i.Mi\()itir.ri(>.N A lA TiiKoi'.iK i>i:s KH.NCTIO.NS

291. — Soil E un cnsenihle do points et F sa frontière; soient Ao et Ai deux points dont le premier appartient à E , dont le second ne lui appartient pas : sur tout lien qui relie le point Ao au point A|, il \ a un point de la iVontière Ej.

Supposons en cITel que le lien T , qui relie A^, à Ai soil (léfini par les rorniules

et que Ao, Ai correspondent respectivement aux valeurs to, /j de /. Soit /' une valeur de t appartenant à l'intervalle (o, // et plus grande que to. Si l'on ne peut choisir /' de manière que tous les points de ^T) qui correspondent à des valeurs de / appartenant à l'intervalle :^/o, i'^ soient contenus dans E', c'est qu'il y a des points de Tj aussi voisins de Ao qu'on veut, qui n'appartiennent pas à (E ; Ao, qui appartient à E . est alors un point frontière. Ecartons ce cas.

Si l'on peut choisir /' de manière que tous les points de ^ï^ qui correspondent à l'intervalle i/o, /') appartiennent à (E), soit Q la borne supérieure de l'ensemble des nombres t' qui jouissent de celte propriété. Le nombre 0 est au plus égal à /i. Le point P du lien, dont les coordonnées sont (p(ô), ^(0 r est un point frontière de (E). En effet, supposons d'abord 0 inférieur à /i. Si 0' est un nombre quelconque compris entre 9 et /i, il y a dans l'intervalle 0, 0 quelque valeur de / à laquelle correspond un point du lien qui n'appartient pas à E) ; autrement 0 ne serait pas la borne supérieure des nombres t' , borne qui serait au moins égale à 5' ; puisque 0' peut être pris aussi voisin qu'on veut de 0, il y a des points, aussi voisins de P qu'on veut, qui n'appartiennent pas à (E) ; il y a aussi des points de (E; qui sont aussi voisins de (P) qu'on le veut, à savoir les points du lien qui correspondent à des valeurs de / plus petites que 0 et suffisamment voisines de 5. P est donc, pour E;, un point frontière.

Enfin, si 0 est égal à /i, le point P coïncide avec A, qui n'appartient pas à E ; les points du lien qui correspondent à des valeurs de /, plus petites que 0 et aussi voisines de 0 qu'on le veut appartiennent à (E ; P ou Ai), est un point frontière de 'E).

Dans tous les cas, il y a, sur le lien (Ty un point de la frontière de 'E;, point qui peut d'ailleurs être Ao ou Ai.

«.IIAIMTUK 1\. I.A>T.A<;i'. (IKdM K IttlOI K l-^)

292. — Coiisiiléioiis le lien T , tlénni [)ai' les roiiiiulcs

Soit 5 nue valeur du paramètre l appartenant à l'intervalle /(,, t^J et soient ç, // les coordonnées du point correspondant rpie je désignerai par P; je désignerai par M le point variable dont les coordonnées X, y correspondent à la valeur / du [)araniclre et |)ar A un point fixe, de coordonnées a, b, qui n'appartienne point au lien : soit r) la distance du point lixe A au lien.

\jA mesure de l'angle \P, AM a été délinie au n" 277 : c'est un nombre <■,) déterminé à un niulli[)le près de -.ir. par les formules concordantes

OÙ 0, r désis:ncnt les dislances

P = v/(? — ay + (^ — f>y , r = v/(x — a) -h {y — b)''

du point V aux [)oinls P, M, et on les seconds membres sont évidemment des fonctions continues de / dans l'intervalle to, ti .

On va montrer que cet angle peut être défini dans le même intervalle comme une fonction continue de /, s'annulant pour f = 5; ces conditions, d'ailleurs, définissent enlièrcnient la fonction.

Soit 0' une valeur de / appartenant à linlervalle /,), d et assez voisine de 0 pour que la distance du point M au point P soit moindre que rj\ 2 lorsque / appartient à '0, 0'); on aura, pour ces valeurs de /,

(X ^)- -h ( V — 'O)^ = P" + '■" — 2 p/' COS W < 2 0- ;

0 et ;■ sont au moins égaux à o*; o- l p- est au moins égal à :ir}- ; l'inégalité précédente entraîne donc cos w >> o ; il v a donc un

angle w, compris entre — , et ^ , à savoir

lu = arc sui /( (0 ■= arc l" — ;( .

il iO

17| I.MnolUCTIO.N A I.A Tlli:0UII£ KKS KO.NCTIO.NS

qui vérifie les égalités i ; il s'anmile pour t =: 6 : cet angle, ainsi défini dans l'intervalle 6, 0' , est la seule fonction continue de / qui satifasse aux équations i et qui s'annule pour I ^= 0 ; car si une autre fonction Ù satisfaisait aux mêmes conditions, la dilïércnce ii — oj serait aussi une fonction continue de / dans l'intervalle (0, S") ; elle doit d'ailleurs être un multiple de 2-; ce serait donc une constante et cette constante serait nulle puisqu'elle est nulle pour 1 = 0.

