IV. — COURBES

316. — Mon ])ut est maintenant de particulariser la notion de lien pour arriver à la notion de courbe.

Considérons im lien T) défini par les formules

Je vais montrer que, pour qu'on puisse étendre à ce lien la notion d'arc de courbe, il faut et il suffit que les fonctions o tj, <lt(t soient des fonctions à variation bornée.

Si l'on a a < /, ■< /o <C ... <C tn^i <C [j je dirai comme au n" 239 que les nombres croissants a, l^, /., .... /;,i, fli définissent une décomposition de l'intervalle a, j'5;. A une telle décomposition correspond une ligne biiséc, dont je dirai qu'elle est inscrite dans le lien ; ses sommets successifs sont les points du lien qui correspondent aux valeurs a. /,, l.,- ■■■, tn^i, fj. Les longueurs de pareilles lignes brisées auront, dans ce qui suit, le même rôle que les sommes inférieures dans la définition de l'intégrale définie.

La longueur d'une ligne brisée inscrite est égale ou supérieure à la distance entre l'origine et l'extrémité du lien ; l'égalité ne peut avoir lieu que si la ligne brisée se réduit au vecteur qui va de l'origine du lien à son extrémité.

Si, [)artant d'une décomposition fa, /,, /o» •••' ^" i' [''■', *^^ l'intervalle a, ^jj, on décompose ensuite les intervalles partiels (a, /,), /,, /^i, ..., 'tn-\, [j), on définira par là même une nouvelle décomposition de l'intervalle (a, (5) ; la ligne brisée correspondante, obtenue en juxtaposant les lignes brisées inscrites dans les portions du lien qui correspondent aux intervalles partiels de la |)remière décomposition, a une longueur supérieure ou égale à la longueur (le la première. A cliaque décom[)osition a, /,, /,,, ..., ^'j) de Tinter-

aSo i>Tn(iiirr.Ti(» a i.a tiikoiui: oes fonctions

vallc a, j^ corrcspomliMU, d'uur pari la longuem- L de la ligne brisée inscrite cl daiilrc part les nombres

* = |--:(/,)ç(a)| + |ç(/,) '.(<,) I H-.. . + |^(p)-cp(/„,)|.

il esl nianifesle que le nombre L esl supérieur ou égal à chacun des nombres $, M' et qu'il esl au plus égal à leur somme. Je désignerai par (L), ((^ , (^ les ensembles respectifs des nombres distincts L, des nombres distincts <I>, des nombres dislincts M , relatifs aux diverses décompositions possibles de rinlervalle a, fj^ .

Pour que l'ensemble '^L soit borné en haut, il faut et il suffit évidemment que les ensembles '^\ i'W) soient eux-mêmes bornés en haut, c'esl-à-dirc que les fonctions (^{i^, ^it; soient à variation bornée dans l'intervalle (a, /5\

Supposons qu'il en soit ainsi et soit S la borne supérieure de l'ensemble L . Je dis alors que S peut être regardé comme la limile de la longueur d'une ligne brisée inscrite variable pour laquelle les écarts des intervalles partiels de la décomposition tendent vers G ; en d'autres termes, à chaque nombre positif i correspond un nombre positif r, tel que la différence positive ou nulle S — L soit moindre que c, pourvu que les intervalles partiels de la décomposition à laquelle se rapporte la longueur L de la ligne brisée aient tous un écart moindre que r,. L peut être regardé comme une valctu- approchée de S, aussi approchée qu'on le veut, pourvu que /; soil suffisamment petit.

