Un lien T défini par les formules

est dit Jcrmc, lorsque son origine coïncide avec son extrémité ; on a alors

Dans ce cas, le lien relie à lui-même le point [9 (^o)> 4'(^o)]; on suppose d'ailleurs que le lien ne se réduit pas à ce point. Le lien fermé T; sera dit simple, si les équations

n'oni pas, dans l'intervalle /(,, /i , d'autre solution oii t' soit différent de /' que la solution /' = 1^, t" = t^ ou i' = ti, t" = U. Un lien fermé simple, n'est pas un lien simple, au sens du n" 288 ; par conséquent l'épithète « fermé » ne doit jamais être sousentendue ; au reste, si l'on veut appuyer sur la distinction, on pourra qualifier d'oiwerls les liens simples définis au n° 288.

Dans le cas d'un lien fermé, il est souvent commode, au lieu de regarder les fonctions oft), d» f comme définies seulement dans l'intervalle 7o, /i , de les regarder comme des fonctions périodiques de /, la période étant w =: ti — /o. S'il s'agit d'un lien fermé simple, ces fonctions ne reprennent à la fois la même valeur que si la différence des valeurs de / est un multiple de oj. De cette façon, le point spécial qui est à la fois Torigine et l'extrémité du lien n'est pas spécifié.

On a déjà fait remarquer qu'on pou>ait établir une correspondance parfaite et continue entre les points d'un lien simple ouvert et les points d'un segment de droite. On peut, de même, établir une correspondance parfaite et continue entre les points d'un lien fermé simple et les points d'un cercle.

Considérons, sur le lien fermé simple (T), défini comme on a dit plus haut, deux points distincts A et B qui correspondent à deux valeurs a, p a < p; de /. Ces deux points décomposent le

CHACrniF, IX. I.VX.ACE r.KOMETUIQLE I7I

llcii fermé en doux liens simples ouverls. qui relient A à 1>. L'un de ces liens correspond aux valeurs de t qui salisfonl aux conditions OL ^ l ^ ^ et l'autre aux valeurs de / qui satisfont soit aux conditions /o ^ /< a, soit aux conditions j'B < / ^ /i.

Lorsqu'il s'agit d'un lien simple ouvert, on a vu qu'il suffisait, pour délinir le sens dans lequel ce lien est parcouru, de spécifier lequel de ses deux points extrêmes devait être regardé comme l'origine, lequel comme l'extrémité.

Lorsqu'il s'agit d'un lien fermé simple, pour définir de même le sens du parcours, on peut se donner deux points distincts A, B du lien, choisir l'un des liens partiels dans lequel le lien est décomposé par ces points et dire que ce lien partiel ouvert est parcouru, par exemple de A vers B ; il est alors sous-entendu que l'autre lien partiel doit être parcouru de B vers A. On peut aussi se donner, sur le lien fermé, trois points A, B, C et spécifier, par exemple, qu'ils doivent se suivre dans l'ordre A, B, C ; les deux points A, B partagent encore le lien fermé en deux liens partiels ouverts, dont l'un contient le point C; celui des deux liens partiels qui ne contient pas le point C doit être parcouru de A vers B et l'autre de B vers C, puis de C vers A.

Ici encore, on peut toujours, en changeant au besoin la variable, s'arranger pour que le sens de parcours choisi corresponde aux valeurs croissantes de la variable.

Si le lien (T est fermé, à chaque nombre positif a correspond un nombre positif ^3 tel que la distance de deux points du lien soit sûrement moindre que a lorsque la dilTérence entre les valeurs correspondantes de / est moindre que j'B, ou lorsque les différence» respectives entre l'imc de ces valeurs et l„, entre l'autre de ces valeurs et li, sont moindres que ^ en valeur absolue. Si le lien est fermé et simple, à chaque nombre positif a correspond un nombre positif j3 tel que, lorsqu'on sait que la distance entre deux points du lien est moindre que ^3, on peut aflirmer que la dilTérence entre les valeurs correspondantes de / est moindre que a en valeur absolue, ou bien que les différences respectives entre l'une de ces valeurs et /„, entre l'autre de ces valeurs et /i sont moindres que a en valeur absolue. Ces énoncés peuvent être un peu simplifiés lorsqu'on regarde, comme on l'a expliqué plus haut, les fonctions ç- i j '\> l comuic périodiques.