Conservons ton juins la même notation

pour définir le lien (T;. Afin d'abréger un peu, au lieu d'appeler \'^ 'l\ '\>[l)] le point du lien T^ qui correspond à la valeur / du paramètre, je me contenterai souvent de dire : le point t.

Supposons que les fonctions ©(/), (J;(/; admettent, dans l'intervalle /o, /i , des dérivées o' U), '^' {t. ', considérons les deux points /, t -h h, qui corespondent à deux valeurs voisines de la variable,

IIIAI'ITIIK l\. l.ANCAfir. (.IlOMKTItlUl K î>3.'{

valeurs que Ton suppose aiiinuicnir à riiil(M\allc a, ^'j : lâjualion tle la droite qui joint ces deux points peut s'i'ciirc

lorsque h tend vers o, les deux dénominateurs ont évidemment pour limite '^ ^ et 'V /, et l'on dit, en supposant que ces deux quantités ne soient ])as nulles simultanément, (pic la droite donc l 'équation est

^ — ?(0 J — 'VIO

st laïKfcnle à T au point /; on dit que, sur cette tangente, la direction définie par les coefficients directeurs d I , 'V / est la direction qui correspond aux valeurs croissantes de /, et cette farou de parler est jusiiliée par ce fait que la direction dont les coellicients directeurs sont

est, hrsfjiie h est positif, la direction du vecteur qui va du point / au point l -h h.

On désigne le nombre positif

sous le nom de vitesse, emprunté à la cinématique. Le même nom s'applique aussi à un vecteur dont l'orgine est le point o, o et l'extrémité le [)oint |ç/' T, <b' t ], ou au vecteur é(|uipollent, ayant son origine au point /; la direction de ce vecteur est précisément ce qu'on vient d'appeler la direction sur la tangente rpii correspond aux valeurs croissantes de /.

Le nombre positif ^ 7 est la limite, pour h ^=1 o, de la vitesse moyenne relative à l'intervalle U, t -+■ li), c'est-à-dire du rapport à la valeur absolue de h de la dislance des deux points t cl t -\- h: en d'autres termes, on a :

V(0 = lim. \/[? {t^h)- y (07+ [^{l + h)-^ {t)f

234 INTRODUCTK» A l.\ TIIKORIE DES FONCTIONS

comme on le voit sans peine en remplaçant dans le second membre

ç(/ H- /,) — cp(/). 'l{t -+- h) — ^{l) par /([o'(0 -}- s], li['l'{l) + r.].

ou i, ■/; désignent des nombres aussi petits qu'on le veut, en valeur absolue, pourvu qu'on suppose assez petite la valeur absolue de h. En posant

on pourra s'appuyer sur l'inégalité

I v/ÂT-rK — v^A I < \/\K]

qui a certainement lieu si l'on a | K j ^ A. La démonstration n'exige pas la continuité des dérivées, mais elle permet de reconnaître que, si ces dérivées sont continues et si elles ne s'annulent pas simultanément dans l'intervalle f^a, ^îj, la vitesse moyenne

tend uniformément vers sa limite \ 7 , quand h tend vers o ; en d'autres termes à chaque nombre positif = correspond un nombre positif"/;, tel que l'on ait,

v/[<f (/ + /O - o (0]^ H- [6 {t -hh)-^ {t)Y

pour tous les nombres i el t -\- h qui satisfont aux conditions

Considérons la vitesse movenne

relative à l'inter-

valle [7., ^ : A représente les distances des deux points a, ^. Je vais montrer, en supposant que les fonctions o{t., 'ii[j') admettent des dérivées dans l'intervalle (a, | j , qu'il existe un nombre q, appartenant à l'intervalle (a, ^j et tel que l'on ait ' )

(') M. Darboux dans son Mémoire Sur les développements en. série des fonctions d^unc variable (Journal de Liouville, a" série t. II) a montré l'importance de cette proposition qui joue dans plusieurs questions un rôle analogue à celui du théorème du n° 215.

CMAI'ITIll^ 1\. I.A.\(;.V(;E (iKOMlirUlnlK 235

Supposons en cllel a <;/,<; /^ ... «< /„, <C ^'j cl considérons la li^'nc brisée inscrite clonl les sommets successifs sont ks points a, /i, 11,..., /„,, [l> du lien ; soient c?i, o\,..., c;\, les cùlés de celle ligne brisée, il est clair que l'on aura

or le second jnembre est compris entre le plus petit et le plus grand des nombres

je désignerai par q ^ le plus grand de ces nombres : >y.^, ^y

sont deux consécutifs des nombres a, /,, t,,..., fi et A, est la distance des points correspondants du lien, on aura alors

A ^ Al .

