CHAPITRE l\. l.AXl.VGE CÉOMETniQUE l

Pour exprimer alors les propriétés de la correspondance entre les deux ensembles (A>) et ^^ , je dirai que cette correspondance est parfaite et continue.

La proposition qu'on vient d'établir s'applique évidemment lorsque l'ensemble (A.) est un ensemble de points situés sur l'axe des x; en d'autres termes, elle s'applique aux fonctions d'une variable : à ce titre elle complète ce qui a été dit aux n'- 168 et 169, dont il convient de la rapprocber.

Dans le cas où l'ensemble (J^) est un ensemble parfait, les autres conditions étant toujours vérifiées, il en est évidemment de même de l'ensemble :B . On peut supposer, par exemple, que l'ensemble (^l.) soit un rectangle, dont chaque point A ou 'x, y est défini par les inégalités

et que chaque point correspondant B ou X, Y soit défini par les formules

ou. f X, y , g X, y sont des fonctions continues dans le rectangle (à);, telles que l'on n'ait jamais à la fois, pour deux points distincts [x, y et x', y' de ce rectangle

alors le rectangle .{3; aura pour image un ensemble parfait ^B et les équations i définiront, sans ambiguïté, deux fonctions

continues dans l'ensemble j)arfait JJ , fonctions dont les valeurs X, y seront toujours les coordonnées d'un point du rectangle \h) et vérifieront les équations (i^ : à deux systèmes distincts de valeurs pour \. ^ correspondront des systèmes distincts de valeurs pour :/■, Y.

287. — Un ensemble de points E; étant défini, l'ensemble E„ ^es poin!'^ rpii n'npparlicnnont pas à E est défini jiai là même ;

lG| l.NTIUUdT.TION A /.A TIIKORIE DES FO>'CTIONS

on peut désigner ces deux ensembles (E\ (Eq' sous le nom d'ensembles complemcnlaircs ' ).

Un poînl fronlicrc d'un d'ensemble E; est un point [qui peut d'ailleurs appartenir ou ne pas appartenir à (E ] tel que, à l'intérieur de tout rorcle décrit de ce point comme centre, il y ait au moins un point ajjpartenant à E et un point n'appartenant pas à (E\ appartenant par conséquent à l'ensemble complémentaire (E„) ; l'ensemble des points frontières de E^ est h frontière (F) de (E^ ; celte frontière est évidemment commune aux deux ensembles complémentaires E et (Eq) ; un point isolé fait partie de la frontière de (E\ Un point d'accumulation de (E) fait aussi partie de la frontière de E , sauf dans le cas où il fait partie de l'E) et où l'on peut, de ce point d'accumulation comme centre, décrire un cercle tel que tous les points intérieurs à ce cercle appartiennent aussi à E .

Tout ensemble de points, autre que l'ensemble des points du plan, admet une frontière : il n'y a lieu à démonstration, d'après ce qu'on vient de dire, que pour un ensemble E qui n'admet pas de point isolé, et qui contient cliacun de ses points d'accumulation ainsi que les points intérieurs à un cercle suffisamment petit, décrit de ce point d'accumulation comme centre. Soit, s'il est possible, A un point qui n'appartienne pas à un tel ensemble ;Ej. Puisque l'ensemble E contient ses points d'accumulation, il y a un jioint B appartenant à E et dont la distance au point A est égale ou inférieure à la distance du point A à n'importe quel point de E : on voit tout de suite que les points du segment de droite limité aux points A et B ne peuvent appartenir à (E), sauf le point ( B) : cela est d'ailleurs impossible, puisque par hypothèse on peut décrire du point B comme centre un cercle tel que tous les points intérieurs à ce cercle a[)partiennent à [E). Un ensemble de points qui n'a pas de frontière est donc l'ensemble des points du plan.

Tout point d'accumulation de la frontière F^ d'un ensemble E , appartient néccssaireuicnt à cette frontière. En efl'et, si, de ce

(i) Cette déBnilion peut s étendre : si ( E; est contenu dans l'ensemble (C), l'ensenrihle des points de (C) qui n'appartiennent pas à (E) peut être regardé comme l'ensemble complémentaire de (E) par rapport à (C) : cet ensemble complémentaire nexiste que si les deux ensembles (E) et (C) ne sont pas identiques.

(Il AI'ITIU; l\. I.AXJAGE (JÉOMKTIIKJII: I G J

point d'accumulation comme centre, on décrit un cercle quclconciuc. il y aura, à l'intérieur de ce cercle un point de F). De ce dernier [)oint comme centre décrivons un second cercle assez petit pour qu'il soit contenu tout entier à l'intérieur du premier : le second cercle, décrit d'un point frontière comme centre, contiendra au moins un point de E et un point n'appartenant pas à E ; il en sera de même du premier cercle, dont le centre est donc un poinf frontière. Si F est un ensemble borné, ce sera donc un ensemble clos ou fini. Il en sera ainsi, en particulier, quand l'ensemble E est lui-même borné. Un ensemble clos contient sa frontière.

