Revenons maintenant aux fonctions intégrables

On a démontré au n" 242 que, pour que la fonction bornée /(x) soit inlégrable dans l'intervalle [a^, a), il faut et il suffit qu'on puisse, à cliaque nombre positif c, faire correspondre une décomposition ao,a,, ..., a„i, a) de l'intervalle [a^, a), telle que l'on ait

{a^—ao) (M,— mj + («^— a J (M^— m.^)-\-.. . -+- (a — a^-i) (M„— m„)<£,

en désignant par Mj, n?,, par Mj, m^, ..., par M„, m,, les bornes supérieures et inférieures de la fonction f^Xj dans les intervalles partiels Qq, a,}, ■a^,a.2), ..., (a„,, a.

Celte condition montre tout d'abord que, si la fonction f,x, est intégrable dans l'intervalle ,^«0. û> elle est inlégrable dans tout intervalle contenu dans l'intervalle (oo, a). De même, si une fonction f x^ esl inlégrable dans les deux intervalles contigus (a, b), b, c) elle esl intégrable dans l'intervalle a, c).

ciiU'iTiu: vu. — i.m'i:(;u.vli;s dkii.mks

Toute fonction /V, continue dans l'inlcrvallc (rto, a) est inlrgrahlc dans cet intervalle.

Si, en elTet, la fonction fx est continue, à chaque nombre positif c correspond un nombre positif /; tel que, dans tout intervalle contenu dans ao, aj et dont l'écart est moindre que y^, l'écart de la fonction soit moindre que ô; si donc les écarts des intervalles partiels de la déconq)osition a„, a,, ..., a) sont moindres que v;, la somme

(«i— «u) (M, — "«," + ("..— «i) (^ï^ — '"2'' +•••+ (fl— ««-i)(^ï" — '"«)

sera moindre que a — ao £. La proposition est démontrée.

Si la fonction / x est délinie dans l'intervalle (Iq, a et si, dans cet intervalle, elle est soit non-décroissante, soit non-croissante n" 163 , elle est inlégrable dans cet intervalle.

Plaçons-nous dans le premier cas ; on a alors

d'où

(a, — ao) (M,— m,) + (a^ — «,) (^2 — '"2) -h ... -h {a — a„i) (M„ — m„)

-=(«i—«o)[/(«i)—y(«o)] + («2 — «.)[/(«-')— /(«.)K ••• -h(a— a„0[/(a)— /(fl„,)].

Soit r, le plus grand des écarts des intervalles partiels; le second membre est au plus égal à

si l'on se donne le nombre positif £, il suffira de prendre

249. — Si une fonction /(x), bornée dans l'intervalle 'a^, a), est intégrable dans cet intervalle, il en sera de même d'une fonction bornée F(x-y égale à la fonction /^x^ pour toutes les valeurs de x

24 IMUdlUCïK» A LA TlIKdlili: lŒS FOX.TIO.NS

appartenant à l'intervalle Gq, a , sauf quelques valeurs en nombre limité, et l'on a

- "0 tyuo

si, en effet, pour le? deux fonctionsy x', F x; on considère par exemple deux sommes supérieures relatives à une même décomposition, on voit que les éléments de ces deux sommes ne peuvent différer que pour les intervalles partiels auxquels appartiennent des valeurs de X qui rendent différentes les deux fonctions/ a? , F ''x;\ la différence entre les deux sommes peut donc être supposée aussi petite qu'on le veut, puisque ces intervalles sont en nombre limité; le même raisonnement s'applique à deux sommes inférieures relatives au même mode de décomposition, etc.

Il est bien aisé de voir que la proposition subsisterait si l'ensemble des valeurs de oi pour lesquelles les deux fonctions y(x;, Y Xj diffèrent était infini, mais d'étendue extérieure nulle.

Si l'on a a,, <; 6 < a et si la fonction/ x est intégrable dans l'intervalle a^, a , on a

rj{x)dx = I f{x)dx -H rf(x)dx.

