l\TH01»I(.TI(i\ \ \.\ TIIKOIIIE liF.S ro.\(.THi>S

Il est tout d'ahord aise de reconnaître que les deux membres de l'égalité précédente ne peuvent diflérer (\uc d'un midtiple de 2 7t; en clVet les quantités \0, f]^^. [9. t]^ ne sont autres que de^ déterminations sjiéciales des angles BP. BM et AP. AM , ou PB, MB), et (PA, MA , puisque l'angle de deux directions est égal à l'angle des directions opposées : or on a

(PA, MB) = (PA, PB) + (PB, MB)

= (PA. MA -+- (MA, Mlî^ (mod. 2 -),

d'où résulte immédiatement

(PB, MB) — (PA, MA) = fMA. MB) — (PA, PB) (mod. 3 -).

Ceci posé, regardons 5 comme fixe et / comme variable ; l'expression

[^. '1b - [^' ':.. — (MA, MB) -i- (PA, PB).

où il est entendu que M V, MB , P\, PB sont les déterminations principales des angles de même nom, est ime fonction continue de /, puisque le lien ï n'a pas de point commun avec le vecteur AB ; d'un autre côté cette expression doit être un multiple de 2t., c'est donc une constante ; elle est nulle quand / est égal à 0, et que, par conséquent, le point M coïncide avec le point P : elle est donc toujours nulle : c'est ce qu'il fallait établir.

295. — Le cas oii le lien T est fermé, c'est-à-dire où l'on a

mérite une attention particulière; la fonction [l^, l,]^, définie dans le n° 292, pour laquelle on suppose toujours que A est en dehors de ,ï , est un multiple de a r:, puisque les deux points du lien son origine el sfin extrémité , qui correspondent aux valeurs /o> ^1 du paramètre, coïncident. Ainsi, 1;^ lien '\ étant donné, à chaque point A non situé sur ce lien, correspond un nombre entier, positif, nul ou négatif.

2 Tî

iiiu'inu; i\. — i.A.NfiA*;!". (iKOMi.riiK.ti k i-tj

Je désignerai ci' nombre s«»us le nom d'onirc ' du poinl A relatil an lien T .

Puisque [/„, /,]^ est une fonction continue de a, h aux environs d'un point qui n'appartient pas au lien l , il en est de même de n qui. aux environs de ce point, ne peut donc que demeurer constant. Quand, en particulier, le point a, b est très éloigné, le nombre n doit être très voisin de o, comme on l'a vu à la fin du n° 292 ; il est donc nul. \u reste, cette dernière conclusion résulte aussi de ce que, en vertu d'une remarque antérieure, le nombre [/<,, ^^\^ est nul toutes les l'ois qu'on peut regarder le point \ comme l'origine d'une demi-droite qui n'a aucun point commun avec le lien fermé (T . L'ordre n du point A restera évidemment nul si ce point se déplace sur un lien qni n'ait aucun point commun avec (T). On prévoit que la considération de ce nombre entier permettra de décomposer le plan en régions distinctes, où il restera le même et dans chacune desquelles ne se trouvera aucun point de iT) ; c'est ce qu'on élucidera un peu plus tard ; j'aurai alors besoin des définitions et remarques qui suivent.

296. — Considérons un lien T , ouvert ou fermé, défini par les fornmles

Je continuerai d'appeler M le [loint tle ce lien ilonl les coordonnées sont '^(/ , '\>(t}.

Je dirai qjue le lien (T) traverse une ilroile A en un point C, si les deux conditions suivantes sont vérifiées.

I" Pour une valeur a de la variable /, intérieure à l'intervalle (/q, /,), le point M est en C (sur A).

2" Tl existe deux nombres a', a" a' <C a <[ c^."} appartenant à l'intervalle ^/,j, /,\ tels que M soit d'un côté de ^A) pour a'<;^-<a et de l'autre colé pour a <; / << a".

