I.MlUtOlCTlO^ A LA TllKOllII. HES FONCTIO.NS
irnalcr iiuc notion hvs jiféncrale. f(iii csl due à W eierslrass, celle de citnliinuim.
Ln conlinuum esl un ensemble (C de points qui satisfait aux conditions suivantes :
i" A chaque point A de 1 ensemble C) correspond un nombre positif a tel que tous les points de G) qui sont à une dislance de A égale ou inférieure à a appartiennent à (G . En d'autres termes chaque point de C est le centre d'un cercle ou d'un carré), tel que tous les points qui appartiennent au cercle ou au carré' appartiennent à C . Aucun point de l'ensemble (C n'est isolé.
2" Deux points quelconques \ et B de l'ensemble peuvent être reliés par un lien T donc tous les points appartiennent à l'ensemble. On dit d'un tel lien qu'il est intérieur à C .
Si l'ensemble Cj satisfait à ces deux conditions s'il est un conlinuum i, on >erra plus tard que le lien T peut toujours être constitué par une ligne brisée.
A cause de la condition i", un point frontière du conlinuum (G ne peut appartenir à ce conlinuum : un conlinuum n'est pas un ensemble clos. Ln conlinuum ne contenant pas de point isolé, sa frontière est formée de points d'accumulation du conlinuum, qui n'appartiennent pas à ce conlinuum. Ln point P est un poinl frontière de (C lorsque tout cercle décrit de P comme centre contient des points de (G) et des points qui n'appartiennent pas à (G), ne fût-ce que le seul point P ou d'autres points frontières. Si la frontière est bornée, si en ])arliculier le conlinuum esl borné, celte frontière est un ensemble clos n° 287 , ou fini.
\oici quelques exemples de conlinuums.
Le plan est un conlinuum sans frontière. On verra tout à l'heure que c'est le seul conlinuum sans frontière.
Le plan, à l'exclusion de certains ])oints A, B, C, ... en nombre fini, est un conlinuum dont la frontière est formée par ces points. Le plan, à l'exclusion des points d'un segment AB, est un conlinuum dont AB constitue la frontière.
L'ensemble de points intérieurs à un rectangle, ou à un triangle, ou à un trapèze, ou à un cercle, constitue un conlinuum dont la frontière est formée par le contour du rectangle, ou du triangle, ou du trapèze, ou par la circonférence du cercle. L'ensemble clos des points qui appartiennent à un rectangle ou à un cercle n'est pas
(.IIAI'ITHK IX. L\.\(;A(;K r.KOMKTIUQLI-: 185-
un conlinutiiM. L'eii^oiiilile des |toinls e\lériciirs à un cercle est un coiiliiuiuiii.
Si le cercle \ est iiilri ieiir au ceiclc IJ . l'ensenihle des points exiérieuis au cercle A et intérieurs au cercle H est un continuum [C . dont la iVonlirre est lorniée par les clrconft'rences des cercles A et B . ï/eiisendjle tles i)oiuts qui u'a[)parlicnncnt ni à C ni à sa Irunliric n esl |)as un continuuui ; il se compose de deux conlinuunis, dont l'un est l'ensemble des [)oints extérieurs à (A , dont l'aulre est l'ensemble des points intérieurs à IJ .
299. — llcvcnons au cas général. Soit C un conlinuum et soient Aj,. A, l'origine et l'exlréniilé ilu lien T délini par les l'orniules
Su[)posons que \^ a{)parlienne au conlinuum C et que A, ne lui appartienne pas. Il sul'lit de se reporter au n° 291 pour voir qu'il y a un nombre 0 plus grand ([ue /« et au plus égal à /,, tel que les points de T qui correspondent aux valeurs de / appartenant à l'intervalle /g, 6 : soient tous des points du continuum C , à l'exception du point qui correspond à la valeur 0, lecjuel est un ()oint frontière et, ainsi, n'appartient pas au continuum.
En particulier, tout vecteur A„ A, partant "d'un point A^ du conlinuvmi el aboutissant à un point Vi qui n'appartient pas à ce continuum contient un point de la frontière, nécessairement situé entre A,, et A,, sauf dans le cas où A, est un point frontière.
Les points qui appartiennent à un continuum C} sont dits inlci-icnrs à ce continuum ; un i)oint est extérieur à C s'il n'ap- [>arlienl ni à C ni à sa frontière. Un lien T est intérieur ou extérieur au continuum G , si tous ses points sont intérieurs ^ou extérieurs! à ce continuum.
L'ensemble des points extérieurs à un continuum G , en supposant qu'il y ait de tels points, satisfait à la condition i".
Soit en elTet A un [)oint extérieur au continuum ; la distance du point A à la frontière \\ de (G; est un nombre positif c?; le cercle décrit du point A comme centre avec un rayon /■ ■< o' ne contient aucun point de la frontière ni à son intérieur ni sur sa circonférence ; il ne contient non plus aucun point B du continuum, car
l8G IMUnill C.TIO.N A I.A THKOUIE DES l-O.NCTIO.NS
alors le vecteur Vl> conliemhait un point iVonlière. Mais, pour que renscmblc tics points cxlcrieurs à un conlinuum soit lui-même un conlinuum, il faut que la condition 2" soit vérifiée.
Soit (C un conlinuum et F sa frontière; soit C l'ensemble des |wints extérieurs à C et F' \ la frontière de cet ensemble. L'ensemble Fj conlient l'ensemble F"' ; en elTcl un point de ¥'j ne peut appartenir à C , puisque les points suffisamment voisins d'un point de (C) appartienneni tous à C' ; un point de F 1 ne peul non plus appartenir à C ; il appartient donc à F). Mais tout point de F; n'appartient pas nécessairement à F ; un point P de F n'appartient pas à 1*" lorsqu un cercle de centre P et de rayon sullisammcnt petit ne contient aucun point extérieur à C) ; un tel cercle ne peul alors contenir que des points appartenant à (C ou à (F .
Lorsqu'il existe de tels points P, on peul dire qu'ils appartiennent à l'ensemble b' — F' ; en les adjoignant au conlinuum (C^\ on forme un ensemble Ci qui est encore un conlinuum ; en clTet, on voit d'abord qu'il salisfait à la condition 1'^ tant pour les points de C que pour les points P de l'ensemble F — F'), puisque tous les pohits appartenant à un cercle de centre P et de rayon suffisamment petit sont des points de C, . D'ailleurs un tel cercle, puisque P est un point frontière de C , contient nécessairement un point de C , auqviel P peut être relié par un vecteur dont tous les points appartiennent à ^C, ; enfin deux points de (C) peuvent être reliés par un lien intérieur à 1 C et, par conséquent, à (Cj : la condition 2° est aussi vérifiée. Les points extérieurs à (Cj) sont les mêmes que les points extérieurs à C} ; le conlinuum (CJ cl l'ensemble (C) admoltent F' comme frontière commune.
300. — On a signalé plus liaut des exemples de conlinuumstrès simples ; je vais montrer comment on peul constituer d'autres continuums en partant de conlinuums donnés.
Soient C et C deux continuums, F et F' leurs frontières respectives. Si les doux conlinuums ont un point commun A, il est clair que tous les points qui appartiennent à un cercle décrit de A comme centre avec un rayon moindre que les distances de A à (F) et à Œ'i sont aussi communs aux deux conlinuums 'C , C'} ♦
' iiAi'iTi'.i; IX, — i.a>(;agi: (;k(imi;tiiiole 187
l'eusemLle des poiuts conimiios aux deuv ooulinuuiiis qui peuvent cire reliés à A par un lien intérieur à la fuis à C el à C forme un conlinuuni ; soit G ce conlinuum. Il i)cut tl'aillcnrs arriver que rcnscinl)le des puinls communs à C et à \C' forme plusieurs conlinuum s séparés.
Supposons qu'tm point B de \C n'appartienne pas à G ; ce })oint, puisqu'il .qipaitlent à G) comme A. peut être relié à A par vm lien intérieur à G); ce lien ne peut être aussi intérieur à G' puisque B n"ap[)artient j>as à G : il contient des points qui n'appartiennent pas à G , et le point A qui appartient à G ^ ; il contient donc un point de (F') ; il y a au moins un point de (F') qui appartient à (C .
Si donc \o conlinuum G ne contient aucun point de la Irontière du conlinuum G . il est contenu tout entier dans ce conlinuum G ou lui est loul entier extérieur. On sera sûrement dans le premier cas, si les deux continuums ont un point commun.
Remarquons en passant que si les continuums G , G sont tels que chacun ^l'eux. ne contienne aucun point de la frontière de l'autre, ils sont certainement extérieurs l'un à l'autre, à luoiiis qu'ils ne soient confondus.
En supposant toujours que le point A ajiparlienne à la lois aux deux continuums G\ G' , considérons maintenant l'ensemble (G) des points qui appartiennent soit à G , soit à G'^ ; cet ensemble 'G" constitue un conlinuum: en effet, la condition i" est évidemment vérifiée pour tous les points de G : il en est de même de la condition 2", puisque deux points de G peuvent être reliés à A par des Hcns intérieurs soit à G , soit à G ;; ces deux points peuvent donc être reliés entre eux par un lien dont tous les points appartiennent a G"!.
301. — Si le> deux conliuuunis C , G n'ont pas de point cofliimuM. mais * ils ont une jtartie de frontière commune, on peut encore. so4is tx-rtaines cûudiUons, en déduire un conlinuum foiTOîé de tous \'^ points appartenant soit à ^C . soit à C' , soit à la fronticirc commuiie. à l'exception de deux de ces derniers points.
Lesoondilions que je Siup|K>serai vérifiées par la partie ct>mmunc de la irontière. ^uul les suivante* ;
i88 iNThonrcTioN a la THKORIE 1»KS i-octions
1° Celle parlic commune peut être regardée comme un lien (ï) défini par les formules
Je désignerai par V l'ensemble des poiiils tlu lien ï autres que son origine A el son exlrémilé 1>. lesquelles correspondent aux valeurs a, ^3 de /.
2° Chaque point P de T' peut ctro regardé connue centre d'un cercle P tel qne tous les points qui lui appartiennent appartiennent soit à C , soit à (C , soit à ï'). Puisque P est à la fois sur la frontière de C el de C , tout cercle ayant pour centre le point P contient des points de C . des points tlo C . des points de ï' : l'hypolhèse est qu'il n'en contient pas d'autres à son intérieur, ou sur sa circonférence, pourvu que son rayon soit suffi samment petit; en particulier il ne doit pas, en dehors des points de l'ensemble (T',, contenir de points frontières de C , oudeiC), pas môme les points A. B qui, par suite, ne doivent correspondre à aucune valeur de /, intérieure à rintervallc a. fj .
D'ailleurs, en dehors de T , les frontières de C et de (C) peuvent avoir des points communs, ou des parties communes, dont je ne m'occupe point.
Je vais montrer que, dans ces conditions, l'ensemble (Ej des points qui appartiennent soit à C , soit à C , soit à T constitue un conlinuum; je dirai que ce cunlinuum est (tblenu on supprimant la frontière commune.
Tous les points qui appartiennent au cercle P appartiennent à l'ensemble E qu'on vient de déilnir. Que tous les poinls de l'ensemble E vérifient la condition i" du n" 298, c'est ce qui est évident. D'un autre côté, le cercle P contient des poinls de C; el de C , qui peuvent être reliés lun à n'importe quel point de C , l'autre à n'importe quel point de C par des liens intérieurs à ^C ou à C , qui, enfin, peuvent être reliés à P par des vecteurs intérieurs à P, ; deux poinls de C ou de (- , un de ces points et un point de T' peuvent donc être reliés par un lien dont tous les points appartiennent à E : E est un continuum.
Un point k de la frontière de (C , ou de C , qui n'appartient pas à (T'j est un point frontière de E ; car tout cercle décrit deK
||IM>1THK l\. I.AXiACK i;ÉOMKTRIQl K 1 89
comme centre contient le point K, qui n'appartient pas à E . et contient des points de F . ( ii pi)inl rpielconque de T' appartient à E ; un point extérieur à C cl à iC est le centre d'un cercle tel qu'aucun des points qui lui appartienne n'appartienne ni à C . ni à (".' ; il ne peut appartenir à la frontière de E qui, ainsi, est formée de l'ensend^lc des points qui appartiennent à la frontière de C , ou à la frontière de C . sans appartenir ;i Y . Les points A et B appartiennent à cette frontière de E .