On peut raisonner sur l'intervalle a^ fii comme on a fait sur l'intervalle a, fi] et poursuivre indéfiniment ; on formera ainsi une suite infinie d'intervalles a, fi , ai, fii ,... 'y.,,, fii, ,■■■ dont chacun est contenu dans le précédent; les écarts de ces intervalles vont en diminuant; rien n'empêche de s'arranger pour qu'il décroissent indéfiniment ; si l'on suppose donc que l'on a lim. ifii, — 7.,, = o, il est clair que les deux suites infinies ai, 7.>,...

et fi\, fii,... auront imc limite commune ç et qu'on pourra écrire

Si, maintenant, on désigne par r)\„ et <^], les distances des points y.,,, fi,, au point |; on aura

le second membre est d'ailleurs compris entre le [tlus grand et le plus petit des deux rapports

•>3G INTROKIC.TION \ I.\ TlllCOnir. DF.S 1 OX.TIO.NS

pourvu que /) soit assez giaïul, chacun de ces tlcu\ rapports est aussi voisin qu'on le veut de V |, ; la suite d'inégalités

'on

ait

En reprenant la démonstration, on s'assurera sans peine qu'on peut affirmer l'existence d'un nombre appartenant à l'intervalle a, ^'j tel que l'on ait

sauf dans le cas où le lien T se réduit au vecteur qui va de l'origine du lien à son extrémité et où les fonctions ç / , '} / sont du premier degré en /.

Un raisonnement tout pareil montre, en supposant que le lien T ait une longueur S a, |3 , qu'il y a un nombre ç', appartenant à l'intervalle (a, jv,, pour lequel on a

Il suffit, pour cela, de partir de l'égalité

dans laquelle le second membre est plus grand que le plus petit des rapports

319. — Reprenons, en supposant toujours a <C li<CI><C-. <Z(^, la ligne brisée inscrite dans le lien ; si l'on su|)pose que les fonctions ç>[t , 'Il l admettent des dérivées dans l'intervalle a, fj , on pourra appliquer le premier théorème du précédent numéro aux intervalles a, h . ^h, U),..., {l„..i t,,) et affirmer l'existence de

(.ii.vriTRi: i\. — LA.NCAcr: cKOMKriiini i: •>.)-]■

nombres r,, £.,,..., £„ ;i[)[)afleiiaiit rcspoclivcnicnl à ces inlor\ ailes, tels qu'on ail

et, i)ar suite,

Supposons que la fiiiiclioii V t soit bornée cl iutégrable dans 1 intervalle a, fj ; [)(jm\ii f[iie les iiilrrvallcs pailiels soient suflisaninicnl petits, le second mendjie est une valeur aussi approcbée qu'on le veut de l'intégrale

donc, pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits, la longueur de la ligne brisée inscrite reste au-dessous d'un nombre fixe ; elle reste donc toujours au-dessous de ce nombre fixe, puisqu'elle ne peut qu'augmenter quand on subdivise les intervalles partiels ; l'ensemble L) du n" 316 est borne en haut et l'on a, en rc[)renant les notations de ce même numéro,

puisfpie la dilïérence entre S a, ^. et rj^ -{- r)., -^ ... ^- r),, est aussi petite qu'on le veut, pourvu que les intervalles partiels soient sulfisaniment petits. On peut mainlenant appliquer la secontle proposition ; elle conduira à une inégalité de la forme

S.or, ?) = Sia, /,)-+- S(/., /,)4- ... +S(<„,, P)

^ Ci - -) v(5;) + [L - /.) v(r,) + ... + (? - /„.) v($:,).

en désignant par :[, i'>,---, ç'„ des nombres qui appartiennent respectivement aux intervalles 7., //, 7i, ly ..., /„.i, fj . Le dernier membre, pourvu que les intervalles soient assez petits, est une valeur aussi approchée qu'on veut de

Y(/ dt-

a38 IMUUDLCTION A LA TUKOIUE l»ES FONCTIONS

on a donc

Par conscquenl, lorsque les fonctions ç; f , 6 / ont des dérivées dans l'intervalle ^a. /5 et que la fonction Y 7 est bornée et intégrable, on a, en vertu des inéjialités (i) et 2},

V 7 dt.