('j Celte expression a été introduite par M. L. D. .\.mes dans sa tlièse « An arUhiiielir treatment nf snmn problcins in Analysis silus n lialtimorc, igoS. M. Amkh a montré l'importance de cette notion ; j'aurai d'ailleurs l'occasion d'utiliser un peu plus loin son Mémoire, pour la démonstration d'un théorème fondamental ( a°' 3oG,..., 3o9). Voir aussi Osgood, Lehrbuch dcr Fnnktioneiillieo rie, t. 1, cil. V.

i8o iMr.onic.Tio> a ia tiikcmîh: i>i;s i-onc.tio.ns

Dans ce qui suit, je supposerai que le lien ï esl fermé ' .

Je désigne par 1\, la partie du lien T qui correspond aux valeurs de / appartenant à rinlorvalle a', a" , par T/; la partie restante, qui correspond aux valeurs de / appartenant aux intervalles /p, a') cl a', I, . D'après les suppositions précédentes le lien partiel 1\, n'a pas d'autre point lommun avec A que le point C.

Fis. 10.

Je suppose en outre que le lien partiel T,^ ne passe pas par le point C, en d'autres termes ce point n'est pas un point double du lien iï ; on sera sûrement dans ce cas si le lien est simple. La dis tance du point C au lien partiel T, ne sera pas nulle; on pourra donc prendre deux points A, B sur la droite A situés, de part et d'autre de C, à une distance de C moindre que la distance de C à T, et l'on sera dès lors certain que le lien T, , n'a aucun point sur le vecteur .\B. Je vais montrer que, s'il en est ainsi, on a

en prenant le signe -h lorsque le lien traverse le vecteur ,VB de gauche à droite, c'est-à-dire lorsque les points de ce lien qui corres-

' La di'fînilion préccdcnle semljle exclure le cas, que je ne considérerai pas ici, où le lien fermé traverserait la droite (A; au pointcjui esl à la fois l'origine et 1 extrémité du lien. Le lecteur apercevra sans peine les modifications qu'il conviendrait dapporler au langage pour ne pas exclure ce cas, que l'on peut d'ailleurs ramener au cas considéré par un changement de la variable. — On peut aussi regarder les fonctions 'f (<), '^{t) comme périodiques. Il me parait inutile d'insister sur ces détails.

ciiAi iriiK i\. — i.A>(.A<iK (;i';o.Mi:rKiQUE i8r

pondciil au\ \aletirs de / coiiipii^es cnli-e a' cl a sunl à gauche du vecteur et que les pouils du lieu qui coirespondcMil .iu\ vnlcuis de / comprises eulre a et a' sout à droite ; on j)ieudra au contraire le sijrnc — lorsque le lien traverse le vecteur de droite à gauche.

Soit l* la posilion du point M qui correspond aux valeurs /(,, /, du [)araiuèlre : soienl M', M' les points du lien (pii correspondent à des \aleurs / , / telles que Ion ail

on aura, en ein[)ln\anl les niènies iiDhilions (|u";ai n" 292

Le premier membre esl un nuilliple de ■>::; dans le second membre, les termes qui figurent sur la seconde ligue sont aussi l)etils qu'on veut pourvu que /' et /' soient suffisamment voisins de a : on a d'ailleurs, puisqu'il n'y a pas sur le vecteur AB de points du lien pour les valeurs de / qui appartiennent aux inlcrvallcs (/o. /';» (/■> ^>

Jo. ''J„ - L<o. l'\ = (M'A. M'B) - (PA. PB), /. 'i B — '". 'i A = (PA, PB) — (MA, MB);

la somme des seconds mend^res est la dilîércnce

^M'A, M li) — (M'A, M'B)

des angles compris entre — ;r et -f- - sous lesquels on voit le vecteur AP) des points M, M'; or le premier de ces angles, dans l'hypothèse où IV)n s'est [)lacé esl très voisin de t., le second est très voisin de — ~ ; on a donc dans tous les cas,

le signe -h correspondant au cas oîi le point M' est à gauche, le poini M " à droite du vecteur AH ; le signe — correspond à l'autre cas.

l8'i I.NTnOItK.TlON A LA THÉORIK I>ES lOSOTIONS

11 suil de là que si jku un point C d'un lien terme T , [)oint dont on suppose qu'il n'est chtenu (jue pour luie seule valeur du paramètre, on peut mener une droite que le lien traverse, on peut trouver sur celle droite, aussi près qu'on veul du point C, des points non situés sur le lien et dont les ordres diffèrent d'une unité : il est par conséquent impossible de relier ces points, par un lien qui n'ait aucun point commun avec 1 , . Dans le cas où le lien fermé T est simple et où l'on peut mener par chacun de ses points, sauf peut-être pour un nombre fini de points, des droites qu'il traverse, on voit qu'aux environs de chacun des points du lien se trouvent des points, non situés sur lui, dont les ordres relatifs au lien diiTèrent d'une unité.