Plaçons-nous maintenant dans le cas où les deux continuums
C- et C satisfaisant toujours aux c<Midilions qui précèdent, sont
liornés, et où leurs frontières V , V sont constituées chacune
par un lien fermé : ces liens seront définis par des fornudes telles
que
X=f{ll), v=r/(u), M,) < U < M,,
Je suppose enfin que le lien T qui. par hypothèse, fait partie de F et de F' ne contienne pas les points dont les coordonnées s'obtiennent en remplaçant ii par «„ ou par «, dans/ a et dans g II et / par t^ ou par /, dans ç- / et 'i> / . C'est là d'ailleurs une supposition qui n'a rien d'essentiel et qu'on peut toujours réaliser par un chanj^ement de variable. Ce lien pourra alors être défini par des formules telles que
OU
en supposant que chacun de ces systèmes de formules fournisse le même ensemble de points, et que 1 on ail, en particulier
D'après ce que l'on a dit plus haut, la frontière de l'ensemble
E , obtenu [)ar la suppression du lien T , est le lien fermé
constitué par les parties de ^F qui correspondent aux valeurs de /
qui appartiennent aux intervalles l'/g. a . 'l», I, et les portions cte F qui correspondent aux valeurs de u qui appartiennent aux intervalles ii. y . ô^. m, . En vertu des formules précédentes, ces quatre liens partiels se raccordent pour former un lien fermé, lequel sera évidemment simple si les frontières ¥ \ F ) sont ellesmêmes des liens simples et si elles n'ont pas de points communs en dehors de l'ensemble T .
Les propositions qu'on vient d'établir permettent de constituer des continuums assez compliqués en juxtaposant des continuums simples, des triangles, des rectangles, des trapèzes... ; la frontière dun continuum ainsi formé, peut d'ailleurs se composer de plusieurs liens séparés. Le cas particulier qu'on vient d'examiner montre comment, en procédant ainsi, on peut s'arranger pour que les continuums successifs que l'on forme aient toujours pour frontière un lien fermé, et même un lien fermé simple. Les continuums de cette nature ont un rôle important dans la théorie de certaines fonctions.
302. — Soit G un continuum et F sa frontière; on peut concevoir qu'une fonction -s soit déterminée ou définie pour chaque point appartenant à ce continuum; on peut dire alors que la jonction est déterminée ou définie dans le continuiam. Une fonction définie dans le continuum G) est définie aux environs de cbasque point de ce continuimi. r'est-à-dire dans un cercle de raiyon suffisamment petit décrit autour de ce ]ioint comme centre : il est donc permis de parler d'une fonction définie et continue en chaque point d'un continuum 'G ; on dira, si l'on veut, qu'elFe est définie et continue dans le continuum (G); mais on ne peut affirmer d'une telle fonction qu'elle est uniformément continue dans le continuum, parce que ce continuum n'est pas un ensemble clos. Il est d'ailleurs bien aisé de voir que la différence entre deux valeurs d'une fonction continue pour deux points d'un continuum peut rester supérieure, en valeur absolue, à un nondDre fixe, lors même que les deux points auxquels correspondent ces deux valeurs sont très voisins, si ces deux points sont très voisins de la frontière. Voici un exemple simple.
Gonsidérons, comme à la fin du n'^ 278, un point fixe O et une demi-droite fixe ^A'- partant de ce point: soit G le continuum
tHAI'ITHi; l\. I.AXiV*.!". liKOMITHIol K IQI
obtenu on supprimant du |tlaii les poinls (pii appaillennenl à la denni-droitt' A . laquelle est éviclennncnt la frontière de ; C . Soit maintenant I) une autre demi-droite fixe partant encore du point O, mais distincte de (\ ; soit enlin a le plus petit angle positif dont il faut faire tourner uno demi-droite autour du point O Mans le sens direct pour Tanjencr de D sur A.
Si l'on considère un point quelconrpie M du continuum, on a défini l'angle dont il faut faire tourner une demi-droite, autour de O, pour l'amener de \D) sur OM. sans passer par A : cet angle est compris entre a et — 2- H- a; on voit tout de suite que c'est une Ibnclion continue de M, en chaque point du continuum. Si M,. M,, sont deu\ points situés très près de Ai, l'un à droite, l'autre à gauche, l'angle considéré, en M,, sera très voisin de a: il sera très voisin de — 2r -h a en IVL ; la dilVérence entre las deux angles est très voisine de 27:. Si, au contraire, les deux points M,, Mi étaient très voisins de A , mais du même enté de 'A , les deux angles seraient très voisins lun de l'autre.
On retrouve ici la notion de. coupure, introduite au n" 276; considérons la demi-droite A comme double ; l'une des deux demidroites, dont je dirai qu'elle est à gauche, étant regardée comme voisine des points situés à gauche de ^A et à une petite distance, l'autre dont je dirai cprelle à droite, étant regardée comme voisine des [)oints situés à droite de fA) et à une petite distance. Dans cet ordre d'idée, deux points situés près de A ne doivent être regardés comme voisins que s'ils sont d'un même côté de «^A).
Avec cette convention, la fonction du point M dont il a été question plus haut, l'angle de T), et de OM, peut être défini dans tout le plan, sa(d" au point O ; mais, si le point M est sur A) on devra dire s'il se trou\e sur le horil r/aiirhe ou sur le bord droit de la frontière : en deux points, confondus en réalité, mais qu'on regarde comme étant l'un sur le bord gauche, l'autre sur le bord droit, les valeurs de la fonction diffèrent de ar.
Lne fonction d'un point variable lou de ses coordonnées continue pour tous les points d'un continuum, est uniformément continue dans tout ensemble clos contenu tlans ce continuum (n' 284 .
Soit G un continuum borné et (F .sa frontière. L'ensemble (C H- F) des points qui appartiennent soit au continuum, soit à
192 iMnonir.TioN a la theohie des fonctions
sa frontière est un ensemble parfait, l ne fonction continue pour tous les points de cet ensemble sera uniformémenl continue dans cet ensemble.
Reprenons les notations employées dans le numéro précédent pour deux confinuums bornés (C), (C) qui n'ont pas de point commun, dont les frontières respectives (¥), F') sont des liens fermés et admettent une partie commune, constituée par un lien (T) dont l'origine et l'extrémité sont les points A et B, et qui satisfait aux conditions que l'on a précisées. (T' désif^nc toujours l'ensemble des points de ^ïj autres que A. B; E) est le continuum qui résulte de la juxtaposition des deux conlinuums (C), (C) et de la suppression de la frontière commune (T). Désignons enfin par (F, ; la frontière de E), frontière qui se compose des points de (F} et de T') qui n'appartiennent pas à (T), et par (E,j l'ensemble parfait E + F,).
Soient ©, o' des fonctions continues, l'une dans l'ensemble (C) + iF), l'autre dans l'ensemble 'C' -h F' , et supposons que l'on ait o = '^ po^r n'importe quel point de (T). Il est clair que la fonction 'b définie comme étant égale à ç dans C), à o' dans (C), à o ou à c;' pour les différents points de fï' sera continue en tout point de (E).
Si les frontières (F), I F') n'ont pas de points communs en dehors de (T), il est clair que le même procédé permet de construire une fonction continue dans E, , égale à o pour tous les points de (C) -1- (F), à o' pour tous les poin's de C) + (F'j ; mais il n'en sera plus de même si les frontières F , F' ont des points communs en dehors de T , car on n'a pas supposé qu'en un tel {>oint les deux fonctions ^ et s fussent égales.
On est alors amené à dédoubler en quelque sorte des points de (F, : qui proviendraient d'un j^oint commun à (F) et à : F'; et n'appartenant pas à (T) ; on convient de garder le souvenir de la provenance de pareils points, que l'on regarde comme séparés si l'un provenait de (Fj, et l'autre de (F'j. La frontière i F, , de (E^ est ainsi remplacée par un autre ensemble Fg dans lequel un même point, un même lien partiel, peuvent figurer deux fois; je le répète, ce point, ce lien partiel ne sont pas regardés comme les mêmes suivant qu'ils proviennent de Fj ou de (F,). Dans le cas où (F; et (F) sont des liens fermés simples, on peut, en
ciivrriKi-: i\. — i.v.Nt.u.K i.ko.mktuhjl'e iq3
vertu do la niènie liclion, regarder encore fFjj) comme un lien fermé simple, dans IimjmcI des valeurs dilTérentes ilu paramètre fournissent des points qui, à la vérité coïncident, mais qui sont essenticlloiuent distincts, d'après leur provenance. Si P et P' sont ainsi deux points coïncidants provenant l'un de F^, l'autre de (F'~ , le premier est regardé comme voisin des points de (C) qui sont à une petite distance de lui, mais non des points de (C) que l'on ne pourrait atteindre, sans s'éloigner de P, en suivant un lien continu intérieur à E . De même, P' est regardé comme voisin des points de (G'i qui sont à une petite dislance de lui. mais non des points de C). De même qu'on a remplacé la frontière ^F, par la frontière (Fa), on remplace l'ensemble E,^ ^=i^/ + (Fi . par l'ensemble (E^) = {E) H- (Fa), lequel contient alors sur sa frontière des points qui coïncident et que l'on regarde comme distincts, qui ne sont spécifiés que, lorsque, après avoir donné leurs coordonnées, on dit s'ils proviennent de i F; ou de [F' .
Sans que j'insiste davantage, le lecteur voit s'étendre la notion de coupure et se rend compte du sens dans lequel il est permis de dire qu'une fonction est uniformément continue dans 'E^). Les parties communes à (F) et à F' i, en dehors de (T), constituent des coupures, dont un bord provient de (F , un autre bord de (F'); près d'une coupure, les points voisins d'un même bord proviennent, soit du conlinuum C), soit du continuum C et ce n'est que pour les [joints voisins d'un même bord que les valeurs de la fonction dilTèrenl très peu.
Prenons encore jjour exemple l'angle qu'une demi-droite fixe(D , partant d'un point fixe 0, fait avec la demi-droite qui va de ce point 0 à un point variable M. .le suppose essentiellement que le point O est extérieur aux continuums C) et C .
Supposons qu'on puisse mener, à partir de 0, une demi-droite (A) extérieure au conliiiunni (C et distincte de D ; on peut alors défitiir, pour tout point M a|)partonant à l'ensemble (C) -f- iT , l'angle de D et de ( ).M, par le procédé qu'on a expliqué à la fin du n" 278; cet angle est une fonction continue du point M dans l'ensemble parfait C -4- (F ; il en sera de même si on lui ajoute un multiple quelconque de 27î; si donc M„ est un point fixe quelconque de C -H F et si l'on choisit arbitrairement lune des valeurs Oy de l'angle dont les deux cotés sont 0 et OMo, on
TA!<:«EnT II. — liilrO'Iui'lion à la Tliéorio «les fonclions 13
ir)'4 IMRODICTIO.N A LA IHKOlUK DKS KO.NCTIO.NS
pourra dclinir une fonclion 'j de M. continue dans l'ensemble parfait C + F\ qui preiulra la valeur ç^ quand M sera en M,,, et qui sera toujours é^^de à la mesui-c de l'un des angles dont les côlés sont iD et OM. Il n'y a il'ailleurs qu'une l'onction qui jouisse de cette propriété.
Supposons maintenant qu'on puisse mener une demi-droite (JS' , distincte de D , et extérieure à /C) ; on pouiTa encore délinir, pour tout point M de C) + (F'), l'angle de D et de OM, comme une fonction continue de M. Lorsque M appartient à T , les deux angles définis, l'un dans iC) -4- (F), l'autre dans C) -h (F' ne peuvent diiVérer que d'un multiple de '2~, lequel, à cause de la continuité, reste évidemment le même tout le long de T ; en modifiant le second angle de ce multiple de 2-, les deux angles seront égaux tout le long de i T), en sorte que l'angle de D et de OM pourra être défini comme une fonction continue de M dans tout l'ensemble Ej- ^^ E) -t- Fo), à la condition de regarder au besoin la frontière Fo comme comportant des bords séparés. Celte fonction est définie sans ambiguïté par la condition qu'on lui a imposée, d'être égale à 'j;,j quand le point M coïncide avec M„. Il est clair qu'on pourrait continuer ainsi en considérant un IroisicMue conlinuum (C") qui aurait une partie de frontière commune avec E., , etc..
On peut former ainsi, par adjonctions successives, un continuum très compliqué, auquel le point O doit toujours être extérieur, avant toujours pour frontière un lien fermé simple, ou même un de ces liens fermés à bords distincts que l'on ne peut rpialifier de simples que par fiction. L'angle de D et de OM se définira comme une l'onction continue dans l'ensemble parfait obtenu en adjoignante frontière aucontinuum, fonction qui, en un point M^, se réduira à 1 une des valeurs arbitrairement choisie de l'angle dont les côtés sont D) et OMo. En particulier, si l'on fait coïncider (D) et OMo, ) on pourra définir l'angle Mo, My de OMq et de OM comme une fonction continue de M dans l'ensemble parfait, fonction qui s'annule quand M coïncide avec M^.