La distance à un ensemble clos (E) d'un point A qui ne fait pas partie de cet ensemble est égale à la distance de ce point à la frontière (F ; de cet ensemble : soit, en elTet, By le point de ;^E^ [ou l'un des points de E /] dont la distance à A est la plus petite possible ; les points du segment de droite dont les extrémités sont A et B ne peuvent, sauf B, appartenir à E ; il en résulte que B appartient à F ; d'ailleurs, puisque tous les points de F appartiennent à E\ il ne peut y avoir, dans F , un point plus rapproché de A que le point B.

288. — Considérons deux points x^, y^, fx^, ji\ puis deux fonctions ? 7 , 'b i continues dans l'intervalle /q' ^i) et telles que l'on ait

L'ensemble T des points ['^[l , '}(^ ]. obtenus en donnant à l toutes les valeurs qui appartiennent à l'intervalle 7„, tj est un ensemble parfait.

Tout d'abord, en effet, cet ensemble est borné. On voit ensuite, à cause de la continuité des fonctions ?f/ , 'b t', que chacun de ses j)oints est un point d'accumulation. Enfin, l'ensemble (T) n'a pas de point d'accumulation qui ne lui appartienne pas : en effet si a, jS est un point quelconque, la fonction

étant continue dans l'intervalle Vj,. ti atteint son minimum pour une valeur /' de / appartenant à l'intervalle /u,/, : si ce minimum

l66 IMROnUCTlON A LA TIlÉoniE DES FONCTIONS

â' n'est pas nul, il n'y a aucun point de [T) à l'intérieur du cercle décrit de (a, j5) comme centre avec un rayon égal à r); le point (a, jS) ne peut être un point d'accumulation de (T) que si ce minimum est nul ; le point 'a, jS est alors le point de T qui correspond à la valeur /' du paramètre.

Je dirai que cet ensemble (T) relie d'une façon continue le point [xo, Jo) au point [Xi, }'i) et je le désignerai comme un lien entre ces deux points. Si je ne le désigne pas sous le nom de courbe, c'est que ce dernier mot éveille dans notre esprit une image, relativement simple, qui est souvent très différente de cet ensemble que l'on vient de définir, lequel peut être d'une nature très compliquée (').

Supposons, pour fixer le langage, /o <C ^i- Si l'on imagine que i croisse de /o à /j, on range par là-même les points de T) dans un certain ordre, les points qui correspondent à une valeur de t étant regardés comme précédant ceux qui correspondent à une valeur plus grande. En faisant décroître t de ti a Iq, on rangerait les points dans l'ordre inverse. On dira dans le premier cas que le lien est parcouru dans le sens qui correspond aux valeurs croissantes de / ; dans le second cas, qu'il est parcouru dans le sens qui correspond aux valeurs décroissantes de t. Ln point du lien sera entre deux autres si la valeur de t auquel il correspond est intermédiaire aux valeurs de / auxquelles correspondent les deux autres.

Toutefois, quand on emploie ce langage, il ne faut pas oublier qu'un point du lien n'est spécifié que par la valeur de / auquel il correspond ; il n'est pas nécessairement spécifié par ses deux coordonnées X, y ; rien n'empêche, en effet, dans la définition du lien, qu'un même point x, y puisse être obtenu pour deux valeurs distinctes de la variable, les équations

pouvant être vérifiées par des nombres distincts /', /' qui appartiennent à l'intervalle [U, ti). Dans ces conditions, un même point de T un môme couple de nombres peut se trouver avant ou

(*) M. Peano a donne l'exemple d'un ensemble de celle nature, forme de tous les points qui appartiennent à un carré.

ciiAi'iTitr: IX. — i.A.NCAdE r.koMKTRiQi'E 1O7

après un point du lien (jui coïncitle avec lui, avant et après un autre point du lien.

Le lien T est dit simple, lorsque deu.x points qui correspondent à deux valeurs distinctes de /, appartenant à l'intervalle (/«, ti sont toujours distincts, lorsque, en d'autres ternies, les équations i n'admettent pas de solution oij /, /' soient des nombres distincts qui appartiennent à l'intervalle tu, /i .

En d'autres termes encore, si le lien T; est simple, il y a une correspondance parfaite entre les points de ï; et les nombres de l'intervalle U,. l\ , nombres que l'on peut, si l'on veut, regarder comme les points d'un segment porté par un axe. Les propositions du n" 286 s'appliquent : im point A de 'T) est une fonction continue de /, définie dans l'intervalle Aj, tx ; inversement / est une fonction continue de A définie dans l'ensemble T ; on peut écrire / = ^x, y) en désignant par x, y les coordonnées de A.