Lorsqu'on suppose que la (onction V / est conlinue et ne s'annule pas, la (lémonslration peut s^e faire d'une façon beaucoup plus facile en se fondant sur ce que le rapport

tend uniformément vers V 7 , quand li tend vers o.

320. — Considérons le lien défini par les formules :r = o (/), V = 'l[t) a ^ f < p.

Je supposerai, dans tout ce numéro, que les fonctions o [t), 'l){l) admettent, dans l'intervalle a, ^' , des dérivées continues c.'/ , 'It't qui ne i^annulent pas pour vmc même valeur de /. En chaque point du lien, il y a alors une tangente.

Si 3/7 ne s'annule pas à l'intérieur de l'intervalle y., |^;. la fonction '^7 est ou constamment croissante, ou constamment décroissante dans l'intervalle a, ^ 3 . On a alors alfaire à un lien élémentaire du type .V. Il est clair, d'après cela, que le lien appartient au type X lorsqu'il est simple et que l'une des dérivées o'd), ''-f t^, supposées continues dans l'intervalle a, ^j), ne s'annule qu'un nombre fini de fois dans cet intervalle.

Reprenons la supposition antérieure ; à l'intérieur de l'intervalle a, ^j , la fonction ç.' l ne s'annule pas; ajoutons à cette suppo-

sition la suivante : la pente '^ts de la tangente, qui est alors évidemment conlinue pour toutes les valeurs <le / intérieures

CHM'HUK IX. I.A.NCAMC «JKOMKTUlOl IC 209

à riiiLcivalle, esl loujours croissante, ou loujours ciccroissante, \x)uv chacune de ces valeurs. Je n'exclus pas d'ailleurs le cas où l'une des quantités ^'(^ a), (p'i^j sérail mille. Quoiqu'il en soit, la

l'onction -^/j\ ne peut atteindre qu'une lois une valeur donnée quand / croît de a à ^b.

Je dis que, sous les conditions prescrites, le lien ne peut avoir plus de deux points communs avec une droite.

Cela revient à dire que l'équation

ne peut avoir plus de deux racines appartenant à rinterxalle a.i'B; ; si, en eil'et, le premier membre de cette équation s'annulait {)our trois valeurs /^, /,, I, l^ •< ^ ■< ^2)» i^a dérivée

s'annulerait poiu' une valeur de / comprise entre t^ et /, et pour une autre valeur comprise entre <, et i.,, ce qui est contraire aux hypothèses. On remarquera que si cette dérivée s'annule |)our t = a, ou pour / = ^, elle ne peut s'annuler pour aucune autre valeur appartenant à rinter\alle a, ^) ; que si elle s'annule pour une valeur / = /„ intérieure à cet intervalle, elle change de signe pour cette valeur. Si la dérivée a(p'{l) H- b'Y't) ne s'annule pas à l'intérieur de l'intervalle ,a, , j , la fonction n'Oit) -h b'iifl) H- c varie toujours dans le même sens, quand / croît de a à ^'5, et ne peut donc s'annuler qu'une fois. Cette même fonction peut s'annuler une ou deux fois, si a'^i'U) -+- b'ii'^t^ admet une racine Z^, comprise entre -/, et ^'5 : dans ce cas, la fonction a'j?(/i ■■^- h'ii[t) -f- c varie toujours dans le même sens dans l'intervalle ^a, t^") et dans le sens contraire dans l'intervalle [Iq, |S). Elle peut s'annuler, ou non, à l'intérieur de chacun de ces intervalles ; lorsqu'elle s'annule ainsi, pour une valeur autre que /g, elle change de signe en s'annulant, le lien traverse alors la droite. Enfin si la fonction ^?(0 "*" ^y^^l + ^ s'annulait pour la valeur / ::= /^ qui annule la dérivée, elle ne pourrait s'annuler pour aucune autre valeur de l appartenant à l'intervalle a, /5), et ne changerait pas de signe pour < = /q ; la droite, qui serait alors la tangente au point t^,

:> 'lO I.NTUODLC.TIO.N A LA TlIKOUIi: DES lO.NCTIO.NS

n'aurait r|u'uii point commun avec le lien et celui-ci resterait, abstraction faite du point de contact, tout entier du même c»*)té de la droite. Celte dernière conclusion s'appliquerait au cas où la droite considérée serait tangente à l'origine ou à l'extrémité du lien.