Si, étant donnée une fonction/ x dans un intervalle Qy, <v , on peut décomposer cet intervalle en intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction soit, ou continue, ou constante, ou noncroissante, ou non-décroissante, la fonction sera susceptible d'intégration dans l'intervalle V/,,. a et l'intégrale définie relative à cet intervalle sera la somme des intégrales relatives aux intervalles partiel?.

On a supposé jusqu'ici a^, <; a. Lorsqu'on a a^ > a et que la fonction/ x est intégrable dans l'intervalle a, a^ , on pose

mdx = - f{x)dx, a a J't

et cette égalité peut être regardée comme une définition du premier membre; du reste, on reconnaît immédiatement que la définition de l'intégrale, donnée au n° 240, s'applique dans ce cas, avec des

c.iiai'Hui: vu. — imkgualks hkiimks 2.>

modificalioius Insigiiilianlcs clans le langage. Si l'on a a^ =- a, l'inlégrale, par déliiiitiuii, csl nulle.

On n'anra aucnnc [)eine à démontrer que, si la fonction f Xj est inlégrable tlans le plus grand des intervalles bornés par deux des trois nombres a, b, c, on a

r/(.r)./.r + / ''f{x)dx + f f{x)dx = o.

Cette égalité subsiste si deux des nombres a, h, c sont égaux.

Si / a; ) et (p[x) sont des fonctions intégrablcs dans l'intervalle (floî o » on voit tout de suite que, en désignant par V et B des constantes quelconques, la fonction

est aussi inlégrable dans le même intervalle et que l'on a

Jr'a nu pa

I rA/(j-) + Bcp(a-)](7a; = A 1 /(x)r/x + B ■^[x)dx.

Si les deux fonctions bornées y x), <f{x] sont intégrables dans l'intervalle cio, a , il en est de même de la fonction f x x ''^ x .

Sup[)osons en elTet que, dans un même intervalle, les bornes inférieures des deux fonctions f x ,(p x soient respectivement ///. u. et leurs écarts '/, r); on aura, en désignant par x et x' deux valeurs quelconques appartenant à cet intervalle,

f[x) = m -+■ hd, f{x') := m + li'd,

o{x) =: fX H- T;0, q{x') =: |Jl + t/o,

h, h'r,, Y,' étant des nombres qui appartiennent à l'intervalle (O, i); on en déduit

J{x) X oix) —J{x') X -o(rr') = (h - h') \xd + (-^i — r/) m5 + (/ir, — /i'r/)(/o ;

si donc on désigne par P un nombre positif supérieur aux valeurs absolues de m et a, on voit que, dans l'intervalle considéré, l'écart de la fonction/ .Ty X 'v X; sera moindre que

'iC INTROnUCTlON A LA THKOUIE DES FONCTIONS

ceci posé, considérons une décom position a^, a,, ..., a„-i, « de l'intervalle (a^, a) : soient (l^, d.^, ,.., d„ cl r}^, o'.,, .... â',, les écarls des fonctions /,.c) et (^(a;) dans les intorvalles partiels a», o, ,^a,, a^,, ..., ^^a„,, a); si A est un nombre auquel les valeurs absolues des fonctions f{xj, (^{x) restent iaCérieures dans l'inlervallc [a^, a), la somme S des écarts de la fonction /^a?;^ (a;) dans les intervalles ûo, 'h ■> '^u 0.2), ..., a„i, a , respectivement multipliés par les écarts de ces intervalles, sera moindre que

dès lors, si s désigne un nombre positif arbitraire, on peut, puisque les fonctions f(x), (^(x) sont intégrables dans l'intervalle ùo, a), supposer la décomposition telle que l'on ait

(a, — ao)d, -+- {a^ — a^)d.^ -+- ... -h (a — a„i)(/„ < s, («1 — «o)S, 4- (a^ — aj.)o^ + ... 4- (a — a„,)o„ <£;

si donc on désigne par B un nombre positif égal ou supérieur à l'écart de la fonction ç rc dans l'intervalle total a^, a], au moins «gai par conséquent à chacun des nombres r}^, à'i, ..., (?», on aura

puisque s est arbitraire, et que les nombres A et B sont fixes, on voit que la décomposition peut être supposée telle que la différence S entre deux sommes supérieure et inférieure soit moindre que tel nombre que l'on voudra ; la fonction / x X o^Xj est donc intégrable dans l'intervalle a^, a .