On verra, à la fin du présent chapitre qu une telle définition est toujours applicable à l'ensemble parfait G -t- F pourvu que le point 0 n'appartienne pas à cet ensemble, que le continuum (G) soit borné et que sa frontière T soit un lien l'ermé simple, soumis à certaines conditions.
CM AI'ITIUC IN. L.V.NfiAr.E i.KOMKTUlOI K 1 gS
Si l OU suppose les Jeux. poiuU My, \I reliés par uu lieu dont tous les points soient intérieurs au conlinuuni, saul peut-être les extrémités Mo, M qui peuvent appartenir à la frontière, l'angle My, M loi qu'on vieul de le déiînir, n'est autre chose que l'angle de OMy ol de OM déliui au moyen du lien n' 292 : cet angle ne dépend pas du lion, tant ((ue ce lien reste assujetti aux conditions qu'on vient do précisci'. i/ordre du point 0 par rapport à un lien fermé quelconcjue intérieur au conlinuuni est nul. Si Mo, M,, M^ sont trois points ap|)artenant au continuum, on aura
,M„MJ=.(Mo. M.) + (M.,Mj.
En olVct les doux membres qui sont, dans tout le conlinumri, des fondions continues des points Mu, M,, Mo, ne peuvent dilTorer que d'un mulliple de :>::, qui est nul quand Mo coïncide avec M^.
303. — Soil T un lien et soit r) un nombre positif; je désignerai sous le nom de voisiiiafje \ o^ du lien T l'ensemble des points tels que chacun soil intérieur à cfuelque cercle de rayon & dont le centre est un point de ï.
Cet ensemble est un continuum. Considérons, en elVct, un point A satisfaisant à la condition précédente, c'est-à-dire intérieur à un cercle '/ do rayon c? et dont le centre a est situé sur (T) : Tout point a|tparlonant à un cercle de centre \ et intérieur au cercle (a) est intérieur à ce dernier cercle; la condition i" du n" 298 est vérifiée. Remarquons, en passant, que le point A est à une distance de T inférieure à 1^^. Soit maintenant B un autre point de ^ à'., et soit h le centre, situé sur T , du cercle de rayon â auquel B est intérieur; on peut aller de A à B, par le lien formé en allant de A à a en ligne droite, de a à h sur 1 , de h à B en ligne droite; tous les points du lion ainsi formé appartiennent à \ r) ; la condition 2" est vériliée.
Soit P un [toint quelconque, cî*' sa dislance à T et/> un point de T qui soit à une distance de P égale à r)' . Si P est intérieur à Y r) , on a, d'après une observation antérieure, r}' •< r). Héciproquemcnt si l'on a r)' <; c?, le point P est intérieur à \ r) puisqu'il esl inl('riour à un cercle décrit do /> comme centre avec un rayon ciim[)ris entre r)' et o*. Si donc P n'appartient pas à ^ c?),
i<)0 i.Miiiini (iioN A i.\ Tiii';<»Kii; i>ks i u.m.tkins
on a o^'ri; c? : si l'on a c!^ = c?, loul pt-tinl, aulic que P,, du vccleur qui va de P à /> appaiiient à V r}); il y a des points de \ o" aussi voisins que l'on veut du point P, lequel n'appartient pas à V c? : P est alors un point frontière de \ & ; si l'on a 0^' >> â, il ne peut y avoir, dans un cercle décrit de P comme centre et de rayon moindre que r)' — r), de point dont la distance à (T) soit inférieure à r? : P est extérieur à ^ o^ .
Suivant que 9* est inférieur, égal, ou supérieur à c? le point P est intérieur à V f) , sur la frontière de V((?], extérieur à V((j^).
Il est clair que si l'on a r)' ^ o^, l'ensemble V ((?') contient l'ensemble V(ô^) et sa frontière. Les frontières des continuums Vi(?;, yfâ") n'ont aucun point commun.
Il est à peine inutile de dire qu'on aurait pu définir un continuum jouissant de propriétés analogues à celle du voisinage Y (&) en considérant des distances réduites au lieu des distances vraies.
304. — Considérons un continuum C et sa frontière (F). Soit M ou j:, V un point qui ne soit pas situé sur la frontière; si on décrit du point M comme centre un cercle dont le rayon soit égal à la distance du point M à la frontière, ce cercle ne convient à son intérieur que des points intérieurs, ou des points extérieurs, au continuum, suivant que M est intérieur, ou extérieur, au continuum; sa circonférence contient au moins un point de la frontière; ces propriétés caractérisent évidemment les cercles dont le rayon est égal à la distance du centre à la frontière du continuum.
Soient Mq et M,, ou Xo, Toi et x^, y^ , deux points intérieurs au continuum : supposons-les reliés par un lien T , intérieur à i^C), défini par les formules
soit >) un niiinbr<' [)osilif [)lus petit f(ue la dislanco du lien T à la frontière i*' du continuum; considérons le voisinage V (? du lien T , il csl clair rpic ce continuum sera contenu dans C .
On peut relier le [)oint Mo au point Mi [)ar une ligne brisée, donc tous les points ajipartiennent à V â et, par conséquent à 'C-. Il sullit d'intercaler entre /,,, /, dos nombres croissants
(iiAi'iTiu-. i\. — i.v><;a<:i: <;i:i>.MKTnioLi-, iq-j
/', t', t'", ... tels ffiie les distances de deu\ points consécutifs du lien T qui correspondent aux nombres /„. ^> ^ . •••» ^ soient moindres que r). Si l'on décrit de ces points comme centres des cercles de ravon r), chacun de ces cercles contiendra le centre du cercle suivant; tous les points qui a[)parliennenl à la li;L;ne hrisc'e dont les éléments joignent les centres conscculils appartiennent évidemment à V â).
On peut, d'ailleurs, s'arranger pour (|ue la lii^no brisée qui va du [)oinl j;„, j,,) au point x,, j, ne se croise pas elle-même : en elTel, supposons d'abord que la ligne brisée soit construite comme on l'a expliqué et que l'on donne les numéros i, 2, ..., p, ..., fj. ..., r aux vecteurs successifs qui la coin[)Oscnl : soit /) le numéro du premier vecteur qui croise un vecteur ultérieur, le ry"^'"!-^ par exemple jj ^ p -h 1 : on limitera le y^'ème vecteur au point de croisement, et l'on continuera par un vecteur situé sur le fp*'"^'^, en prenant le point de croisement pour origine : on aura supprimé, de la ligne brisée, la portion fermée qui ramenait au point de croisement. I']n continuant de la môme façon, on parviejidra cvidenmient, au bout d'im nombre fini de suppressions, à une ligne brisée joignant les deux points x^, y^j et (xi, y, qui ne se croise pas elle-même.
305. — Le lecteur reconnaîtra sans peine comment est constitué le \oisinage d'un segment de droite, d'un cercle, d'un arc de cercle, et quelle en est la frontière. Je me bornerai à quelques indications qu'il complétera aisément sur le voisinage \ r) d'une ligne brisée simple, ouverte ou fcimée, que je désignerai par L , en sup[)osant que 2c? soit moindre que la distance de deux cotés non consécutifs de L . Je supposerai la ligne L parcourue dans un sens déterminé, de façon a pouvoir parler de la droite et de la gauche des vecteurs qui la composent et même de ses angles n" 277 , le premier côté de chaque angle étant décrit en se rapprochant du sommet, le second en s'en éloignant.
La frontière de ^ r) est composée de vecteurs parallèles aux cotés correspondants de L et d'arcs de cercles avant pour centres respectifs les sommets de L^ ; elle constitue un ou deux liens simples et fermés, suivant que la ligne L est ouverte ou fermée. Dans le premier cas. si on sup[)rimc de la frontière les deux demi-cercles qui correspondent à l'origine et à l'extrémité de L),
198 IXTRomCTION A I.A THKOllIE KFS FOXIHiNS
il resto deux liens simples ouverts donl on peut diic que l'un est à droite et Taiilre à gauche de L , parce que les éh'ineiits (jui constituent le premier lien, par exemple, sont à droite des angles correspondants de L .
Dans le second cas, on peut dire aussi, avec la même signilication, que les deux liens fermés qui composent la frontière de V r}') sont l'un à droite, laulre à gauche de la ligne polygonale (L ' : je les désignerai comme étant la frontière de droite et la frontière de gauche. La ligne X . qui fait partie de \ 'â' , décompose ce continuum en deux continuums, dont le premier, qui peut être qualifié de voisinage de droite, a pour frontière la frontière de droite et L , dont le second, qui peut être qualifié de voisinage de gauche a pour frontière la frontière de gauche et (L). Chacun d'eux est constitué, conformément aux explications données au n" 301 en juxtaposant une suite de trapèzes et de secteurs circulaires dont on supprime les côtés communs. Chaque trapèze a pour côtés parallèles un côté de (L) et le côté correspondant de la frontière de droite ou de gauche. Les secteurs circulaires correspondent aux arcs de cercle des frontières. Deux de ces éléments, trapèzes ou secteurs, n'empiètent jamais l'un sur l'autre.
On reconnaît sans peine cjue, d'un point quelconque non situé sur (X^, on peut mener un Aecleurqui n'ait aucun point commun avec (L^ et qui aboutisse à un point de la frontière de V & .
La ligne rL\ suivant qu'elle est ouverte ou fermée, se comporte d'une façon très différente par rapport à l'ensemble des points du plan.
Dans le premier cas, on peut relier deux points quelconqu s du plan, non situés sur L . par un lien qui ne contienne aucun point de iL. : il suffira en elTet d'aller de chacun de ces points à la frontière de V (o^j sans toucher L ; la frontière elle-même relie les deux points auxquels on aboutit sur elle.
En d'autres termes, l'ensemble des points du plan qui n'appartiennent pas à une ligne brisée simple et ouverte constitue un continuum dont celte ligne brisée est la frontière.
Dans le second cas, où la ligne brisée (L) est fermée, un point quelconque non situé sur L; peut être relié par un vecteur qui ne contient aucun point de L}, soit à la frontière de droite V 'c? , soit à la frontière de gauche. Il est clair que tous les points qui
<:n\i'mii. i\. — i.anc.u.i: i.komltiiioik H)()
peuvent cire relit'-s ainr-i à une même liontiorc consliliiciil dans leur ensenil>le iid ((iiiliniimii. I,c>- points du [)liui (|ui n apparticmicnl pa^ à L consliluenl donc au [Aus deux conlinuums; qu'il y en ail deux distincls, c'est ce qui résulte clairenienl du n 295. L lin de ces continu ums contient les points du plan situés à une distance très grande de la ligne iennée : il lui est extérieur. Kn traversant la ligne brisée on entre dans le conlinuum intérieur. Quand on se place au point de vue géométrique, on est tenté de regarder comme inluilivcs les deux propositions dont on vient d'esquisser une démonstration, qu'il serait très aisé de présenter en cnqjlovanl un langage purement numérique. La facilité de cette démonstration lient à la facilité avec laquelle on reconnaît la nature du \oisinage V r) d'une ligne brisée simple, et de sa frontière, pour 0^ suffisamment petit. Le lecteur ne peut manquer d'apercevoir l'exterision des pro[)riétés précédentes à des liens formés d'arcs de courbe suffisamment simples.
306. — M. Jurdan a démontré, d'un façon générale, que tout lien fermé simple 'Ti, partageait de même le plan en deux continuums distincts, l'un extérieur à (T), l'autre intérieur. Je me contenterai de montrer, en adoptant la voie suivie par M. Ames ' , que celte proposition est vraie quand le lien fermé simple peut être décomposé en un nombre fini de liens partiels dont cliacun est défini par des formules telles que
y=J[x), 3Co<a-<.ri ou
.r = cp(j'), Jo^v<y,,
f -1' ct'^fj désignant des fonctions continues dans les intervalles considérés.
Considérons un point M appartenant à lun des liens partiels et qui n'en soit ni l'origine ni l'extrémité; on pourra mener par ce point un vecteur parallèle à l'un ou l'autre des axes qui traverse ce lien partiel : il n'aura pas, avec celui-ci, d'autre point commun que le point M : s'il est assez petit, plus petit par exemple que la
(') Noir la note du n" 295.
