme il est aisé de le voir, ne peut se présenter que dans le cas oii tous les points de E appartiendraient à ce segment. Les notions de bornes supérieure et inférieure ne s'étendent pas aux ensembles de points tels que nous les considérons actuellement.

L'('Vr;/7 d'un ensemble borné de points est la borne supérieure de l'ensemble des distances de deux [)oinls de cet ensemble.

On appelle point d'accumulation d'un ensemble infini E^ de points un point A tel que, quelque petit que soit le nombre positif £, il y ait une infinité de points appartenant à E dont la distance réduite ou non au point A soit moindre que h. Le point A peut d'ailleurs appartenir on non à E . Si A n'est pas un point d'accumulation de E , on peut regarder ce point comme le centre d'un cercle, ou d'un carré, auquel n'appartiennent aucun point de E sauf A lui-même, si A appartient à E : dans ce dernier cas, A est un point isole de l'ensemble.

Si un ensemble E de points est borné et s'il comprend une infinité de points, il admet au moins un point d'accumulation.

Soient en elTet A l'ensemble des abscisses et B l'ensemble des ordonnées des points de 'E . Ces deux ensembles sont bornés. A chaque élément a de A correspondent les points de E , en nombre fini ou infini, dont l'abscisse est a; je dirai que les ordonnées de ces points sont les éléments de B qui correspondent à a et j'en désignerai l'ensemble, fini ou infini, par B„ .

S'il y a dans A un élément a auquel correspondent une infinité de points de 'E , et, par conséquent, un ensemble infini Ba),

CIIAriTUi: IX. KA.NG.Vr.E C.KOMKTIlinri: ia.>

ce dernier ensemble adnjcltni un clément d'accumulalion !>, cL le poinl (i. h S(Ma un point d'accumulation de (E . Cette circonstance se produira cerlainement si A est fini : car s'il n'y avait, dans \ , que p nombres distincts, et si à cbacun de ces nombres ne correspondaient, dans B qu'un nombre fini d'éléments, au plus égal à q, il y aurait, au plus, pq points dans E .

Si, maintenant, l'ensemble A est infini, soit a un de ses éléments d'aciumulation ; cpiclque petit que soit le nombre positif i, il y aura une infinité de points de E^ dont les abscisses, distinctes de a. appartiendront à l'intervalle a — £, a -i- s ; soient E £^ l'ensemble de ces points, B c l'ensemble de leurs ordonnées; si l'on a c" > £ , il est clair que E Y. contiendra E i' , c'est-à-dire que tout point de E s'i sera un point de Es", que B s"; contiendra B c'^ ; donc n" 156 , il y aura au moins un nombre ^ qui appartiendra à tous les ensembles U s . ou qui sera pour chacun d'eux un élément daccumulalion. Dans les deux cas. le point a, ^'5 sera un [)oint d'accumulation de E : dans le premier cas, parce qu'il y aura dans E , quelque petit que soit le nombre £, au moins un [)oint d'ordonnée ^S dont l'abscisse, autre que a, appartiendra à l'intervalle a — £, a 4- £ ; dans le second cas, parce que, quelque petits que soient les nombres positifs £. v^ il y aura dans E au moins un point, dont l'abscisse, autre que a, a[)[)artiendra à l'in tervalle a — £, a + £ et l'ordonnée à l'intervalle f-^ — y^, |v -h y; .

11 y a lieu de remarquer que, par la démonstration précédente, se trouve établie la proposition que voici :

Soient E un ensemble de points, infini et borné, et 1) une droite parallèle à l'axe des y : si l'on sait que, quelque petit que soit le nombre positif £, il y a une infinité de points dans E qui sont à ime distance de ^D;, inférieure à £, on peut alTirmer qu'il y a, sur la droite (D^, un point d'accumulation de E . Le lecteur n'aura aucune peine à reconnaître que la proposition subsiste lors même cpie la droite L) n'est pas parallèle à l'un des axes de coordonnées.

L'ensemble des points d'accumulation d'un ensemble E est l'ensemble flériré ' E'j de 'E .

Un ensemble infini borné est dit clos, ferme, ou complcl s'il contient tous ses points d'accumulation.

IJ4 IM r.dKK. riO.N A I.A TlIKoniK ItKS FONCTIONS

L'ensemble dérivé diiii ensemble borné est clos, ou ne conlienl qu'un nombre fini de points.