On démontrera d'une façon analogue que, si o 'x) est une fonction bornée intégrable dans l'intervalle aa, «;. et dont la valeur absolue

reste supérieure à un nombre positif A, la fonction -7[-\ sera intégrable dans le même intervalle.

250. — La définition de l'intégrale définie permet, lorsqu'on se donne la fonction à intégrer et les limites de l'intégrale, d'obtenir des valeurs approchées de l'intégrale définie, mais ce n'est que dans des cas très particuliers qu'elle fournit la valeur exacte de cette intégrale ; je me contenterai de citer l'exemple suivant :

«iiAi'iTur: VII. — iMKciiAJ.ES ui:i'i.MES 27

Soit, en désigiianl i)ar a un nombre quelconque dilTcienl de i en valeur absolue,

J =z I log ( r — Vil cos X + a-) t/.i

La fonction log i — :> a cos x -¥ a- étant continue dans l'intervalle considéré, elle est inlégrablc, et l'on a |)ar définition

J =: liin " ^ \o'^ ( I — 2 2 cos

= lim " loor II ( I — 2 2t cos

mais, en verlii d'une identité bien connue, on a

ni

I 2 '-< cos -f- 2- rr= -î^ '—^ '- ;

Il / a H- I

on aura donc

J = lim " [log •— ^"^ -+- log (i — a^")l' ou

J = lim ~ [log "^ "7 ' H- log v'/^n 1) 1,

suivant que a sera, ou non, compris entre — i et -h i ; dans le premier cas, J est manifestement nul; dans le second cas, l'identité

log (a2'. i) = n log a2 4- log (l — J,.j

montre que J a pour valeur r. log 7}.

On aperçoit bien que c'est grâce à une circonstance très particulière que l'on a pu j)arvcnir au résultat final.

251. — L'évaluation des intégrales définies, la rcclierclic des fonctions primitives sont deux problèmes connexes, ainsi <{u il résulte de la proposition suivante.

28 I.NTRODICTION A L.V TIIKOIUK DES FONCTIONS

Si, dans l'inlcrvalle (oo, a\ la fonclloii F x admel pour dérivée la l'onction />; [ce qui implique la conlinuitédeF(.x ], et si, dans ce môme intervalle, la fonction/ x est bornée et intégrablc, on a

Soit, en effet, a^, «,, ..., «n -i, o' une décomposition quelconque de l'intervalle 'a^, a ; on aura, en vertu de la formule des accroissements finis n° 216^,

F(a)-F(aJ = F(rO-F(a„)-+-F(a,)-FK) + ...H-F(a)-F(a„,) = («, — «o)/(^,) + (a. — a,)J{:c.^ + ... | („ a„,)/(a-„),

en désignant para?;, x.y, ... rendes nombres intérieurs respectivement aux intervalles (a^, a, \ (a,, ûi, ... [a„i, a\ La différence F (a) — F(ao) peut donc être regardée comme une des sommes relatives à une décomposition quelconque a^, a^. ..., a , sommes dont la considération est le point de départ de la définition de

l'intégrale I fix) dx. Si la fonction J x- est intégrable dans

tVao

l'intervalle a^, a , c'est qu'il y a un nombre J dont s'approchent autant qu'on le veut les sommes relatives à une décomposition quelconque pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits. Ce nombre J est donc égal à F a} — F(ao). Tel est le cas si la fonction f'x: est continue, ou à variation bornée, dans l'intervalle (ao, a . Mais le seul fait, pour une fonction/ x, d'être la dérivée d'une fonction F'x , n'implique pas l'intégrabilité de cette fonction.