200 IMROrUT.TION \ I A TIIKORIF. FIRS FONCTIONS
distance du point M an\ anlics liens partiels, il n'aura aucun point commun avec ces liens partiels: il n'aura jias d'autre point commun avec le lien fermé T que le jioint M. Ce lien T jouit donc n" 296 de la propriété suivante : aux environs de chaque point du lien fermé, il v a des points dont les ordres, relatifs à ce lien, dinèrent d'une unité. Gomme tous les points qu'on peut relier à un point fixe sans rencontrer le lien fermé constituent un continuum, on voit que ce lien sépare le plan en deux continnmns, au moins.
Soit G nm continuum. Considérons le lien \ , défini parles formules
je désignerai par Ko et Ivi l'origine et l'extrémité de ce lien; les abscisses des points ko et Kj sont respectivement Xq et Xi. Je suppose que ce lien appartienne tout entier au continuum G), sauf peut-être les points Ko. Ki qui peuvent appartenir à la frontière de G . On va montrer que l'ensemble G' des points cjui appartiennent à G sans appartenir à X constitue au plus deux continuums et que G constitue un seul continuum lorsque Ko et Kl ne sont pas tous les deux sur la frontière de G .
L'ensemble G' satisfait évidemment à la première des conditions du n" 298, imposées à tout continuum :
Je dirai d'un point A de G' qu'il est au-dessus ou au-dessous de (X s'il satisfait aux doux conditions suivantes :
1° Son abscisse a appartient à l'intervalle Xo, X\ ; elle est toutefois dilTérente de Xo si Ko appartient à la frontière de G, de x', si K, appartient à cette frontière.
2° Tous les points du vecteur dont l'origine est le point [a, /"a)] et dont l'extrémité est A appartiennent à G .
Dans ces conditions, A est au-dessus on au-dessous de TX' suivant que son ordonnée est plus grande ou plus petite que/ a .
Lorsque tous les points de fX) appartiennent à G), il y a des points au-dessus et au-dessous de ^X\ dont l'abscisse est n'importe quel nombre ap[)artenant à l'intervalle Xo, oci ,.
Deux points \, A' de G situés tous deux au-dessus de (X), ou tous deux au-dessous, peuvent être reliés par un lien intérieur à ^C) et ne rencontrant pas X ,.
ClIAlMTIli; IX.
i.AN(;A(;r cKOMiiritioi k
Soient en ellet '/ et <i (i >. a; les abscisses des points \, \' que je supposerai au-dessus de : V . Soient \,, \', les points de X dont les abscisses sont n cl a' . (îhoissons le nombre posilil a plus petit que la distance à la frontière de C^ du lien d(Mmi j);ir les formules
lien qui, par hypothèse, a[ipartient tout entier à C , et doni loiigine et l'extrémité sont les points \,, \\. On est certain qu'aucun point du lien L défini par les formules
n'appartient à la fronlière de C ; d'ailleurs le lien '^L n'a évidemment aucun j)oint commun avec X ; soient A.> et A^ son origine et son extrémité. D'après la façon dont on a choisi a. il ne peut y avoir aucun point de la frontière sur le vecteur AiAj, non plus ([ue sur le vecteur A,' A^ ; ces vecteurs sont intérieurs à G ; il en est de même par hypothèse, des vecteurs Ai\, A,'A' et, par conséquent, des vecteurs A^A, AI A' : on peut aller, sans atteindre la frontière, de A à Ao par le vecteur AAo, de Ao à A.' par le lien (L,, de k', à A' par le vecteur A^' A' ; on est parti
d'un point de C . on est resté dans C . D'ailleurs le chemin décrit n'a manifestement aucun point commun à X .
Examinons le cas où l'extrémité Ki de X n'est pas sur la fronlière de (C . Si de ce j)oint K, comme cenire. avec un ravon inférieur à la distance de ki à cette fronlière, on décrit un cercle, tous les points qui appartiennent à ce cercle appartiendroni évidemment à G ; la parallèle à l'axe des y menée par son centre partage le cercle en deux demi-cercles et le rencontre en deux points K,', }\'[ situés, l'un au-dessous de X , l'autre au-dessus; le premier K,' peut être relié, par un lien inicrieur à G et n'atteignant pas X , à n'importe quel point de G situé au-dessous
Fi-. M.
202 INTlmitl CTU»> A I.A TlIKOlUi: DKS l'ItX.TKOS
de X : lie même kj. à tout j»oint silur au-dessus. Le demicercle silué à droite du diamèlre K, KJ' relie d'ailleurs k,' à kl'. Donc, dans ce cas. deux points de C . situés lun au-dessus de fX), l'autre au-dessous, peuvent être reliés par un lien intérieur à C) et n'atteiirnanl pas \ . 11 est clair aussi cpic tout jioiiit ''autre que ki silué à l'inlérieur du demi-cercle de droite, sur ce demicercle, ou son diamètre, peut être relié de même auv points de C) situés au-dessus ou au-dessous de X . Des conclusions toutes pareilles concerneraient le cas oi^i k,, n'appartiendrait pas à la frontière de C .
Reprenons le cas général. X est intérieur à ('C , sauf peut-être les points extrêmes ko, ki qui peuvent être sur la frontière.
Soient A, B deux points fixes, arbitrairement choisis dans (C), l'un au-dessus de (X , l'autre au-dessous. Soit P un point quelconque de C , non situé sur X' ; je dis qu'il peut être relié à l'un des points A, B par un lien intérieur à C;, qui n'atteigne pas (X .
Puisque P et A appartiennent au continuum C , il y a im lien (T , intérieur à C , défini par des formules telles que
qui relie P à A ; je suppose que le point P est l'origine du lien et correspond ainsi à la valeur /o du paramètre.
Si T n'a pas de point commun avec X), la proposition est vérifiée. Supposons que T atteigne \j ; il peut l'atteindre une infinité de fois, mais \m raisonnement qui a été souvent employé, prouve l'existence d'un nombre //( appartenant à l'intervalle 7o, /,), qui est la [)lus petite valeur de t pour laquelle on obtienne un point M de ï qui soit sur X . Le lien partiel T' défini par les lor mules
est intérieur à G et n'a pas d'autre point sur i X que son extrémité M. L'abscisse y. de M appartient à l'intervalle 'xo, œ, ; d'ailleurs, puisque M appartient à C . u. ne peut être égal à Xo que si ifco n'est pas sur la frontière de C , a, ne peut être égal à Xi que si Kl n'est pas sur la même frontière.
( iiAi'iTiîi: i\. — I \N<iA«.r. <ri.HMr.ritiMi F.
Siipiinsniis d'.ihorcl a\,< a<a;,. Décrivons nn cercle ^lu point M cûMiine cenlre. avec un ra\on inférieur à .r, — u., à v. — a-o et à la dislance de M à la frontière de C : tous les points intérieurs à ce cercle et non situés sur \ sont au-dessus, ou au-dessous, de X ; il en est ainsi pour n'importe cpiel point M de 'T' , autre rpie M. et situé .\ l'intérieur du cercle ; on peut aller de P à M' puis de M' à A ou à B. suivant que M' est au-dessus ou au-dessous de \ , par un lien intérieur à C et n'atleij.'nant pas \).
Fig. ,2.
Supposons que l'on ait ij. = Xi ; le raisonnement serait le même si l'on avait a = jC(,. Le point M coïncide avec K, ; je rappelle qu'il n'est pas sur la frontière; on prendra alors le point M' du lien T'; arbitrairement dans le cercle décrit de K, comme cenlre avec un ravon moindre que .'i — x^ el que la distance de K, à la frontière de C) ; ce cercle est divisé en deux par la droite x = X\. Si M' est dans le donii-cercle de gauche, il sera forcément au-dessus de X ou au-dessous et le raisonnement |)récédent s'appliquera. Si M'est sur le demi cercle de droite ou sur le diamètre x ^^ Xi, on pourra le rejoindre tant au point A qu'au point li, sans sortir de C et sans rencontrer X .
En résumé, l'ensemble des points P intérieurs à C et non situés sur X constitue au plus deux continuumsdont l'un est l'ensemble du point A et de tous les points de C qui peuvent être reliés à A sans sortir de C et sans atteindre X , dont l'autre e^t l'ensemble du point B el de tous les points de G qui peuvent être reliés à B sans sortir de C et sans atteindre \ . Ces deux ensend)les peuvent ne pas être distincts et ne former qu'un continuum ; il en sera ainsi quand l'vm des points Ko, Ki n'est pas sur la frontière de C .
20A INTUODICTION A I. A THKOIUE 1»ES 10N(,TI()>S
11 en est encore ainsi loutes les fois que les deux ensembles ont un point commun. I.orsquon dira qu'en supprimant de C les points de ^\ qui ai)i)arliennent à C il reste deux conlinuunis. il faudra entendre que ces deux conlinuunis sont tlistincts. qu'ils n'ont pas de point commun: en d'aulres termes qu'ils sont extérieurs l'un à l'autre.
La frontière du continuum C' , ou les frontières des deux conlinuunis dans lesquels se décompose C , sont évidemment formées par les points de X) et les points de la frontière de C . Dans le second cas, \ est une frontière commune, puisque les points situés au-dessus de X appartiennent à l'un des continuums et que les points situés au-dessous appartiennent à l'autre.
Il est manifeste que les conclusions seraient les mêmes si le lien \ , au lieu d'être défini par les formules
y=f{x), .ro<a?<a:i
était défini i)ar des formules telles que
^ =f [y) ' Jo ^ y ^ V 1 .
J'aurai souvent à ])arler de liens définis par des formules telles que les précédentes, d'une sorte ou de l'autre: je les désignerai sous le nom de liens élémentaires du type Jb et je désignerai sous le nom de lien du type .i un lien simple, ouvert ou fermé, qui puisse se décomposer en une suite limitée de liens élémentaires du type ,1». L'extrémité de chacun de ces liens élémentaires coïncide avec l'origine du lien élémentaire suivant; si le lien est fermé, l'extrémilé du dernier lien élémentaire coïncide avec l'origine du premier lien élémentaire ; deux des liens élémentaires n'ont pas de points communs, en dehors de ceux qu'on vient de spécifier ; cela résulte de ce que, par hypothèse, le lien total, ouvert ou fermé, est simple.
Un point ordinaire d'un lien du type À) est un point qui n'est ni l'origine ni l'extrémité d'un des liens élémentaires qui le composent, en sorte qu'on puisse sûrement mener par ce point un vecteur, parallèle à l'un des axes, que le lien traverse n" 296 . Pour qu'un lien défini par les formules
(Il \i'i I i\i: i\. — i.A.Mi.vi.i: <.i;oMi:iui<,i( i; uuS
suit composé d'un nombre Uni de liens élcnienlaircs du lype.l, il Tant et il sullit qne l'intervalle a, ^j puisse être décomposé en un nombre lini d'inlct\ ailes pailiels tels que dans chacun l'une au moins des Ibnctions g ^t , h f soit ou croissante ou décroissante.
La condition est suffisante; si, en elTet, dans l'intervalle (a', ^' la fonction g{t\ par exemple, est croissante, l'équation x= g'I définira / comme imc fonction continue et croissante de x dans l'intervalle [7 a' , 7 [J \ et la formule y = 1i[l) achèvera de définir V conune une l'onction continue de x dans le même intervalle.
En se rept»rtant aux u"' 168 et 169 le lecteur reconnaîtra sans peine que la condition est nécessaire.
307. — Considérons un lien du type Jb et soient (Xj), (oX),..., ;^X„ la suite des liens élémentaires du type .V qui le composent. Je supposerai d'abord (jue le lien soit ouvert.
Le plan constitue un contimium sans frontière. Quand on en supprime les points de \i), il reste un continuum (Ci), dont la frontière -€st (Xi\ Si, de ce nouveau continuum, on supprime les points de fXo) dont l'origine, mais non l'extrémité, appartient à la frontière de ;Ci\ on aura un nouveau continuum Cj , dont la frontière sera l'eiisendjle des points qui appartiennent à (X|~, et à (X2 ; en supprimant ensuite, successivement, les [)oinls de ^Xs),..., de {X„\ on parviendra à un contiiuuuii C„ , dont la frontière sera le lien considéré. Tout point du plan qui n'est pas sur ce lien appartient an continuum.
Supposons maintenant que le lien soit fermé : c'est alors, puisqu'il est simple, que l'exlrémilé de X„ comcide avec l'origine de Xi. En supprimant du continuum C„ ,, dont la frontière est
formée des points de X, , \o X„i , les points de X„ , dont
l'origine et re\tivniil<^ appartiennent à la frontière de (C„i\ ou [)cut former au plus deux continuums. On en forme effectivement deux : considérons en elfet un vecteur AB qui soit traversé par le lien en un point M et qui soit assez petit pour n'avoir aucun autre point commun avec le lien fermé que le point M ; supposons que ce lien soit parcouru dans \\\\ certain sens; les points A et B, dont les ordres |)ar rapport au lien lernié dilTèrenl d'une unité, ne peuvent a|)parlenii' au même conlinuuni. I/un des continuums s'étend à riiilini : l'ordic Ac^ |toinls à rinliiii étant nul, il en est de
206 IMllODUCTIO.N A LA TIIKOUIF. l»i:S lO.NC.TIO.NS
même de l'orclrc d'un point quelconque du continiuini ; ce conlinuum est dit extérieur au lien fermé; raulre conlinnuni sera dit intérieur.