Un ensemble clos esl parfait s'il coïncide avec son dérivé.

Si l'ensemble ^E; contient l'ensemble Ei , l'ensemble dérivé E) de (E, contiendra l'ensemble dérivé (E,'j de i Ei .

L'ensemble des points qui appartiennent à un rectangle ou à un cercle est clos. L'ensemble des points intérieurs à un rectangle ou à un cercle ncst pas clos, puisque les points du contour (ou tle la circonférence) sont des points d'accumulalion et n'appartiennent pas à l'ensemble.

233. — La proposition du n" 156 se généralise aussi immédiatement.

Désignons par P un ensemble de nombres positifs dont o soit \\n élément d'accumulation, qui n'appartient d'ailleurs pas à (P^. Regardons les nombres qui consliluent P comme des \aleurs attribuées à la variable c.

Soit E'^z^ un ensemble de points, déterminé pour chaque valeur de £ appartenant à P;. Je suppose essentiellement, sur l'ensemble £■ V, qu'il existe, c'est-à-dire qu'il contient des points, en nombre fini ou infini, pour chaque valeur £ de(P;. Je suppose en outic qu'il satisfasse aux deux conditions suivantes.

1° Si c' et c" appartiennent à (P; et si l'on a s' >> s", l'ensemble E(î') contient l'ensemble E,f).

2° L'ensemble EU) est borné, quelque soit le nombre £ ap[)artenant à (P,.

Sous ces conditions, je dis qu'il existe au moins un point /. qui appartient à tous les ensembles E[z) ou qui, pour chacun de ces ensembles, est un point d'accumulation.

Soient, en effet, â(c et B (s l'ensemble des abscisses et l'ensemble des ordonnées des points de E[z,. A chaque élément a de A (s) correspondent un ou plusieurs points de E(z , qui ont pour abscisse a; à chaque élément a de A e^ correspondent par conséséquent un ou plusieurs éléments de B(£,, à savoir les ordonnées de ces points de E{z) qui ont a pour abscisse.

On voit tout de suite, par le théorème du n" 156, qu'il existe au moins un nombre v. qui appartient à tous les ensembles A (e) ou qui est, pour chacun d'eux, un élément d'accumulation.

«IIIAI'ITIIK IX. L.V.N<JA(;K «.KUVlt.llUnrK l.).J

Plaçons-niius dans le [)rciiii('i- cas : /. aj)parlieiil à lous les iiiscmbles A £ . Soit B s £ l'ensenible des ordonnées des points de E'.^) dont l'abscisse est */ ; B' (£ est borné ; il existe, quelque soit le nombre £ a[)parlcnant à P; B' c' contient B' £" i si l'on a £ ;>• î". Il y a donc (n" 156 un nombre /j (pii appartient à tous les ensembles B' £ ou qui est, i)our cbacun de ces ensembles, un élément d'accumulation ; dans la première li) potbèse, le point z, /; appartient à tous les ensembles E i \ dans la seconde liypotbèse, il est, pour cbacun d'eux, un élément d'accumulation.

Plaçons-nous maintenant dans le second cas : /. est pour cbacun des ensembles A £ , un élément d'accumulation. Désignons par D le parallèle à Taxe des y dont l'équation est x = /. Dans cbaque cnseudjle Es il y a une infinité de points dont la distance à D est moindre que tel nombre positif qu'on voudra, il y a donc sur D un ou plusieurs points d'accumulation àeE •;. Soit maintenant B' £ l'ensem-ble des ordonnées de ces points d'accumulation : on voit comme tout à l'beure qu'il y a au moins un nombre Tj qui appartient à tout les ensembles IV £ ou qui, pour cbacun d'eux, est un élément d'accumulation. Dans les deux bypothèses le point x, r, est un point d'accumulation pour tous les ensembles E £ , puisqu'il y a, dans cbacun de ces ensembles un point dont l'abscisse est aussi voisine qu'on veut de /. et dont l'ordonnée est, ou •/;, ou un nombre aussi voisin de r, qu'on le veut.

L'ensemble E o des points A:, dont on vient de démontrer l'existence, et qui appartiennent à tous les ensembles E £ ou sont des points d'accumulation pour tous ces ensembles, est clos, ou ne contient qu'un nombre (ini de points.