Lorsqu'il s'agit d'un lien fermé simple T , l'ordre d'un point non situé sur le lien : Ty par rapport à ce lien ne dépend pas de l'origine confondue avec l'extrémité du lien, mais seulement du sens de parcours. Si l'on définit ce sens de parcours, comme on l'a expliqué au n" 290. en choisissant sur T deux points distincts A, B et l'un des liens partiels A15 ainsi déterminés, lien partiel qui devra être parcouru de A vers B, tandis que l'autre BA est ]iarcouru de B vers A, on reconnaît tout de suite, en supposant par exemple que le sens de parcours ainsi choisi corresponde aux valeurs croissantes du paramètre, que l'ordre, multiplié par 27ï, d'un point M non situé sur T; est égal à la somme des d^ux angles (MA, MB , MB, MA définis, le premier par le lien partiel AB, le second par l'autre lien partiel BA. Il est clair, par là même, que le nombre trouvé ne dépend pas des deux poiats A, B, pourvu que le sens de parcours reste le même, et que ce nombre change de signe, sans changer de valeur absolue, si l'on change le sens du parcours.

297. — Considérons deux points distincts A, B et trois liens simples P), (Q), (R^ dont chacun relie le point A au point B et tels que deux d'entre eux n'aient pas de point commun, en deliors des points A et B; deux de ces liens constituent un lien fermé simple ; on forme ainsi trois liens fermés simples, que je désignerai respectivement par Q, R , B, P , P, Q .

Soit 1 un point quelconque, n'appartenant à aucun des liens (P), Qj, (R}. Si l'on choisit sur les liens fermés Q, R^ R, P),

t.HAPlTHE l\. I.AXiU.K (iKOMKTRlQI K l83

(P, Q un sens de parcours convenable, les ordres resixrclifs du point l par rajiport à ces liens l'ermés, seront, au lacteur 2Z près, les sommes lA, IB „ -h IB, I\„, (lA, IB « -f- IB, I\ p, (I.\, IB p 4- IB, l ,,, où lA. IB ,,, par exemple, désigne l'angle (lA, IB défini au moyen du lien Q n° 292 . La somme des trois ordres est maniCcsIemenl nulle, puisque l'on a

(lA, IB)p^ (115, I\ p = o.

Il est clair qu'en changeant les sens de parcours, on aurait pu s'arranger pour que l'un des ordres fut égal à la somme des deux autres.

m. — CONTINLLMS. PROPOSITIO^S D ANALYSIS SITLS

298. — il importe d'avoir pour les systèmes de deux variables ./:, y une notion qui tienne le même r«Me que la notion d'intervalle pour une seule variable.

Lne telle notion, trop particulière à la vérité, mais dont on a déjà vu l'utilité est celle de l'ensemble parfait formé par les points qui appartiennent à un rectangle H); les propositions du n 284 s'appliquent immédiatement et l'on conçoit ce qu'est une fonction déterminée dans ce rectangle en tous les points qui appartiennent à ce rectangle , une fonction continue dans ce rectangle, comment une telle fonction atteint sa borne supérieure et sa borne inférieure pour des points appartenant à ce rectangle situés à l'intérieur ou sur le contour), comment on peut subdiviser ce rectangle B en rectangles j)arliels assez, petits pour que, dans chacun d'eux, l'écart de la fonction soit moindre que tel nombre qu'on voudra, etc.. Au lieu d'un rectangle on peut considérer un cercle ou plutôt l'ensemble des j)oints qui appartiennent à un cercle : c'est encore un ensemble parlait. Au lieu du cercle on pourra prendre une ellipse, ou [)lus généralement, une de ces courbes que l'on sait définir analytiquement, ainsi que leur intérieur et leur extérieur.

y.n opposition avec ces notions particulières, il convient de si-

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