En disant d'un poinl, d'un eusend)l(' de points, ([u'ils sont intérieurs au lien lermé, on entend que ce point, que tous les points de cet ensemble, appartiennent au oonliiuuim intérieur au lien : de même, si tous les points d'un ensemble appartiennent au continuum extérieur au lien, on dira que cet ensemble est extérieur au lien.
Supposons que le point  soit intérieur et que le point B soit extérieur au lien : l'ordre du point B sera nul; l'ordre de A est -(- I ou — 1 suivant que le vecteur \B est traversé de droite à gauche ou de gauche à droite. Tous les points intérieurs ont le même ordre; par conséquent, tous les vecteurs analogues à AB, qui vont d'un point intérieur à un point extérieur et qui sont traversés par le lien sans avoir plus d'un point commun avec lui sont traversés de la même façon, de droite à gauche, par exemple, si l'ordre des points intérieurs est -+- i ; on dit dans ce cas que le lien est parcouru dans le sens direct; il serait parcouru dans le sens indirect si l'ordre des points intérieurs était — i, si tous les vecteurs analogues à AB étaient traversés de gauche à droite.
Rappelons enfin qu'on ne peut passer par un lien continu d'un point du continuum intérieur à un point du continuum extérieur sans rencontrer leur frontière commime n" 291 .
308. — lleprenons la démonstration du théorème fondamental en partant, non plus du plan, mais d'un continuum C\ dont je désignerai la frontière par F .
Dans le présent numéro F'; désignera fin lien simple, ouvert ou fermé, du l\pe^li, dont aucun point ne sera extérieur à l'Cj, qui pourra être tout entier intérieur à C , qui pourra avoir un point et un seul situé sur F , ou même comprendre un lien partiel dont tous les points appartiennent à F . tous les autres points étant intérieurs à C . On exclut la supposition oii F'^ aurait deux points distincts A, B situés sur F^ et tels qu'on ne puisse pas aller de l'un à l'autre par un lien qui fasse partie à la fois de (F') et de F . On exclut aussi la supposition où tous les points de F') appartiendraient à F^ : ainsi, il doit y avoir quelque lien élémen-
(IIAITIIIK IX. • I.AXi.Vfil': t.KoMKllllOlK 2O7
laite ilii type A< qui l'ail pailic de I'" «-l qui csl iiilérieiir à C : 011 peiil donc inenei' un |)elil \( rieur iiitéiieur à (1 (jiii suit Uaversé par F .
Ceci posé, la nièuic dénionslration (pie dans le cas du [Aan. montre que l'enseudjle des points de C qui restent après la suppression des points de F qui appartiennent à C et non à sa l'ronlière constitue un ou deux continuums.
Quand le lien h est ouvert, il resle un seul conliniuini dont la frontière se compose évideniinent des points de F et de V'j. Si, par exemple C est le voisina^^e \ f} du lien ouvert F' , il ne reste qu'un oonlinuum quand on suppriiue de \ r) les points de F) : on peut donc relier par une ligne brisée qui n'atteint pas (F'y et dont tous les points sont à une distance de F', moindre que r) deux points quelconques non situés sur F'y et à une dislance de F' moindre que 6'.
Supposons maintenant, en revenant au cas d'un conliuuuni quelconque C,, que ^F'^ soit fermé. 11 suilit de considérer un petit vecteur AB, intérieur à (G), traversé en M par F et n'ayant pas d'autre point commun avec (¥') que M, pour reconnaître que les deux points A, B dont le premier est extérieur et le second intérieur à F , ne peuvent appartenir à un mèmeconllnuum, quand on a supprimé de G les points de I'' qui a[)parliennent a G . Après celte supression, il resle deux continuums dont l'un Gj est l'ensemble des points [tous extérieurs à F' j que l'on peut relier à A par un lien intérieur à G qui n'atteint pas , F' , dont l'autre G,' est l'ensemble des points [tous intérieurs à F',] que l'on peut relier à B de la même facjon. ;G,y est l'ensemble des points de G qui sont extérieurs à F';, (C,'"' est l'ensemble des [)oinls de G qui sont intérieurs à F'\ Tout point de F'^ intérieur à G est un point de la IVonlière de G, et de la frontière de iC,") ; cela est clair s'il s'a^iit dun point ordinaire de I*' et, puisqu'une frontière est un ensemble clos, cela reste vrai pour les points, en nombre Uni, où se raccordent deux liens élémentaires, puisque ces points peuvent être regardés comme des points d'accunmlation de l'ensemble des points ordinaires. Les points de J^\ sont des points frontières, soil pour G, , soit pour G[ . Inversement, loul point frontière de G, , ou de G, , appartient soit à (¥j, soil à (F'}.
2o8 i>ruoi»i;t.Tio> a i.a hikokif, kes ko.m:tio.>s
Si. par exemple, C est le vuisiiiaiic V r) Ju Hen fermé F'), et si l'on supprime de ce voisinage les points de (F'j, il restera deux coutinuums, dont l'un sera inlérieur à I' el l'autre extérieur.
Revenons au cas général. Le lien fermé i^F'), qui sépare (C) en deux continuums (C,) et (Ci'), sépare aussi le plan en deux continuums dont l'un (G) est l'ensemble des points du plan qui sont intérieurs à ^F' i ; le continuum G contient donc G,'; ; pour qu'il lui soit identique, il faut et il sullit qu'aucun point de (F) ne soit intérieur à (F') ; cette condition, évidemment nécessaire, est suffisante. Si, en elTet, on la suppose vérifiée, G' est contenu dans (C) ou est extérieur à (G) fn" 300) ; or la seconde supposition est inadmissible puisqu'il y a des |Doints de G intérieurs à (G ) ; un point de (G'y appartenant à (G} et étant intérieur à (F') appartient nécessairement à (G,) : les deux continuums (G'j et (G') sont identiques. Dans ce cas, la frontière de (G,') est évidemment (F), la frontière de G,) se compose de F' et de (F'), lorsque (F) et (F') n'ont pas de point commun ou ont un point commun et un seul.
Au lieu du lien T'y assujetti aux conditions énumérées plus haut, considérons un lien fermé \^ , du type .fb, dont un point soit intérieur à C^ et qui ne contienne à son intérieur aucun point de (F). On reconnaîtra sans peine, comme tout à l'heure, que l'ensemble des points de (G; qui sont intérieurs à (0) est identique au continuum intérieur à (I>i, c'est à-dire à l'ensemble des points du plan qui sont intérieurs à A^ . Les points de (<I>) sont ou des points de G}, ou des points de F .
Reprenons le continuum (G, : considérons maintenant n liens fermés F'), T". ..., [F*"'|, du type A,, tous intérieurs à (G^ et, par conséquent, sans point commun à la frontière (F) de (C) ; supposons en outre que les n liens fF'), (F"), ..., [F^"'] soient extérieurs deux à deux les uns aux autres. Dans ces conditions, l'ensemble des points inférieurs à G; et extérieurs à T' , (F"), ..., [F*"'] constitue un continuum G„ , comme on le voit en procédant de proche en proche : l'ensemble des points intérieurs à G; et extérieurs à F'; constitue un continuum G, : l'ensemble des points intérieurs à 'G,) et extérieurs à (F") constitue un continuum (Gj que l'on peut tout aussi bien définir comme l'ensemble des points intérieurs à G et extérieurs à la fois à F'^ et à F") ; etc
(lui'iTnr. i\. — LvxiAtiF, r.Ko.MKxnioi K 209
Si aucun [)oinl de F n'est intérieur à 1" ' , I'' , .... jl""], on peut dire que ces n derniers liens décomposent C en /i -1- i continuuuis : à savoir, les /i continuums C , G' , ..., [C''"J respecliveincnl intt'ricurs à ( F'\ F" , ..., |F""j et le continuum C„) ; la frontière de ce dernier continuum se compose de la frontière
V de C et des liens (F'), (F";, ..., [F'"»]. Tout point de C qui n'ai)parficnt à aucun des liens fF'), 'W), ..., jF'"'| appartient à l'un des n -i- ! continuums et à un seul. Deux points de C„; peuvent être reliés par un lien (une ligne brisée, si l'on veut qui soit tout entier intérieur à C„} ; cela rc\icnt à dire que deux points quelconques du continuum C . extérieurs aux liens fermés
F' , F' , ..., [F*"'| peuvent être reliés par un lien intérieur à ^C et n'ayantaucun point commun avec les liens fF'), CF"). ..., [F*"*]. Il nous sera commode, un peu plus tard, d'avoir l'ait cette remarque évidente.
309. — Soient T} et (F'^ deux liens fermés du type .1 qui n'ont aucun point commun, ou qui n'ont qu'im point commun, ou encore qui ont un lien partiel commun, mais sans aucun point commun en dehors de ce lien partiel ; soient G et T^ les continuums intérieur et extérieur à F^ ; soient G' et F' les continuums intérieur et extérieur à F' .
Remarquons d'ahord que, en vertu &e^ suppositions, chacun des liens 'F), (F'), en faisant abstraction des points communs, s'il y en a, est tout entier dans le continuum intérieur ou tout entier dans le continuum extérieur à l'autre. Plaçons-nous, en elTet, dans le cas où (F), i F'y ont un lien partiel commim. La partie du lien F' , par exemple, autre que ce lien partiel commun, ne peut pas contenir à la fois un point intérieur à F et un point extérieur à F sans contenir un point de F~, contrairement à l'hypothèse.
Les points de I' . non situés sur F . sont donc tous intérieurs à F . ou U)U<- extérieurs à V ' . Dès lors, les propositions établies au n" 308 s'a[)pliquent immédiatement.
L Plaçons-nous d'abord dans le cas où les points de I" non situés sur F sont tous intérieurs à F . Il est aise de voir que les
>\ Si tous les points de (F') appartenaient à (F^, les deux liens ;^F'), (Fj coïncideraient, ainsi que les continuums C et (C), (F) et (F'].
Ta^.xeby 11. — Introduction à la Théorie des fonctions 14
210 I.NTI'.ODK.TIO.N A I.A TIlEollII- IiKS I-ONCTIO.NS
continimnis T et ^C sont exlérieurs l'un à l'autre et sont rcspcctivenienl inléiieurs à [V) et à Ci.
En elTct, puisque iT) ne contient aucun point de T . frontière de C romnie de P , F est extérieur à (C) ou contenu dans {C' ; il est extérieur à [V ou contenu dans T'). Or, [V) ne peut être contenu dans C; dont tous les points sont à distance finie ; il ne peut être extérieur à F , puisque (F) et ^F') ont des points communs, à savoir les points très éloignés : (F est donc extérieur à ;^C') et intérieur à F' ; au surplus, ces deux allirmations sont équivalentes. G étant extérieur à F, est forcément contenu dans (C .
Par des considérations analogues, et sans aucune peine, le lecteur établira les conclusions relatives au second cas, que je me contente d'énoncer.
II. Lorsque les points de F'j non situés sur ; F^ sont tous exlérieurs à 1^' , deux sous-cas sont possibles.
i" F') et , C sont extérieurs l'un à l'autre et sont respectivement intérieurs à F et à C . Ce cas n'est pas réellement distinct du cas I : seulement le rôle des lettres accentuées et des lettres non accentuées est interverti.
2" iT] contient [C'., F' contient 'C) ; ^C) et (C) sont extérieurs l'un à l'autre.
Que les deux cas puissent se présenter elïectiveiuent, il suilil pour s'en assurer de penser au cas où F) et (F') sont deux cercles.
Remarquons encore que si l'on supprime du plan les points de F et de F' , il reste trois conlinuums.
Dans le cas I, ces trois conlinuums sont : le conlinuum 'C j, de frontière ^F ) ; le continuura F , de frontière (F); un continuum intérieur à C est extérieur à (C), qui n'est autre que le continuum C)^ ensemble des points de ^C; qui sont extérieurs à (¥') ; sa frontière, lorsque (F'^ est tout entier intérieur à (C, se compose des liens (F;, (F'j. Les circonstances sont analogues quand on se place dans le sous-cas i° du cas IL Enfin dans le sous-cas -2" du même cas II, les trois continuums sont le contiiumm (1 , le conlinuum ^C et le continuum ensemble des points extérieurs à la fois à F et à T' , dont ces deux liens constituent la frontière.