Si k est un point quelconque qui n'appartienne pas à l'ensemble E 0 , on peut fixer des nombres positifs £o, r,Q tels que dans le carré, ou le cercle, dont le centre est A: et dont le demi-côté, ou le rayon,. cstr,(, il n'v ait aucun point de l'ensemble E ■ si l'on a

Si tous les ensembles A' £, sont clos, l'ensemble £" o est contenu dans cbacun de ces ensembles.

Si l'on considère une suite infinie de rectangles

tels que cbacun d'eux contienne le précédent et que les dimensions

l56 l>'TROniT.TIO> V I.A TIlKOniK DES PONCTIONS

de (R,,' aient pour limilc ii quand n croît indéfiniiucnl, le point [Xn, Jn \ assujetti seulement à appartenir au rectangle U„, a pour limite, quand // croit indéfiniment, un [)i)lnl a, h appaitcnant à tous les rectangles.

Les [)ropositions et définitions contenues dans les numéros 80, 81,..., 86 s'étendent sans difficulté ainsi que les démonstrations.

284. — Soit 1 E) un ensemble de points ; supposons que, à chaque point de cet ensemble, corresponde un nombre que l'on regarde comme une valeur attribuée à une lettre/: on dit que/ est une fonction déterminée des deux variables x, y dans l'ensomblc Ej; on entend par là qu'à chaque système de valevu's de ces variables qui est un point de E correspond une valeur de/, que l'on désigne par / X, y . Si l'on définit ou si l'on donne le mode de correspondance, en sorte que, pour chaque point x, y de l'ensemble on puisse calculer la valeur de/, la fonction est dcfiiiic ou donnée dans l'ensemble.

L ne fonction de deux variables n'est donc autre chose qu'un mode de correspondance entre les élémenis d'un ensemble E formé de couples de nombres, de points si Ton veut, et les éléments d'un ensemble f. formé de nombres, à savoir les valeurs distinctes que prend la fonction pour les différents points de E .

Au lieu d'employer deux lettres x, y pour désigner un point, rien n'empêche d'employer une seule lettre, z par exemple, et de donner au symbole/ 2 exactement le même sens qu'au symbole f X, y ; on dira, si l'on veut, que/ est une fonction du point z; ceci permet de rapprocher les définitions, énoncés et démonstrations qui concernent les fonctions de deux variables des définitions, énoncés et démonstrations qui concernent les fonctions d'une seule variable, et que l'on a développés au Chapitre IV. Le langage employé dans ce chapitre se transporte à peu près textuellement dans la théorie qui nous occupe, à la condition, lorsque z et z' désignent deux points, de regarder le symbole \z — z' \ comme représentant la distance des deux points, réduite ou non suivant que l'on verra quelque commodité à adopter l'une ou l'autre ^\.

(') Lorsqu'il sera question des variables imaginaires, ce symbole représentera exclusivement la distance vraie, et non la distance réduite, des deux points c, z' .

ciiAPiTiiK i.\. — i.A.NCACi': (;i;(»Mi;Tiiioi;i-: 107

Parmi les propositions et diTinitions ((iic j'ai en vue, je nie contenlcrai de rappeler les siiivanlcs, (jui sunl patliculièrement importantes.

La fonction /,c , déterminée dans l'cnsendjle d(i points E , est dite bornée en haut, ou en bas, si l'ensemble des valeurs distinctes qu'elle prend pour les différents points de Œ est borné en haut ou en bas. Elle sera dite bornée sans épitbète si elle est bornée en haut et en bas ; son érart dans l'ensemble E est alors la différence M — m entre sa borne supérieure M et sa borne inférieure m.

Lorsque a est un [)oint d'accumulation de l'ensemble E , de coordonnées a, fj, on dit que la fonction f z) ou/ ar, y) admet j)our z = a la limite \ et l'on écrit

liin. f{z) = A, ou lim. J (x, y) = A,

pour dire qu^, quelque petit que soit le nombre positif £^ il lui correspond un nombre positif/; tel que l'on ait

l/(z)-Al<Bou|/(x.j)-A|<s

pour tous les points z, ou jî, j, qui appartiennent à l'ensemble 'E et dont la distance au point a, ou a, jj^, est moindre que y;.

Si le point tl'accumulation a appartient à l'ensemble 'E , et si les conditions précédentes sont vérifiées, on dira que la fonction f Zj est continue en ce point.

