I. Si les équations

(1) g{x,y) = u, li{x,y) = ^

n'ont pas de solution dans renscmblc Ci h- F , l'ordre du point a, j'ji) par rapport à <D est nul.

Par consécpicnt :

II. Si cet ordre n'est pas nul, les équations i) admettent une solution dans l'ensemble (G) -f- (F .

Du moment que l'on parle de l'ordre du point a,jv on suppose implicitement que cet ordre existe, c'est-à-dire que le point a, jj) n'appartient pas à (0), ou encore que les deux équations i) n'admettent pas de solution a'o, Vu teille que le point x^, y^) appartienne à F .

Pour établie la [)ro[)osition énoncée, je vais supposer que les équations 1) n'aient pas de solution, dans l'ensemble (C) -h (F) et je démontrerai que dans ces conditions, l'ordre du point a, fî) par rapport à <I> est nul.

La distance

du point a, fjj au point (ç, y; j est une fonction continue de x,y dans l'ensemble parfait G} -f- 'F'); clic atteint donc sa borne inférieure et cette distance n'est pas nulle, puisque, par bypotlièse, les équations ; 1 1 n'ont pas de solution dans l'ensemble G + (F) ; il y a donc un nombre positif o tel que les images de tous les points de l'ensemble (G) -\- (F; soient extérieures au cercle de centre a, ^) cl de rayon 0.

Geci posé, soit h un nombre positif tel que la distance des images de deux points de ^Gj ■+- F; soit sûrement moindre que 0 lorsque la distance de ces points est moindre que £. Sup[)osons maintenant que la décomposition de l'ensemble G -h [¥] en ensembles ic, -f- '/,}, [c^) -+- . f, , ..., (c,„i -+- /„, soit telle que les écarts de ces dillércnts ensembles soient tous moindres que z : d une part, si P, est l'image d'un point de Tenscmble c, -!- J] , les images de tous les points de cet ensemble seront intérieures au cercle décrit de P; comme centre avec un rayon égal à 0 ; toutes ces images sont d'ailleurs à une dislance du point a, /i) supérieure

228 I.MnODUCTK» A I.A TIIKOIUE DES FONCTIONS

à rj ; en d'auUcs termes le point (a, |S; est extérieur à ce cercle décrit de P, comme centre qui contient à son intérieur les images de tous les poinls de (c, + (/ ; Tordre du point a. ['j i)ar ra[)port à l'image c:, tlu lien fermé J, est donc nul, [)uis(ju'on peut regarder le point ^a, ^3; comme l'origine d'une demi-droilc qui ne rencontre pas c, . li en résulte que l'ordre du point a, '^j par rapport à 4> esl nul, puisque cet ordre est la somme des ordres du point a, j3 par rapport aux liens fermés (îj,), (©g , ..., (©,„'•

Toul ceci s'élend immédiatement à la figure que Ion a considérée au n" 312 et qui est formée du lien fermé F), des liens fermés (F'}, (F"), ..., [F*"*] intérieurs à (F et extérieurs les uns aux autres deux à deux^ enfin du continuum C„ ensemble des points intérieurs à F et extérieurs à F'], F", ,.., [F*"*J.

On continuera de représenter par 'H la frontière de (C„), formée des liens (Fy, (F'), ..., [F'"*]; mais on supposera maintenant que tous ces liens appartiennent au type XI . Les fonctions (j x, j , h X, y seront supposées continues dans l'ensemble parfait (C„; -H (n . Décrire (Hj dans le sens direct, c'est décrire (F) dans le sens direct et les liens (F'^, (F'') |F<"'] dans le sens indirect ; les liens fermés <1>}, <&' , ..., [4>"''], images des liens (F), (F'}, ..., [F*"*], sont alors décrits chacun dans un sens déterminé et à chacun d'eux correspond ainsi un ordre déterminé pour chaque point I du plan qui n'est point situé sur eux ; la somme de tous ces ordres sera ce que j'appellerai l'ordre du point I par apport à l'image de (H).

Si les équations

g{x,y) = 'x, Ii{x,y) = :^

n'ont jtas de solution Xq, y^ telle que le point Xq, y^ appartienne à l'ensemble C„) -f- (Hj, l'ordre de ce point par rapport à l'image de (H^ sera nul.

Il suffit, pour s'en convaincre, de décomposer l'ensemble ,G„ 4- H en deux continuums complétés par leurs frontières, lesquelles sont des liens fermés simples, ainsi qu'on l'a expliqué au n" 312 ; seulement les /i -h i liens que l'on emploie pour la décomposition doivent être du type .1/. On n'aura alors qu'à appliquer le théorème I aux deux frontières des deux continuums partiels et à ajouter les deux égalités ainsi obtenues ; le théorème

c.iiAT'nni; i\. — lankahk ci-oMirruion: 32f)

('nonce en dcniii'i' lien en rcsulle évidcinnicnl, pnisqnc, lorsqn on ilécrit ces deux iVonlières dans le sens dirccl, cliacnii des /< -h i liens introduits se trouve décrit denv fois dans des sens opposés et f[n'il en est de mémo dans les imapes, etc.