(.iiM'iTi'.r. i\. — iwcAcr: CKOMKTninrF: ;)ii
310. — Je v.iis luainlenant éluclier la ligure formée pai le lien Icrmr h' . du tvpe A, et par un lien simple f'T) du type A,, qui joint ' deux points Ko, Ki de F et n'a aucun point comninn avec F en dcliois des points Ko et Ki. Je désignerai par T' l'enserablc des points du lien T autres que Ko el Ki ; T' est tout entier intérieur soit au continumn C intérieur à F , soit au continuum T extérieur à F .
Les deux points Ko, Ki partagent ^F en deux liens partiels que je désignerai par $') el [^''). (^') et (T^ d'une part, <!>" et ï d'autre part, forment des liens fermés du type â> que je désignerai par F' el (F' . Soient enfin G ) et G" les continuums intérieurs à ces liens, T'^' et T*" les continuums extérieurs. Plaçons-nous d'abord dans le ras où T est tout entier intérieur à TC ; . D'après ce que l'on a dit au n" 309. les continuums G' et (G" sont intérieurs à ; F ; aucun de ces continuums ne contient de point appartenant à la frontière de l'autre ; il faut donc qu'ils soient extérieurs l'un à l'autre ou qu'ils soient identiques (n" 300 : cette dernière alternative doit être rejetée puisque les deux continuums n'ont pas la même frontière. D'autre part, quand on supprime de (G les points de (F') qui appartiennent à G , c'est-à-dire les points de (T'^, il reste deux continuums dont l'un est G' ; en regardant T comme appartenant à F' , on voit qu'en supprimant T')
Cj Si l'on considère un point K. de la frontière d'un conlimiura, il n'est pas évident qu'on puisse le relier à un point quelconque du continuum par un l>en intérieur au conlinnuni, sauf son origine K. ". cela, toutefois, résulte immédialcment de la déCnilion d'un continuunx, si Je point K peut être regardé comme l'origine d'un petit vecteur appartenant au continuum, sauf le point K lui-même. Si, en particulier, la frontière comporte un lien élémentaire du type J[i, tel que les vecteurs suffisamment petits et parallèles ù l'axe des V, |)ar exemple, cpii sont traversés par ce lien sont ainsi divisés en deux parties dont l'une est intérieure au continuum, tous les points du lien élémcnlaire, sauf peut-être son origine el son extrémité jouiront de la propriété considérée. Tout les points ordinaires d'uTi lien fermé F du type A' jouissent de œttc propriélé. Deux de ces points peuvent être reliés par une ligne brisée qui soit, sauf son origine et son extrémité, tout entière intérieure à F ou tout entière extérieure.
INTRODUCTION A LA TIlKOniK DES I-ONCTIO.NS
de (C), il doit rester deux continuuiiis dont l'un a^l C") : Puisque les douv conliinunns G' et X ' sont distincts, il faut bien que les deux continuums qui subsistent lorsqu'on supprime "1" du continuum ^^C soient précisément C et ^C"..
Un point du plan qui n'appartient ni à ^Fy ni à T peut n'appartenir à aucun des trois continuums (G), (G'}, (G") ; il a})partient alors au continuum F' extérieur à (F) ; s'il appartient à l'un des trois continuums, il appartient à deux et à deux seulement.
En pensant à un petit vecteur traversé soit par f$' , soit par (<!';, soit par (T'}, on reconnaît immédiatement la vérité de la proposisilion suivante :
Un mobile qui décrit successivement les liens fermés (F'), (F") dans le sens direct, se trouve avoir décrit le lien F^ dans le sens direct et, en plus, le lien ouvert (T) deux fois, mie fois dans un sens, une fois dans le sens opposé.
Fig. iG.
Supposons maintenant que (T') soit extérieur à [C) : puisque G^ ne contient aucun point de ^F'\ C^ est intérieur à (G) ou extérieur à G' . Les deux cas peuvent d'ailleurs se présenter.
Les frontières des deux continuums [C] et (G'^ ont en commun le lien ,^^>'y : si le premier continuum est intérieur au second, le reste <ï>" de sa frontière est aussi intérieur à G'^ , sauf les points Ko et Kl, en sorte qu'on est ramené au cas que l'on vient d'examiner, si ce n'est que (F') remplace (F) et que {$") remplace (T) : le lien (4>"y partage (G') en deux continuums (G) et (C").
Si ^G) est extérieur à (G'}, on est dans le cas, examiné au n" 301. de deux continuums, extérieurs l'un à l'autre, qui ont une portion de frontière commune et dont la réunion par la suppression de la frontière commune^, constitue le continuum (G'); sauf la
(.ii.vi'iTiu-; i\. — la>(;.u;k (;i';(»Mi;TrunL'i' tii3
(lill«'rcncc des noialion?, c'est encore la lijifiiie examinée en premier lieu.
\u surplus, cc^ di\ers rcsullats se lirent sans peine de la proposition du n" 297 : les trois liens fermés F , F' , 'F" sont constitués en prenant deux des liens <I>' , (<!>";, (T) qui joignent K,, cl Kl : on peut toujours s'arranger, en choisissant convenablement les sens de parcours, pour que la somme des ordres d'un point quelconque par rapport à 1' . F'\ F") soit nulle : on en conclut fju'un point doit être extérieur aux trois liens ou à un seul de ces trois liens, etc.
311. — On a souvent à considérer des liens composés de liens élémentaires du type .1) et formés d'un lien simple ouvert AB et d'un lien fermé simple passant par le point B et auquel le lien AB est extérieur, sauf le point B. Je désignerai un tel lien sous le nom de laccl, le lien simple \B étant la iitje et la courbe fermée la boucle du lacet. Saul" dans le cas où la lige n'existe pas, parce que les points A et li sont confondus, un lacet n'est pas un lien du type X puisque ce n'est pas un lien simple. Décrire le lacet, c'est °' ''
décrire d'abord la lige AB, en allant de l'origine \ vers l'extrémité B, puis la boucle, puis la tige de B vers \. Suivant qu'on a décrit la boucle dans le sens direct ou dans le sens indirect, on dira qu'on a décrit le lacet dans le sens direct ou dans le sens indirect.
Un point qui n'appartient pas au lacet lui est intérieur ou extérieur suivant qu'il est intérieur ou extérieur à la boucle.
Si on considère un conlinuum C cl un lacet dont tous les points appartiennent au continuum, sauf peut-être l'origine qui peut appartenir à la frontière, et qu'on supprime de ''C tous les points du lacet sauf l'origine lorsqu'elle ap[)artient à la frontière . il restera deux continuums. En elVet, quand on supprime la tige (sauf peut-être l'origine,, il reste un continuum C ; on est alors ramené au cas où l'on supprime d'un continuum les points d'un lien fermé simple la boucle qui a \\n point commun l'extrémité de la tige avec la frontière. L'un des deux continuums est intérieur à la boucle, et l'autre extérieui-. Le premier se confond avec l'en-
214 INTRODUCTION A LA TllEOUlK IiKS FONCTIONS
semble des points du plan intérieurs à la boucle si celle-ci ne contient à son intérieur aucun point de la frontière de (C).
312. — Considérons un lien fermé F . du type Jh, le continuum C intérieur à ce lien fermé et, comme à la fin du n" 308, Il liens fermes 'F'), (F" ,..., [F'"'], du type .i, tous intérieurs à F) et dont cbacun est extérieur aux autres; Le continuum {G„), ensemble des points de (C) qui sont extérieurs à (F'), (F*),... [F*"'], a pour frontière les liens (F;, '¥'), (F"),..., [F*"'] ; pour abréger, je désignerai cette frontière par (H). Un mobile qui parcourt F) dans le sens direct et (F'}, (F"),..., [F'"*], dans le sens indirect traverse de droite à gauche les vecteurs qui vont de l'intérieur de C,,' à Textérieur et cela sur quelque partie de la frontière que se trouve le mobile; pour cette raison, il convient de dire que le mobile considéré parcourt la frontière (H) dans le sens direct.
Je désignerai sous le nom d'ordre d'un point non situé sur H), par rapport à H , la somme des ordres de ce point par rapport aux liens fF), (F'),... [F<"'] parcourus dans le sens qu'on vient de dire. Il est clair que l'ordre, par rapport à (H), d'un point extérieur à ^C et, par conséquent aux /i + i liens (F), (F'),..., [F*"'] est nul, puisque Tordre de ce point par rapport à chacun de ces liens est nul ; l'ordre par rapport à H d'un point intérieur à (F') est encore nul, car il est la somme de Tordre par rapport à (F) qui est égal à + i , de Tordre par rapport à (F'^ qui est égal à — i , des ordres par rapport à (F^, (F*^,..., [F^"^] qui sont tous nuls; on voit de même que Tordre par rapport à (H) d'un point intérieur ù ;'C„ est égal à i. On voit donc qu'en prenant les ordres par rapport à II), les choses se passent comme pour un lien fermé du type Jl : les points extérieurs à Ch) ont un ordre nul, qu'ils soient d'ailleurs extérieurs à 'F] ou intérieurs à l'un des liens 'F'\ F";,..., [F'"'] ; les points intérieurs à (C„} ont un ordre égal à I .
Je veux maintenant montrer qu'on peut décomposer le continuum ^Cn en deux continuums, dont chacun est le continuum intérieur à un lien fermé du type Jb, et cela au moyen de n -f- r liens du type A>, dont chacun, isolé des autres, est tout entier intérieur à C,,', sauf son origine et son extrémité (*), le premier
('j La figure est faite en supposant h = a.
ciiU'iTUi; ix, — LA.N»;\»;i: <;KOMETUiyLii 21 j
y.a ira il un point a do F à un point a' de F , le second jS'a" d'un point ^'3 de F^ à uu point a de ^F'j,..., le dernier fj^"^[l, d'un point .j"" de F^<"* ù un j)oint ^'3 de 'F). Les points a, a', |^',..., ^ peuvent être pris arbitrairement sur les liens auxquels ils doivent appartenir, pourvu que ce soient des points ordinaires et que les deux points qui aj)partiennent à un même lien soient distincts.
Cbacun des liens l'ormcs V , F ;, F .... est ainsi décomposé en deux liens partiels par le couple de points situés sur lui. Aûn de distinguer ces doux liens partiels, imaginons que chaque lien fermé soit parcouru comme on l'a expliqué plus haut, en sorte que 11^ soit parcouru dans le sens direct; soient <I>^ et <P, les deux parties de F que le mobile parcourt .la première de a à ^3, la seconde de ^3 a a ; soient de même '^') et i^[ les deux parties
de F' que le mobile parcourt, la [)remière de y.' à ^>', la seconde de jS à a' ; etc.
J'arrive à la démonstration qui montrera comment on satisfait aux diverses conditions imposées, une fois qu'on a choisi les points a, a',..., ^j comme on l'a expliqué.
Pailons du continuum C . 11 résulte d'abord des conditions imposées aux points a, y.'. ['J , ..., [j et de la remarque faite à la fin du n ' 309 que l'on peut mener un lien de a à a qui soit tout entier, sauf son origine a, intérieur à C^, qui n'ait pas de point commun avec F' , sauf a', qui, enfin, n'ait aucun point commun avec F"), •¥'"), ..., [F""] ; le lien aa' peut être i-egardé comme la tige d'un lacet L') dont la boucle serait F' ; l'ensemble des |MjlnLs de G qui sont extérieurs à L constitue un continuum
ai6 IMlUmi C.TKI.N A I.A Tiii;(»iur. HKS IONC.TIO.NS
G') dont la iVonlic'tc ol formée de Fi et de L' : les liens F"), ''F'"\ ..., [F<"*] sont intérieurs à G' ; on peut nienci- un lien de :> à a qui soit tout entier, sauf son origine f-j' , intérieur à G' , qui n'ait pas de point commun avec (F" sauf a", qui, enfin, n'ait aucun point commun avec F'";, ..., |F<"']. Le lien jj'a" peut être regardé comme la tige d'un lacet ^^L" dont la boucle serait le lien F : l'ensemble des points de G' qui sont extérieurs à F") constitue lui continuurn (V dont la frontière est formée de F) et des lacets ^L' , X";. On peut continuer ainsi; on parvient à un continuurn G„ , dont la frontière est formée de I'') et des lacets [L' , L^, ..., [L'"'J ; c'est l'ensemble des points de C qui sont extérieurs à ^F'\ (F";, ..., [F<"*| et qui ne sont pas sur les liens aa', jS'-a", fi"ryJ", ..., j5<"-'* a"" ; ou, si l'on préfère, l'ensemble des points de C„ qui ne sont pas sur ces derniers liens.