Supposons que l'ensemble Œ) soit clos et que la fonction f'z) soit continue en chacun des points d'accumulation de E : cette fonction jouira des propriétés que je vais énoncer en dési"nant par F l'ensemble des valeurs distinctes qu'elle prend dans E

I " La fonction/ r est bornée dans l'ensemble E ; en d'autres termes, l'ensemble F est borné.

2" La fonction / r atteint sa borne supérieure M et sa borne inférieure m ; en d'autres termes, il y a un point de l'ensemble (E^ pour lequel on a f{z) = M, et un point pour lequel on a f [:, = nu Plus généralement, l'ensemble F^ est ou clos, ou composé d'un nombre iini d'éléments.

La fonction/ r est uniformément continue dans l'ensemble Œ' c'est-à-dire qu'à chaque nombre positifs, si petit qu'il soit, on peut

INTUOniCTlON A LA TllKoniE KKS FlI.NT.TIO.NS

faire corrcsponilrc un nombre r, tel que l'on ait '/ r — /(-') 1 <C =■ sous 1.1 conditictn que les points r, r' appartiennent à l'ensemble (E) el que leur distance soit moindre que r,.

Lorsqu'on dit qu'une fonction f x, j est continue en un point Xq, Vo, sans parler de l'ensemble des points pour lesquels cette fonction est définie, on sous-entend que la fonction est définie non seulement en ce point, mais aux environs, c'est-à-dire, par exemple, pour l'ensemble des points appartenant à un rectangle de centre Xq, Jq et dont les dimensions h, k sont d'ailleurs aussi petites qu'on le veut ; dès lors le point x^,, j^ étant un j)ûint d'accumulation pour cet ensemble, la définition de la continuité s'applique.

285. — La distance d'un point fixe A aux diflerents points d'un ensemble clos E est une fonction continue dans cet ensemble ; la borne inférieure r de cette fonction est atteinte pour un certain point au moins' de l'ensemble (E < ; elle est par définition la dislance du point A à l'ensemble : elle n'est nulle que si A appartient à ^E},

Le cercle décrit du point A comme centre avec le rayon /' ne contient à son intérieur aucun point de (E) ; c'est le plus grand cercle possible, de centre A, qui jouisse de cette propriété. Il contient sur sa circonférence un ou plusieurs points de E , dont la distance à A est égale à r.

La distance du point A à E peut être regardée comme une fonction r \ de ce point, définie pour tout point A; considérée de cette façon, r A est une fonction continue en cbaque point : cela résulte de ce que la différence r: A — ^{-^'j est au plus égale en v.ileur absolue à la distance AA' des deux points A, A' : car s'il en était autrement, l'un des deux cercles décrits respectivement des points A, A' comme centres, avec les rayons /' A , ri'^A' serait intérieur à l'autre ; supposons que ce soit le premier ; on pourrait alors décrire du point A comme centre, avec un rayon plu* grand que r(A,, un cercle à l'intérieur duquel il n'y aurait'aucun point de (E). '

Considérons deux ensembles clos E ,' E, . La distance d'un point de E à l'ensemble Ei^ est une fonction définie et contimae dans 'E^ ; elle atteint "sa borne inférieure, qui est un nombre positif ou nul :' si cet^e borne' r) n'est pas nulle, il n'-y a pas de point de

CHAPITlîK

i.v>(;\(;e r.KOMKTitioi i: i5(j

Œ,"; à rinlcrieur de n'importe quel cercle décrit d'un point de E comme centre avec nn rayon ég^al à r) ; les deux ensendales n'ont alors aucun point commun.

La borne 0^ est nulle ou positive suivani rpie les deux ensembles ont ou n'ont pas de point commrm : la borne inférieure de la distance d"un point de (E) à (E,) est aussi la borne inférieure de la distance d'un point de E,) à (E) : elle est. par définition, la tlislance des dcu\ ensendjles E , (E,' ; c'est évidemment la borne inférieure de l'ensemble des distances d'un point de E et d'un point de Œ,^ : il suit de ce qu'on vient de dire qu'il \ a un couple de points aj)partonant l'un à E , l'autre à E, tlont la distance est infé-rieure ou éirale à la distance de deux points quelconques pris l'un dans (E^, l'autre dans E, . De même, il y a un couple de points appartenant res[)ectivement à E» et à E, dont la distance est supérieure ou égale à la distance de deux points quelconques, pris l'un dans (E), l'autre dans (E,\ Si l'on considère un seul ensemble clos 'E\ il y a dans cet ensemble deux points dont la distance est égale à l'écart de E n" 282 .