Supposons que les deux équations

où/ Il et 7 u sont des fonctions continues de a dans rintervalle [lU), II, définissent le même lien simple T que les formules

x = 'r{l),y = 'Ht), {to^t^U),

en sorte qu il \ ait une correspondance parfaite entre l'ensemble (T^ et l'intervalle «0, «1% comme entre l'ensemble (T) et l'intervalle 7o, /i ; il en résulte une correspondance parfaite entre les deux intervalles h^,, «1 , 7o, ti , étant entendu que / et a se correspondent s'ils correspondent à un même point de ï ; t sera une fonction continue de u, définie dans l'intervalle u,,, Ui , à savoir, en conservant les notations précédentes

de même a sera une fonction continue de /, définie dans l'intervalle /o, /i . La fonction / = h u , par exemple, qui exprime t au moyen de u, est nécessairement ou croissante dans tout l'intervalle (uo, u, , ou décroissante dans tout cet intervalle n 169 . Dans le premier cas, ta correspond à Uo ; il correspond à Ui, dans le second. Réciproquement, si dans les fonctions 9 l}, ^{t) on

lt)8 INTIinmCTION A I.A TlIKOl'.IK ItF.S FONCTIONS

remplace / par une loiiclion h u définie dans l'inlcrvalle Uo, Ui), continue et croissante ou décroissante , dans ce même intervalle, et prenant, suivant les cas, les valeurs qui vont de /o îi ^i O" ^^ /, à /„ quand u croît de ii^ à U\, il est clair que l'on aura des expressions de ,r, r en u qui représenteront le même lien simple que celui d'où l'on est parti.

Lorsque II croît de Uo à iii, le lien est parcouru, suivant les cas, dans lo sens qui correspond aux valeurs croissantes de /, ou aux valeiirs décroissantes.

Lorsqu'on donne un lien simple T dont tous les points correspondent d'une façon parfaite à l'intervalle i'^^, ti), on définit sans ambiguïté le sens dans lequel ce lien est parcouru en se donnant deux points A, B de ce lien et en disant lequel de ces deux points doit être rei^ardé comme le premier. Les explications qui précèdent montrent claireq:ient qu'on peut toujours, en changeant au besoin la variable, s'arranger pour que le sens du parcours choisi corresponde aux valeurs croissantes de la variable.

J'aurai souvent l'occasion, dans ce qui suit, de parler d'un lien défini par des formules telles que

il devra toujours être sous-entendu que les fonctions <p /', <]>(/) sont continues dans l'intervalle 7o, /i .

289. — Si l'on se donne une suite de points Ao, Ai, ..., A,, dont chacun est relié au suivant par un lien, on se donne, par làmême, un lien qui relie le premier au dernier ; l'ensemble des points qui lui appartiennent n'est autre chose que l'ensemble des points qui appartiennent aux liens partiels.

Il suffira, pour la démonstration, de considérer trois points {xo, jo), (aîi, jij, {x2, j/.

Supposons que les liens qui relient le point 'xo, jo au point [xi, yij et ce dernier point au point ^Xi, y-i) soient définis par les formules

to^t ^tr.

y = Wh

ciiu'iTiti: IX. — i,a.nga(;e <;i:<>Mi:TitiouE iGç)

en sorte que l'on ait

Soient maintenant a, •>, y trois nombres fixes quelconques, tels que l'on ait a <C j3 <C y.

Définissons a comme une fonction de / clans rinlervallc t„, l\}, comme une fonction de l dans l'infcrvalle t\, l'C, par les formules

qui doiment la même \aleur u = ^ pour t = ti et l' =i l'^; lorsque / croîtra de /o à /i, ii croîtra de a à j3 ; lorsque ^' croîtra de ^ à /,', « croîtra de (3 à y.

Considérons maintenant deux fonctions de ii, f a et g a définies de la façon suivante dans l'intervalle a, y :

Pour les valeurs de u (jui appartiennent à l'intervalle a, jj , valeurs auxquelles correspondent des valeurs de t appartenant à l'intervalle /q, /, on a

Pour les valeurs de u qui appartiennent à l'intervalle jj, '/., valeurs auxquelles correspondent des valeurs de t' appartenant à l'intervalle 1^, l[ , on a

à la valeur u =-- Çi, correspondent à la fois la valeur /, de / et la va leur t[^ de /' ; mais les deux définitions fournissent les mêmes valeurs tant pour y u que pour^ u .

Dès lors, il est clair que le lien défini par les formules

n'est autre chose que l'ensemble des |)oiiils qui appartiennent aux deux liens donnés, qui reliaient le point .r^, y,) au point Xi, Vi et le

170 I>T1101»11,T1().\ A LA TIIKORIE DES lOX.TIONS

point .r,, V, au point x>, y.,. Il est à peine utile de dire que la continuité des fonctions <p((i, (]>(/), ©'(/'), ^' ij') entraîne la continuité des fonctions/ u\ g u dans l'intervalle a, y).