Jusqu'à présent, tout en modifiant à cbaque fois la frontière du continuum, on n'obtenait jamais qu'un conlinuum ; seulement, à cbaque fois, on diminuait le nombre de morceaux dont se composait la frontière, en sorte que maintenant cette frontière esl, comme on dit, d'un seul tenant ; pour la décrire, on peut, en partant par exemple du point a, décrire successivement 0) (^^^1)5 aa', <!)' , ,3'a". ..., [(J)'"»], [a><">], a(">j3*"-'>, ..., :(py , a'a; le lien formé ainsi n'est pas simple : cbacun des liens partiels a7.', p'a", ... que l'on a introduits est décrit deux fois, une fois dans un sens, une fois dans l'autre; le reste se compose de la frontière II du continuum G , décrite dans le sens direct. Si, maintenant, on mène un lien intérieur à G„ , sauf son origine et son extrémité, qui joigne JS» à ^'5, on a aclievé la décomposition : on va voir en effet que les points de (G„ qui n'appartiennent pas au lien ^„l^, forment deux continuums G^}, GJ', : le premier est le continuum intérieur au lien fermé du type A>, dont la frontière (IV] se compose des liens partiels
(4>), pp'"), [.}.;«'], a'"lp<"-»), ... {'P[), a'a;
le second est le continuum intérieur au lien fermé du t\pe .li, dont la frontière II' se compose des liens partiels
aa', (1>'), pV [<i^i"i\, ^'"ip. (4.,).
On voit d'aboid, comme au n" 310, que ces deux continuums
iiivr-iriu: i\. — lancack r;i:(»Mi:TUini i:
^'n,^ v^H ^'J"'' l*^'"^ cleii\ iiiléricurs à G„, et cxlciicnrs l'un à l'aulre. Il rcslc à montrer (jnc loni point clo G„) qui n'appartient [)as au lien fj""^ ou, ce qui revient au niènic, tout point de (G,,) qui n'ap[)arlient à aucun des liens aa , fj'y.\ ..., j';""|3 appartient soit à (G^ soit à G", . Gela résulte immédiatement de ce que l'ordre d'un point quelconque par rapport à II est la somme des ordres du niruic point [)ar rapport ;iu\ liens Termes (H'), (H"), le mouvement sur ces liens l'ermés correspondant à la succession des liens partiels qui les composent, tels qu'ils sont énumcrés plus haut : dans celte dernière somme, en elVet, se retrouvent toutes les parties qui constituent l'ordre [)ar rapport à II , et en outre des [)arties relatives aux liens partiels qui se détruisent manifestement. Gcci posé, si 1 on considère un point de ■C, , la somme de ces ordres par rapport à II , H") doit être égale à r ; ce qui suppose que l'un des deux ordres est i et l'autre o, c'est-à-dire que le point considéré est intérieur à l'un des liens, et extérieur à l'antre.
313. — On a vu au n" 310 cominonl, en parlant du conlinuum (C inléiieur a un lien fermé (F du tvpe A), on [)ouvait. au moyen d'un lien intérieur à ce conlinuum et joignant deux points de sa frontière, le décomposer en deux continuums intérieurs euxmêmes à deux liens fermés du type X: comment, en décrivant ces deux derniers liens dans le sens direct, on se trouvait avoir décrit la frontière du premier conlinuum dans le sens direct et le lien intérieur deux fois, dans des sens opposés. On peut décomposer delà même façon l'un ou l'autre des deux continuums partiels, ou tous les deux, el continuer de la même façon. En procédant ainsi, par dichotomie, on suhdivisera C en m continuums partiels c, , (\, , ..., c,„ ayant rcsj)cclivemcnt pour frontières des liens fermés y, , f.^, ..., • f,„ du In pe .1' . Les conlinnums (Cj), (c^), ..., ('■„,), tous intérieurs à G , sont extérieurs les uns aux autres. Tout point de G appartient soit à l'un des continuums c,\ c.^), ..., (fni , soit i'i la frontière d'un de ces continuums. Les liens fermés simples J\ , f, , ..., /„, ont des parties intérieures à G) qui a[>[)artiennent à la fois à deux frontières : rpielques-uns au moins ont des [)arlies sur (F .
Tout point de I'' apparlienl d'ailleurs à l'un des liens ''/,), (/j),
2lS I.MIIOULCTKO A L.V lUhOllIK l»F..S 1 l»CT10>S
..,, {/m 9 eu sorte que si. nu lieu des conlinuums C , fci^ , c.,,, ...^ €„i, on considère les conliauunis complétés par leur frontière (C) ■+- (F), (c,) H- /,), Ci! -+- /j), ..., :^Cm) -+- [fm, on peut dire que tout point appartenant an premier appartient à l'un au moins des m suivants, et que tout point qui appartient à l'un de ces m derniers appartient à C> Si l'on parcourt chacun des liens fi - fi f '••> fm, dans le sens direct, on se trouve avoir fmalement parcouru F une fois dans le sens direct et chacune des parties de (fij, f, •••, [fn qui appartiennent à C deux fois dans des sens opposés, en sorte que, si l'on considère un point qui n'appartienne à aucun des liens ^/, , f^ , ..., f,,,-^, et si l'on regarde tous ces liens et le lien F comme étant parcourus dans le sens direct, on peut affirmer que l'ordre de ce point par rapport à F) est la somme des ordres de ce point par rapport à /, ), /^ ; , . . ., (/»»)•
Tout cela apparaît clairement en procédant de proche en proche. On ne fait jamais qu'appliquer les propositions du n" SIO.
J'ai supposé qu'on parlait d'un continuum X intérieur à un lien fermé du type .l> ; on aurait pu aussi bien partir d'un continuum tel que le çpntinuum C„ du numéro précédent et de sa frontière H , composée de n -h i liens fermés du type Ja. On commencerait par décomposer ce continuum, au moyen de /i -h i liens du type .h, comme on l'a e\])liqué dans le numéro précédent ; le reste est évident.
Peut-on toujours, en poussant la décomposition assez loin, s'arranger pour que l'écart de chaque conlinuum c, , V, ' •••' S">j soit moindre qu'un nombre positif arbitrairement donné à l'avance? Que la réponse doive être affirmative, c'est ce qui ne parait guère douteux. La proposition n'est pas sans importance, à cause des conséquences qu'on en tire. On peut évidemment se borner au cas où il s'agit du continuum intérieur à un lien fermé du type Jk>. Pour rendre la démonstration aisée, je me bornerai à un cas un peu plus partÎCTilier.
314. — Je désignerai sous le nom de liens du type Jb' des liens simples ouvert.-^ ou fermés, composés d'un nombre fini de liens élémentaires, qui peuvent d'ailleurs appartenir à deux espèces différentes :
Les liens élémentaires de la première espèce, que j'appellerai
iiiAi'iruK IV. — LA.Nr.AfJK c.KOMtriuoi E 219
côléîj \ soiil siMipleinenl des segiucnls de ilroile pa^allèle^ à l axe des y. Les liens éléinenlaiies de la sccmide espèce, que j'ajuiellerai côlés (\) doivent [)ouvûir être délinis par des formules telles que
où/[x) est une fonction continue de x dans l'intervalle a, fj,.
Soit (F) un lien fermé du type Jo' et G^ le continuuni intérieur à ce lien.
Quand ou parlera des cotés d'un tel lien, on devra toujours entendre que ces C(jlés sont aussi étendus que possible : chaque côté (\) devra être borné au point le plus bas et au point le plus haut possible ; en d'autres termes, aucun côté (Y) ne peut être contigu à un autre côté (Y) ; de même deux liens partiels définis respectivement })ar les formules
doivent être regardés comme appartenant à un même côté (Xy. La sommet de (F) est un point où se réunissent un côté (Y; et un côté (X), ou deux côtés '\). D'après ce qu'on vient de dire, une parallèle à l'axe des y menée par un sommet où se réunissent deux, côtés fX) laisse ces deux côtés soit à sa droite, soit à sa gauche. Un côté est borné par deux sommets.
Les liens fermés simples ainsi constitués peusent ne contenir aucun côté ^Y), mais il est clair qu'ils contiennent au moins un côté X) ; on prévoit qu'ils en contiennent au moins deux ; c'est d'ailleurs ce qui va être éclairci.
Un côté (\) traverse la parallèle à l'axe des y menée par ses points ordinaires ; on convient de regarder la direction de ces parallèles comme étant la direction positive de l'axe des v. Soient M le point où une telle parallèle est traversée, P et Q Aeux points de la parallèle situés de part et d'autre de M, assez près pour qu'il n'y ait, en dehors de M, aucun point de (F) sur le segment PQ ; les ordres des points P, Q par rapport au lien ¥), parcouru dans le sens direct, diffèrent d'une unité ; l'un de ces points, P par exemple, appartiendra au coulinuuni G,, l'autre lui sera extérieur : tous les points du segment MP, autres que M, appartiendront alors à (G), et même tous les points de ce segment, prolongé au-delà de
•.!2o i>Tr.or»ir.Tio\ a la Tiii^oniE des i'Onctions
P. tant (ju on n'aura pas altcinl 'F . Comme les points à l'infini sur le prolongement de ce segment sont extérieurs à (G , il faut que ce prolongement rencontre (F) en un second point. Ainsi toute parallèle à l'axe des y qui rencontre un côte (X) rencontre nécessairement un second côté (\). Le lien (F contient au moins deux cotés W
S'il n'en contient que deux, toute parallèle à l'axe des y qui rcncontro l'un de ces cotés rencontre forcément l'autre. Le lien ^V )ne peut alors se composer que des deux cotés Aj définis respectivement par des formules telles que
SV = /(.r), a^x^P.
et des deux cotés (Y) qui joignent les points [7., f'y.]], [a, fj '7. ] d'une part, les points \[^,ffij\, [jS, .7^1 d autre part; le premier de ces côtés ^ disparaît d'ailleurs si l'on ^ f c/. ^= (j c/.j, et le second, si l'on a/ ^S = (j '^]. Il est à peine utile de dire que la iliiïérence f x — ^ v^} i^e peut, puisque le lien est simple, s'annuler dans l'inlervalle 7., ^j) pour aucune valeur de ./; autre que a ou |3. En abusant un peu du mot, je désignerai, dans le présent nuniéro, sous le nom de Irapczc, l'ensemble des points appartenant soit au lien fermé simple du type considéré et n'ayant que deux cùtés \\), soit au conlinuum intérieur à ce lien fermé simple. Si les deux côtés sont définis par les formules ^i et si l'on suppose f X <C g X pour a << a; <; ^j, ce continuum intérieur sera l'ensemble des points x, y dont les coordonnées satisfont aux conditions
r^a dénomination de Irapcze continuera d'être employée, lors même qu'il n'y aurait point de côté ^ .
11 est clair qu'une parallèle à l'axe des y dont l'équation est .'■ = a y. <i a <C ^'j décompose le précédent trapèze en deux trapèzes, et que, par suite, un trapèze peut être subdivisé, au sens du précédent numéro, en trapèzes tels que la distance entre les deux G<'»tés '\ ^ qui limitent chacun d'eux soit aussi petite qu'on le voudra ; il est clair aussi que ces nouveaux trapèzes peuvent être subdivisés par des parallèles à l'axe des x en rectangles et en trapèzes;
ciivi'iTiiK i\. — i.a><;.\<;f, (;i.(t\ii.ruiMn: 9ii
que, enliii, le lia[)czc piiiullllpcul ùUc siilnli\isc, [)ar (liclioluiuif, en rectangles et en trapèzes tels que l'écart île rliaciin d'eux soit aussi petit qu'on le voudra.
Donc, pour démontrer que la ligure formée par un lien ferme (F du lyi)e considéré el par le conllnuum C intérieur à F peut être subdivisée en conlinuums com[)létés par leurs frontières dont les écarts soient aussi potils qu'on le veut, il suffit de prouver que cette figure peut être subdivisée en trapèzes. On y parviendra sans peine, par induction, en montrant qu'une figure de l'espèce considérée, qui n'est pas un trapèze, peut être décomposée en deux autres de la même espèce, dont cbacune a moins de cotés X que la [)ro[)Osée. C'est cette démonstration qui \a mainlcnanl nous occuper ; on raisonnera sur le lien F) et lecontinuum intérieur (C).