Les notions, propositions et démonstrations qui précrdent subsistent évidemment quand on considère des distances réduites au lieu dos distances vraies.

On n'a défini la distance d'un point A à un ensemble que pour un ensemble clos et, par conséquent, borné. Mais la définition s'étend à un ensemble E , même non borné, qui contient ses points d'accumulation. Dans cet ensemble il existe toujours un point ^I tel que la distance du pouit A au point M soit inf('rieurc ou égale 'à la distance du point \ à n'inq)orlo quel point de l'ensemble et la distance du point A au point M est, par définition la distance du point A à l'ensemble E . L'existence du point M s'aperçoit immédiatement en imaginant un cercle de centre A qui contienne quelque point de E : on reconnait sans peine que l'ensfuiblc des points de E (pii app.irticnnent au cercle est fini ou clos, etc.

La distance d'un ens"mble clos E à un ensemble non borné E, , qui contient ses points d'accumulation se définit d'une façon analogue ; mais si les deuS. ensembles E , E, , tout en contenant leurs points d'accumulation, ne sont bornés ni l'un, ni l'autre, on ne peut pas affirmer l'existenrce de deux po'mts'appartenant, l'un à E , l'autre It E, , tels" que leur distance soit inférieure ou égale à la dis-

iGo i.\ rii(»i>rcTio.N a i.a tiii;ouik hks io.nctio.ns

tance (le deux |)i iinl> qiulcon'jiies, pris lun dans E , l'antie dans

286. — Dans le [)réscnl numéro, je représenterai liabilucllemcnl un [)oint par une seule lettre et la distance de deux points P. Q par le symbole |P — Q\ ou |Q — Pj.

Les fonctions de point, ou de deux variables ./;, y, donl j'ai parlé jusqu'ici élaient des fonctions numériques. Lne généralisation toute naturelle consiste à considérer un point B comme fonction d'un point A ; cela revient à considérer à la fois deux fonctions des coordonnées x, y du point A, fonctions qui seraient les coordonnées du point B. On peut encore présenter les choses comme il suit :

Soit '-V un ensemble de points ; je réserverai la lettre majuscule A, aiTectée ou non d'indices ou d'accents, poiu- désigner les points de cet ensemble. Supposons qu'à chaque point A de Jb corresponde un point B, que j'appellerai Viinage du point A. J'emploierai la lettre B, affectée des mêmes marques que A pour désigner le point correspondant ainsi à A. Les points B, images des points de .l> , forment un ensemble ^ . En disant que le point B est une fonction c; A du point A, déterminée dans l'ensemble Jb , on emploie un langage pareil à celui qu'on a expliqué au n" 148.

La fonction o A est dite bornée si l'ensemble 9î' est contenu dans un cercle ayant son centre à l'origine.

Soit a un point d'accumulation de (Jb , qui peut d'ailleurs appartenir ou non à W> . Si la fonction ÇJ A est bornée, on a une proposition analogue à celle du n° 157 et qui se démontre de même : il existe un ensemble clos ou fini de points aux environs desquels s'accumulent les images de points A voisins de a.

Soient en effet; un nombre positif quelconque, A) i l'ensemble des points A qui sont à une distance du point a inférieure à c, et ^ s l'ensemble des points B images des points de d» c . L'ensemble 9) '- est borné ; il existe contient des points, quelque petit que soit £ ; il contient l'ensemble ^ c'^ si l'on a £ > c' ; il y a donc au moins un point b qui appartient à tous les ensembles ^'êj ou qui est pour chacun d'eux un point d'accumulation : Je désignerai par ^a l'ensemble des points b qui appartiennent à tous les

CllAi'ITni: IX. l.AXiAC.E GKOMKTRigi'K iGl

ensembles 33 c^ ou cjui sont pour chacun d'eux polnl d'accumulation. C'est l'ensemble dont il vient d'être question : chacun de ses points 6, jouit de la propriété suivante : fjuels que soient les nombres positifs a, jv, il exista un point V tel que l'on ail

|A-al <a, |B -b\ =lo(A)-6, <^;

aucun point pris en dehors de l'ensemble l6„ ne jouit de cette propriété. La proposition précédente n'exige évidemment pas que la fonction o A soit bornée dans tout l'ensemble ,l> , mais seulement aux environs du point d'accumulation a, c'est-à-dire dans l'ensemble ;.i des points de -laj qui sont à une dislance de a moindre que tel nombre positif donné que l'on voudra.