Désignons par [6, /]^ la fonction de / définie dans l'intervalle Q, 6') par les conditions suivantes : elle vérifie les équations i ; elle est continue; elle s'annule pour f = O.ha fonction [0, i]^ n'est définie que pour les valeurs de / qui sont suffisamment voisines de 5 ; afin d'atteindre des valeurs qui s'en éloignent, je supposerai qu'on intercale dans l'intervalle tu, l\ une suite de nombres croissants 6i, Oî,..., Br assez rapprochés pour que, si l'on considère l'un quelconque des intervalles partiels [U, Oi) (Oi, 6.2),... 0,-, ti , l'intervalle S„, 0„j i , par exemple, la distance des points / et 0„ du lien soit sûrement moindre que o^v^2 pourvu que la valeur de / appartienne à l'intervalle [5„, 0„j^i] ; je suppose enfin que 0 soit l'un des nombres de la suite to, 9\, Oi,..., /i, le nombre 0„ par exemple. Si t appartient à l'intervalle 6/,, 5;,+i\ on définira l'angle oj par l'une ou l'autre des deux formules

^ = [û„, o„^,]^ -H [e„+„ 0,+,]^ + ... + [0,, t]^, w = [o,„ e„,j^ -+- ro„i. e„,]^ -+-... + [o,,.,,, ti

suivant que p est plus grand ou plus petit que n.

La fonction de / ainsi définie satisfait aux équations i ainsi qu'il résulte du n" 278 ; elle est continue pour chaque valeur de / appartenant à l'intervalle ^fo, ti) et par conséquence dans tout cet intervalle; le même raisonnement qu'on a utilisé tout à l'heure montre qu'elle est la seule à satisfaire à ces conditions, je la désignerai en général par la même notation [5, t]^ qui a servi tout d'abord dans le cas où t était suffisamment voisin de S : je la désignerai encore comme étant l'angle AP, A.M défini au moyen du lien T . La seule partie du lien qui serve dans cette d('finition est celle qui va du point 0 au point /.

Si le lecteur veut se repoiter à ce que l'on a dit à la lin du

i:iiAi'iTni; i\. — LAXiAM: (;i;umi iitini k i-.)

du n'' 278 sur la définition sans ambiguïté de lu mesure d'un angle ayant pour sommet un point A, au moyen d'une demidroite A qui part de ce point A, il reconnaîtra sans peine, en se fondant toujours sur la continuité, que !^i riulervalle 0. t est tel qu'on puisse mener par le point A une demi-droite A qui n'ait aucun point commun avec la portion du lien qui correspond à cet intervalle, la valeur de [0, l\^ n'est autre chose que l'angle dont il faut faire tourner une demi-droite partant du point A pour l'amener, sans rencontrer A , de la position où elle passe par le point P (ou 5 du lien, à la position où elle passe par le point M ou / . Cette propriété aurait pu servir de point de départ pour la définition de [5, t\^.

Remarquons encore que, si l'on considère une direction fixe AD, partant du point A et d ailleurs quelconque, les remarques précécédentes permettent de définir sans ambiguïté, l'angle AD^ AM) comme une fonction continue de /. On pourra par exemple, choisir arbitrairement l'une des déterminations de l'angle AD, VP) et poser ensuite

(AD, AM) = (AD. AP) h- [6, l]^.

Il est clair que l'angle [!y, l\^. que l'on a regardé jusqu'ici surtout comme une fonction de /, est une fonction des deux variables 5, t assujetties l'une et l'autre à appartenir à l'intervalle /o, ly). Cette fonction jouit des propriétés qu'expriment les égalités

qui, lorsque les angles qui y figvu'ent sont moindres que - en valeur absolue, résultent de la définition de l'angle donnée au ii" 277. Quand il n'en est [)as ainsi, il suffira, pour les établir, de fractionner les intervalles.

La relation [/, l']^ = [9, t']^ — [5, i]^ montre que la fonction [t, t'\^ des deux variables /, /', définies dans l'ensemble de ces variables qui satisfont aux conditions