La démonstralion, que je crois inutile de détailler, est loul à fait analogue à celle qu'on trouve dans le n° 241 ; elle repose essentiellement sur ce que, quel que soit le nombre positifs', il existe sûrement une décomposition déterminée pour laquelle on a S — L <C =', en désignant par L la longueur de la ligne brisée inscrite qui correspond à la décomposition, et sur la comparaison entre les longueurs L, L' de celte ligne brisée et dune autre ligne brisée inscrite pour laquelle les écarts des intervalles jiarlicls soient suffisamment ]>clits, plus petits en particulier que le plus petit écart des intervalles partiels de la première décomposition, à laquelle se rapporte L. En superposant les deux décompositions, on est conduit à une troisième décomposition, à une troisième ligne

cHAPiTni: i\. — i,\>(;a(.i: (ikomktriqi'k 281

brisée dont la lonj^^ucur L dill'ère très peu de L ; la démonstration s'achève en remanjuaiit ({ue l'on a S > L" ^ L. Le nombre S ainsi déterminé est éjzal ou supérieur à la distance entre l'origine et l'extrémité du lien. Pour qu'il soit égal à cette distance, il faut d'abord que, quels que soient les nombres /,, l^, ..., satisfaisant à la condition

les points correspondants du lien se trouvent sur le vecteur qui va de l'origine du lien à son extrémité ; cela exige que tous les points du lien soient sur le vecteur. Il faut en outre que, si l'on a 'i < ^ ■< 'j' 1<^ point du vecteur qui correspond à t.^ soit compris entre les points qui correspondent à /,, t^ ou confondu avec l'un d eux; mais si les points qui correspondent à /o, t^ sont confondus, il faut encore, et pour la même raison, que tous les points qui correspondent aux valeurs intermédiaires soient aussi confondus, en sorte que les fonctions '> t), <h(i) soient toutes les deux constantes dans l'intervalle (.,, /., . Si donc on écarte le cas où l'intervalle a, [-j contiendrait un intervalle partiel dans lequel les deux fonctions ^'f,<}j'l seraient constantes, la correspondance entre l'intervalle a, ^j et les points du vecteur sera parfaite et le point \z> t , 6 / j, quand t croîtra do a, ^j, décrira le vecteur de son origine à son extrémité, toujours dans le même sens. Ces remarques donnent un sens précis à la proposition : la ligne droite est le pbi-^ court chemin d'un point à un autre.

11 résulte de là qu'un lien quelconque, qui ne se réduit pas à un point, et qui a une longueur, a une longueur positive.

Si les fonctions ■:; f , à(C) sont à variation bornée dans l'intervalle a, jj), elles sont évidemment à variation bornée dans tout intervalle contenu dans a, ^j ; en sorte que si /,, /^ appartiennent à l'intervalle a, fi , le lien partiel défini par les formules

aune longueur: désignons-la par S /,, /., : on voit immédiatement que si l'on suppose /, <C /^ ■< ^3, on aura

2o:2 iNraoïiir.TioN a la tiikorie in:s i-o.\c.tio>s

cl que, si l'on convicnl de poser en géiiéial

l'é^alilé I snl)sistera, quels que soient les noml)ies /,, 1.^, I3 appartenant à l'intervalle a, |5\

L'éj^alité i) montra que la fonclion Sa, / , à laquelle on attribuera la valeur o pour / = a est croissante dans l'intervalle a, ^) ; elle croît de o à S == S a, ^'3 . Il est aisé de voir qu'elle est continue ; si en effet, en supposant /, < t.,, on désigne par V,^ ti, ti\ V,, /i, /2), les variations totales des fonctions ç /\ <iii'îi on aura

or les fonctions c; '/\ 'b't étant continues, les fonctions do /, V,, a, / , Y, a, / sont continues dans l'intervalle a, fj ; iiar conséquent, pourvu que la différence t, — /i soit suffisamment petite, les nombres ^j^ /i, k ■, ^j, ^i, lu seront aussi petits que l'on veut; il en sera de même de S(/i, t>} ; cela suffit à montrer que la fonction S a, / est continue dans l'intervalle a, |3^.

Puisque la fonction S ;^a, / est continue et croissante dans l'inlervalle 7., fj , l'équation s = S 'a, / définit / comme une fonction continue et croissante de s dans l'intervalle (0, S) ; en remplaçant t par celte fonclion dans 'j^ / , '1/ 't on voit que les formules qui définissent le lien peuvent être prises sous la forme

s désignant la longueur du lien à partir de son origine.