Si le point d'accumulation a est un point A^ de â> , on dit que la fonction Ç/ A est continue en ce point Ao pour dire qu'à chaque nombre positif ^j on peut faire correspondre un nombre positif a tel que l'inégalité |A — A„| ■< a entraîne l'inégalité |B — B,,! <i^, en désignant par B,-,, B les images des points Aq, A. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il sulfit que la fonction 's^ h. soit bornée aux environs du point A,, et que l'ensemble (hii ou clos 05*^, dont on a donné la définition plus haut, se réduise au point B^. La démonstration est analogue à la démonstration d'une [)roposition du même genre que l'on a donnée au n" 157.

Si l'ensemble .i} est clos, la fonction B = (p(A) est dite continue dans cet ensemble, lorsqu'elle est continue en chacun de ses points d'accumulation. Elle est alors bornée dans tout l'ensemble {\>;', déplus elle est iiniforniémenl conlinue ; c'est-à-dire qu'à chaque nombre positif j'5 correspond un nombre positif a tel que l'inégalité ^A — A'| <[ a entraîne toujours l'inégalité |B — B'j <<jS, (juels que soient les points A, A' de l'ensemble A> , dont B et B' sont les images. La démonstralinn du n° 162 se transpose en cfl'et ici sans difficulté.

Je Nais maintenant faire sur l'ensemble >.l>^ et sur la fonction ii = ? Ay les suppositions suivantes :

1° L'ensemble '-.h. est clos.

2" Les images de deux points distincts sont des points distincts ; en d'autres termes la correspondance entre les deux ensembles (-i) et '£By est parfaite. Cette supposition entraîne les conclusions sui-

'l"ANNi;nï II. — liitroiiuclion à la Tliéorio des fonctions 11

iGa i.MuoitrcTioN .\ la iiiKoitii: itr.s i-o.nctions

vantes : le [)oint A peut cire regardé comme une fonction ^ B) du point B, déterminée dans l'ensemble ^ , de même que le point B est une fonction de A, déterminée dans l'ensemble «i . Les fonctions B = «p A , A = (!> B sont inverses l'une de l'autre (n" 168 .

3" La l'onction «['A est continue dans l'ensemble „Hf)\

L'ensemble ^\ d'après ce qui précède, est borné; je vais montrer qu'il est clos et que la fonction «PB est continue dans cet ensemble.

Observons d'abord qu'il résulte évidemment des liypolbèses précédentes que l'image de tout point d'accumulation de (J{d , point qui appartient à 'X] puisque cet ensemble est clos, est un point de (^ et. de plus, un point d'accumulation de cet ensemble.

Pour prouver que l'ensemble '3Î est clos, il faut prouver que tout point d'accumulation b de cet ensemble lui appartient. Or b étant un point d'accumulation de îB , il existe, comme on vient de le montrer, au moins un point o, tel que, quels que soient les nombres positifs a, |j, il y ait un point B pour lequel on a

l'ensemble .i;,' des points a qui jouissent de cette propriété est clos ou fini. Puisqu'il y a des points A de .i) aussi voisins de a qu'on le veut, a est ou un point de .1^ , ou un point d'accumulation de .!> ; c'est toujours un point de .1» , puisque cet ensemble est clos. Pour me conformer aux notations expliquées plus haut, je désignerai ce point a par Aq et je vais montrer que le point 6 n'est autre que l'image Bo du point Ao ; en effet, d'une part, il y a des points correspondants A, B qui sont respectivement aussi voisins qu'on le veut de a Tou Ao) et de 6; d'autre part, en vertu de la continuité de la fonction ^i^A , l'image de A est aussi voisine qu'on le veut de B^, pourvu que A soit suffisamment voisin de Aq : ces deux affirmations ne peuvent coexister que si le point b coïncide avec Bo. D'une part, il est prouvé que le point b appartient à l'ensemble ['J!>, : cet ensemble est clos. D'autre part, il est prouvé que l'ensemble (Jho) se réduit au point Aq ; donc la fonction 4>(B) est continue au point d'accumulation b (ou B„^ ; comme le raisonnement s'applique à tous les points d'accumulation de l'ensemble (^), la fonction A = «l» B; est continue dans cet ensemble.