Considérons un segment de droite A V parallèle à l'axe des j, joignant deux points A. A situés sur F; et dont tous les points, autres que A et A', soient intérieurs à (C). Les points A, A' décomposent (Fj en deux parties et le segment AA' décompose (C) en deux continuums partiels dont les frontières respectives sont formées de l'une des parties de F et du segment AA', commun aux deux frontières. En d'autres termes, la frontière de cbaquc continuum partiel se déduit de F en conservant l'une des parties de F^ et en remplaçant l'autre par le segment AA' ; si donc la partie de (F) que l'on a supprimée contient un côté (X) de (F) tout entier, la partie conservée contiendra sûrement un côté (^X) de moins que F et il en est de même de la frontière obtenue en lui adjoignant le côté A A', qui est du type (Y\ Donc, toutes les fois qu'on j)ourra mener un segment A V parallèle à l'axe des y. dont les extrémités A et V sont sur (F , dont tous les points, autres que ces extrémités, appartiennent à C), tel enfin que les deux parties de {F que déterminent les points A, A' contiennent cbacune un côlé entier de ^F) du type (X , la réduction annoncée sera elfecluée.
Si les autres conditions imposées au segment AA' sont vérifiées, la dernière l'est aussi lorsque l'un des points A, A', le point \ par exemple, se trouve être un sommet. Ce sommet, en effet, peut être commun soit à deux côtés X;, soit ù un côté \ cl à un côté (Y . Dans le [)remier cas, les deux côtés (X) qui se réunissent en A, n'ont i)as d'autre point commun avec AA' que le point \ : ils appartiennent donc tout entiers, le premier à l'une des parties de F ,
i>Tnoi»r(:TH)\ a i.a thf.oiuI'. hes io.nctions
le second à l'aulie pailic. Dans le second cas. soit P le sommet du côté (Y\ autre que A. Le segment W dont les points, sauf A et A', sont intérieurs à (C) ne peut être que sur le prolongement, audelà de \. du coté AP : il ne peut avoir dautre point que le point A commun avec le côté X qui passe par \, il n'a aucun point commun avec le cc>té X^ qui passe par le point P ; le premier de ces côtés \ appartient tout entier à l'une des parties de F ; le second côté \ , ainsi que le côté AP, appartient tout entier à l'autre partie. Dans les deux cas, le segment AA' permet d'efl'ectuer la décoTuposition annoncée.
Considérons un côté \ de F , défini par les formules
je désignerai par A et B les deux sommets, d'abscisses res[)ectives a et jS, que joint ce côté; pour fixer les idées, je supposerai que, sur ce côté, l'abscisse d'un mobile qui décrit (F) dans le sens di-
Fig. 19. Fig. 20.
rect va en croissant ; alors ce côté traverse les parallèles à l'axe des y de gauche à droite ; les points voisins appartiennent à (C) ou non, suivant qu'ils sont au-dessus ou au-dessous de ce côté.
Considérons maintenant le second côté BC qui part du point B et supposons d'abord que ce soit un côté X ; la jiarallèle à l'axe des y menée par le point B laisse alors à sa gauche les deux côtés BA, BC ; les points voisins de BC sont intérieurs ou extérieurs au continuum 'C suivant qu'ils sont au-dessous ou au-dessus de BC. Deux cas sont d'ailleurs possibles, suivant que le côté BC est, dans le voisinage du point B, au-dessous ou au-dessus du côté BA. Dans le premier cas, c'est, au voisinage de B, les points situés au-dessus de BA, au-dessous de BC, sur la parallèle à l'axe des y
CHAlMTr.l. I\.
i.aN(;\(;r ciKtMi.ri'.i'.n i:
menée par le |»oinl Jî ou à droilc de celle parallèle qui a[>pailienncnt au conlinuum C et non les points situés en'lre les deu\ cotés BA et BC ; c'est l'inverse dans le second ca*;.
Soil, dans le premier cas, B le ]uemici- point oîi la parallèle à l'axe des r menée par le point H et proloniréc, soit vers le liant, soit vers le bas. rencontre F ; le sej^rmenl de droilc lili cpii appartient tout entier au continuum sauf les points B et IV permet évidemment d'eiîectuer la décomposition demandée.
Snjiposons maintenant que le côté BC soit im cùlé \ , il peut descendre ou monter à |)arlir du point B ; le lecteur reconnaîtra sans aucune peine la iaçtm dont sont placés les points voisins des côtés AB, BC qui appartiennent au conlinuum C et s'assurera que dans le premier cas, le prolongement du côté CB vers le haut, au-delà du point B. pénètre dans le conlinuum et que si on désigne par B' le premier point où ce prolongement rencontre ^F^,
tB'
tC
le segment de droite BB' [)ermel encore d'cllectuer la décomposition cherchée. Si le côté BG monte à parlir du point B, le côté suivant, qui part de C, [)eut cire à droite ou à gauche de BC ; «'il est à droite, on reconnaît encore que le [)rolongemcnl de BC vers le haut, au-delà du point C pénètre dans le continuum (C), en sorte que si l'on désigne par C le premier point oîi le prolongement rencontre F . le segment CC répond encore à la question. Des observations toutes pareilles se rapporteraient au sommet \ et aux côtés voisins. En réunissant toutes ces observations on reconnaît que les seuls cas qui échappent à la démonstration sont les suivants :
1' Les côtés AQ, BC, autres que AB. qui passent par les points \. B sont des côtés Y. qui, à parlir des points A. B montent vers
iMnomcTioN A I A TiiKitiiii: ur.s lox.ruos
le liaul ; le cùlé Ql\ aulic que Al^) qui passe par le point Q est un côté \' situé à droilc de AQ ; le coté CD, autre que B(,. qui passe par le point C est un coté X; situé à gauche de BC.
2° Les autres cas rentrent dans celui-là, en supposant que le point Q se confonde avec le point A, ou que le point C se confonde p avec le point li ; les droites AQ et BG
doivent alors être remplacées par les parallèles à l'axe des v, menées par les points \ ou B. Si, par exemple, C est confondu avec 1>, il faut entendre que le coté, autre que AB, qui part de B est un coté X} situé à gauche de la parallèle à l'axe des y menée par B.
''~' ~ ' Je ne m'occuperai que du cas i".
Définissons, dans l'intervalle (a, ^ la fonction h 'x] j^ar les conditions suivantes : pour a: = a et pour x = ^, ses valeurs respectives sont les valeurs des ordonnées des points Q, C ; pour x compris entre y. et ^j, sa valeur est celle de l'ordonnée du premier point de F que l'on rencontre en s'élevant sur la parallèle à l'axe des y à partir du point [x, f[x)\, en sorte que tous les points du segment qui va du point [x, f'x)] au point [x, h V] sont, sauf ces deux points, intérieurs à C . On reconnaît très aisément que la fonction h x , définie sans amhiguïté dans tout lintervalle a, ^^ est continue à droite pour ^c = a et ^à gauche^ pour 5c = p, qu'elle est continue pour toute valeur x^ comprise entre a. et |v telle que le point [x^, Ii'Xq] ne soit pas un sommet, parce que, alors, quand X est suffisanmient voisin de Xq, le point [x, h'x]\ reste sur le côté qui contient le point [x^^, h{x^]. Lorsque ce dernier point est un sommet, ce sommet peut être le sommet qui limite un côté (X) à droite ou à gauche ; la fonction h 'x] est alors continue, pour x = x^, à gauche ou à droite. Comme cas particulier x„ peut être l'ahscisse commune à tous les points d'un côté (Y) qui joint le sommet de droite d'un côté ''X; au sommet de gauclie d'un autre côté X). Dans tous les cas, si a;^ est un nomhre intérieur à l'intervalle (a, [i' pour lequel la fonction h[x) est discontinue, le segment qui va du point [xq, f{x^,)^ au point [Xq, h(x^,], qui est un sommet, permet d'ohtcnir la décomposition demandée du continuum X\
(■.IIAI'ITIU: I\. r.A.NCACK CKOMITIUOIF. 20.)
Le seul cas qui rcliapporail inainl(Mianl à la di-iiioiisliation serait celui où la fonclion liUi\ scrail conliniic dans tout rinloivalle a, ^ ; mais alors le lien constilm' [)ar les deux côtés AQ, BC, du Ivpo ^ cl les deux cotés \ que dénnissenl les loinudes
serait fermé ; V se réduirait à ce lien, on aurait allaire à un trapèze.
La démonstration est terminée.
On vient d'établir que l'ensemble parlait C) -h F^ formé des points qui appartiennent soit au lien fermé simple (V), du type .1/, soit au conlinuum ! C intérieiu' à ce lien, pouvait être décomposé en deux ensembles parfaits (C) + (F'), (G") H- (F"), constitués comme l'ensemble proposé, mais avec des frontières T'), (F"; qui ont cliacune un ou plusieurs côtés \i de moins que (F) : ces frontières ont une partie comnume, à savoir le segment de droite, parallèle à l'aNC des y, qui a servi à elTectuer la décomposition ; en dehors de ce segment de droite, elles n'ont pas de point commun ; les deux conlinuums 'C'}, (G") sont extérieurs l'un à l'autre; en supprimant la frontière commune, ils se réunissent, ainsi qu'on l'a expliqué au n'' 301, [)Our reproduire le conlinuum G .
Geci ra|)pelé, considérons, comme à la (in du n" 302, un point fixe O extérieur à l'ensemble (G; -i- (F), une direction fixe D partant de ce point 0 et un point variable M ; si l'angle dont les côtés sont D et OM peut être défini comme une fonction continue du point M dans chacun des^ ensembles parfaits G' -I- (F'), (G") -h (F"), il pourra être défini comme une fonction ronlinue dans l'ensemble G) + F\ ainsi qu'on l'a expliqué au n" 302. Dès lors il suffit de remarquer que l'angle considéré peut être défini comme une fonction continue de M dans un trapèze et d'applicpier le procédé d'induction, comme on l'a fait dans le présent numéro, pour démontrer que cet angle peut être défini comme une fonction continue du point M dans l'ensemble (G + ,Fi; c'est ce qui avait été annoncé au n" 302.
315. — Keprenons les notations du n" 313 relatives à un lien fermé F , du type ,1, frontière du continuum intérieur (G et à la
TAN.tEBT II. — Iniro ludion à la Théorie ilc? fondions 15
2 2G I.NÏUOItUOTiON A I.A TIIKOIUE DES FONCTIONS
décomposition dicholomique de l'ensemble C -H F^ en ensembles (c,) -t- /, , (\, + /ï , .... Cm -+- (/m) dont les fronlières (/,), ,/j), ..., /,„ sont aussi îles liens fermés du type -l. \ la fin (lu présent numéro, nous aurons besoin de supposer que les écarts des ensembles c, -+- Y,}, tCi) -h f.y, ..., c», 4- fm sont plus petits que tel nombre positif que l'on veut. A partir de ce moment, on supposera que F appartient au type .l>' ; on pourra alors supposer que les décompositions qui aboutissent aux ensembles (c) H- ifi ont été effer tuées comme on l'a expliqué dans le précédent numéro, de manière à obtenir d'abord des trapèzes, puis d'autres trapèzes, qui peuvent être aussi petits qu'on veut, en poussant les décompositions assez loin.
Ceci posé, soi&ni g \x , y ) , h x, y deux fonctions continues du point (x, y) dans l'ensemble parfait C ; -+- /F \ Je désignerai le point dont les coordonnées sont
comme l'image du point x, y. Il est clair que, si un mobile décrit im lien fermé dont tous les points appartiennent à l'ensemble (G) -h F , son image décrira aussi un lien fermé. En particulier, si le mobile décrit les liens fermés (F , ^f,, [f^\, ..., /„, dans le sens direct, son image décrira dans un sens correspondant les liens fermés ($), (ç>,), ((p^), ...» (©m) images des précédents. Un mobile qui parcourt les liens fermés (/,^, /o , ..., f,n dans le sens direct se trouve avoir parcouru le lien fermé F dans le sens direct et, en outre, deux fois, dans des sens opposés, les parties de ^1), /a', ..., (/„, qui n'appartiennent pas à F ; l'image de ce mobile aura donc parcouru <1>^ dans le sens qui correspond au sens direct sur (F) et, en outre, deux fois dans des sens opposés, les images des parties de (/,), {f^, ..., {fm) qui n'apparliennent pas à F^. Si donc on considère un point I qui ne soit situé sur aucun des liens fermés (©,), (^2), ..., f'fm). on peut affirmer que la somme des ordres de ce point par rapport à ces divers liens sera égale à son ordre par rapport au lien ^^ , cbacun des liens O), (oj , ..., (©,„; étant parcouru dans le sens qui correspond au sens direct sur
les liens 'F), (/,), (/,) (/„,).
Mon objet est maintenant de démontrer la proposition suivante :
i:iiAriTnE ix. — i.v.\r. u;f. (;i:oMi:ruioi i-; 227