Les conclusions auxquelles on vient d'arriver peuvent se déduire en partie de l'étude de la fonction de x (').

f{x)dx

(') Il convient de remarquer que, dans la notation usuelle

flx)dx "0 la lettre x n'a pas le même sens dans f{x)d.c et comme limite supérieure de

CIIM'ITlii: vil. l.NTIX.RALES DKFIMES 29

OÙ l'on snp[)ose que x appartienne à l'intervalle 'n^, cij et que la fonction/ ./■ soit bornée et intégrable dans cet intervalle. On a

en désignant toujours par m et M les bornes inférieure et supérieure de la fonction / 'x) dans l'intervalle a^, a) ; la fonction i"!) 'x est donc bornée dans cet intervalle; soient 'x^^, x^ -+- /* \\n intervalle contenu dans a^, a et m^, M^ les bornes inférieure et supérieure de/ V dans cet intervalle; la quantité

appartiendra à l'intervalle /»q, Mq ; elle sera au plus égale, en valeur absolue, au plus grand u. des nombres \m\ et |M| ; l'inégalité

montre clairement que la fonction c; x est continue pour tout nombre x^, appartenant à l'intervalle a^, a .

Si la fonction/ a;^ est continue pour x = x^, l'écart de l'intervalle iUq, Mq^, auquel appartient aussi la valeur de/x^] peut être supposé moindre que le nombre positif £, pourvu que l'on ait \h\ <:^ /y, en désignant par v; un nombre positif, correspondant kl. Sous les mêmes conditions, on aura donc

JiK+AIzzJlK) y(.^.^)| < e.

La fonction O'x] admet f x] pour dérivée, en tout point de l'intervalle (a^, a), où la fonction /(a?) est continue. Si cette fonction est continue dans tout l'intervaUe, o j:' admettra, dans tout l'intervalle,/ x pour dérivée.

l'intégrale : la nolalion précédente veut dire la valeur pour r = x de la l'onction de z

djc.

INTROnn.TlON A I.A TlIKiiRIF, DFS FONCTIONS

Il convient, en passant, de faire la remarque suivante : si l'on a '^0 <C fil <C a et si foX, /i -^j sont des fondions continues dans les intervalles a^, a/ , a,, a\ mais telle que Ton n'ait pas

/o(ai) =/J«i),

une fonction f x définie dans l'intervalle 'a^, a par cette condition qu'elle soit dans l'intervalle [uq, a,) constamment égale à /q'x^ et. dans l'intervalle '^a,, a constamment égale hfi'x^,, sauf pour la valeur x = a^, qui lui fait acquérir la valeur / aj =/o(«i)> sera (n" 248) intégrable dans l'intervalle Og, a ; dans ce même intervalle, la fonction

j"f{x)dx

est continue; elle admet pour dérivée /^(a;) dans l'intervalle (a(,, a,) el fi X à l'intérieur de l'intervalle (a^, «) (n° 206^; pour x = Oi, elle admet /o(£c) pour dérivée à droite et /, (x) pour dérivée à gauche. On voit, sur cet exemple simple, que la continuité de la fonction c; x n'entrainc pas l'existence de la dérivée.

Je rappelle maintenant la question posée au début de ce chapitre : Une fonction /"(oî étant donnée, dans l'intervalle fa^. a) existe-t-il une fonction donty(j?) soit la dérivée dans cet intervalle ?

Je laisse de côté le cas où la fonction y x) est discontinue.

Dans le cas où f{x) est continue dans l'intervalle ia^., a;, la fonction

admet y V; pour dérivée dans l'intervalle (oq, a). Toutes les fonctions qui jouissent de la même propriété s'obtiennent en ajoutant à celle-là une constante arbitraire.

Inversement, si l'on connaît une fonction F [x) définie dans l'intervalle V/y, a] et admettant y(a;) pour dérivée, on peut être certain qu'il existe une constante C telle que l'on ait, pour toutes les valeurs de X appartenant à rintervalle 'cg, a-,

F(cc) -+-G= I J{x)dx;

r.llAl'ITISI- 'II. IMKKI'.VI.ES DKKIMKS

cette égalité devant subsister pour x* ^^ a^, il i;uit que l'un ait on aura donc

Par exemple on aura

dx , f^dx , X

= logx, ( -^ =\os^^

en supposant x positif dans la première égalité, a et x de mêmes

signes dans la seconde :

i dx , r dx