En résumé, sous les conditions imposées, la droite peut ne pas avoir de point commun avec le lien, le traverser une ou deux fois, lui être tangente en le laissant alors tout entier d'un même côté.

Lorsque les fonctions 9' /), '/(/) admettent elles-mêmes des dérivées c^-V/, 'b'iD, que je supposerai aussi continues dans l'inler-

valle (a, •'>), l'hypothèse relative à la fonction \) . revient à dire que la fonction

garde le même signe dans l'intervalle V., ^j". Il est alors aisé de reconnaître que, si l'on regarde la direction de la tangente au point /(, comme étant celle qui correspond aux valeurs croissantes de / et que déterminent les quantités '^'{t^, 'Y'Joj considérées comme des paramètres directeurs, le lien reste constamment à gauche ou à droite de sa tangente suivant que la quantité ç'[t)'i)"{t) — 'b' [l) ro" [t] est positive ou négative.

La direction sur la normale au lien, qui, en partant du point t„, est à gauche de la tangente, a pour paramètres directeurs les

quantités — '}' v^o}» ^'Jo.-

Le lecteur reconnaîtra sans peine que, sous le bénéfice des suppositions qui ont été faites au début de ce numéro, la distance d'un point variable / du lien à un point fixe <o du même lien, va en augmentant quand la valeur absolue de la différence t — /q augmente, pourvu que celte valeur absolue reste suffisamment petite. Il en conclura qu'un cercle de rayon suffisamment petit, de centre Iq 7. <C '0 < ■^ ^6 rencontre le lien qu'en deux points, correspondant à des valeuis /', / entre lesquelles /^ est compris. Le lien décompose l'intérieur du cercle en deux continuums ; il est, pour ces deux continuums une partie de la frontière.

Je désignerai sous le nom d'arc élémentaire un lien qui peut être défini par les formules

«iiAr'rrni: i\. — i.AN(iA(;i: i.KnMKTuii.in: 241

uii les limclions ç; I . 'l l , conlliuio dans rinlcr\allc a, ^3 satisfont aux condiliiins (jiii vont rtie t'niiniéives.

Les fonctions 9 / , 'i/ / aduicllenl dans l'intcrNalle a, j>, des dérivées continnes g'(/i, 'l' l . Aucune de ces dérivées ne s'annule à l'intéiieur de l'intervalle a, fj , à moins d'être con^lanuuer.t nulle dans ccl inler\alie, au(|uel cas l'autre dérivée ne s'annule pas; ainsi on n'exclut [)as le cas oîi le lien se réduirait à un seg-

ment de droite parallèle à l'un tles axes. La lonction '.),( est ou

croissante ou décroissante pour toute valeur tie / intérieure à l'intervalle y., fj); il résulte de cette hypothcse que, si o' / s'annule [)Our l'une des hornes, le précédent rapport tend soit vers -+- x , soit vers — x , soit vers une limite, cpiand / s'approche de cette borne.

Je réserverai le nom de coiirhc aux liens qui peuvent être décomposés en un nombre fini d'arcs élémentaires. Une courbe est simple dans les mêmes conditions qu'un lien.

Lorsque, dans la figure formée par un lien siu)[)i(' du tspe A> et le continuum intérieur, lc4ien est une courbe, je désignerai celte figure sous le nom de (lomainc siinplcinenl connexe ou de domaine simple. La courbe frontière est alors souvent désignée sous le nom de conloiir du domaine ; l'intérieur du domaine est le continuum intérieur à la frontière. La figure formée par une courbe lermée simple, m courbes fermées simples intérieures à la première et extérieures les unes aux autres et par le continuum ensemble des points intérieurs à la première courbe et extérieurs aux m autres est un domaine m -{- i fois connexe ; l'intérieur de ce domaine est le continuum qu'on vienl de définir; sa frontière est formée de m h- 1 contours. Ln domaine m -+- i fois connexe peut être décomposé en deux domaines simplement cotmexes au moyeu de m -\- i courbes simples n" 312 .

TAr«NRRY II. — Introduction à la Tliéorie des fondions

CHVPITRE X