X- -+- px + ry ^ o

où [), q sont des nombres réels. Les expressions que l'on trouve pour les racines,

n'ont de sens que si Ton a , — *] ^o, et l'on sait d'ailleurs que

l'équation ne peut cire résolue que dans ce cas.

Si dans le polynôme x^ -\- px -h fj, on remplace x par

— +\ / — 7' et (pie l'on développe les calculs, ce qui

d'ailleurs n'a de sens que si , — (j est positif ou nul, on constate

que le radical disparait de lui-même, et que, si l'on remplace

son carré par , — rj, le résultat est identiquement nul. La supj>o-

sition que , — fj est positil ou nul n intervient que pour donner

un sens au calcul .

Lorsque . — rj est négatif, quel sens' peut-on attribuer à ce

résultat du calcul, que l'on traduit en disant que l'équation du second degré a une racine imaginaire de la forme a -H / — a , où

a est le nombre positif y — ', ')

i.llAPrTRR \. NttVlRKKS IMACIN.VIUCS 24">

Plus ^éiiéralemenl, (juelli' sifjinilii- iLi-ui pcul-'in allrlbucr à l'assertion suivanle :

Un |)olvnomc donné /(j;; îi coelTicicnls numériques réels admet 1,1 racine iiiia^inairo a -+- / — a, oîi a. d y. -«ml dos nombres réels donnés, le second élanl positif?

(lotie la(;oii do parler exprimera le mèjiio lail cpio loiilà I heure : on rom[)larant dans /' .c . x par a -f- v y-, développant les puissances de a -h [^ — a par la iormule du binôme comme si — a était positif, rem|)la<:ant partout y — y. \ — a par -^ a. les termes qui l'onlionnont ^' — 7. en lacteur se détruisent et il en est de moine des autres. Lo> (Uilculs quo Ton ;i faits, à la vérité, n'ont pas de sens, mais il n"\ aura plus aucune dillicullé en procédant comme il suit :

On commence par remplacer .r [hm u h- yv, u et r étant des indt'terminécs, on dé\eloppe les puissances de u -i- \/v suivant la formule du binôme, ei: remplaçant partout \^r -""'"' par i,'"\/o. (y/o)"-" j)ar /"' et Ion met le résultat sous la l'orme

z II, r , •[/ u, r étant dos polynômes entiers en u, v: dans ces polynômes on remplace a par a et v par — a : dire que le polynôme /" ./■ admet la racine imaginaire a -— \ — a, c'est dire que l'on a

Or. si t-lans le polynôme /* x on avait remplacé x par u -+- i y r, au lieu dc^ \c remplacer par u -n v^'% et si l'on avait fait les mêmes calculs, c'est-à-dire si l'on avait, apr«.'S le développement des puissances, remplacé '//r^"+' par i'^'^'^iy'y'r= i'-v "i\/i\ et iy'v)-" par /-(" ", il est clair quo Ion aurait lri)U\é

Les deux équations 'v a, — a =^ o, 'y a, — a =r-- o peuvent s'interpréter en disant que les dcu\ polynômes en /-,

'f (rt, i*a), 'Un, i-v.) s'unuuloul (piand on \ remplace/- par — 1, cq cpii r<'\ionl à dire

■>.\'\ lM'l!(Hil(.TI(»> A l.\ TlIKOUir. IM'.S 1 ()>C,Tl(t.\S

qu'ils sont divisihlos |)ar /■ -t- i . Il en csl de inriue ('■Nidcnimcnt du polynôme en /

o(fl, f-a) -h j\ a '^{a, ru)

qui peut être regardé comme le résultai de la substitution de a -f- i\'y. à la place de x. lléciproquement, ce polynôme en / ne peut être divisible par r 4- i que si les deux nombres <p'a, — a et 'b a, — a sont nuls : ces deux nombres sont en elTel les restes de la division par /- H- i des deux polynômes en r o a, ra . ■1> (I, i'-c/.), d'où l'on conclut immédiatement (jue

ç(o, — a) ^ /y/a 'l{a, — a) est le reste de la disision [)ar r -r i de

ç («, J-a) -t- fYa 'i/ffi, l'-a),

reste qui ne peut être nul que si ç "f — '5< ("t '\> «> — y-) sont nuls, puisque l'on suppose a > o.

Voici donc le sens précis que nous sommes amenés à donner à cette assertion : le polvnome f x admet la racine imaginaire a -+- \J — a. Elle veut dire : quand on remplace dans ce polynôme X par a H- i\ ^J., le polynôme en /' que l'on obtient ainsi est divisible par i^ H- I.

Le théorème fondamental de l'Algèbre peut s'énoncer ainsi : Étant donné un polynôme/ oc, / à deux variables .r et /, à coefficients numériques réels, il existe deux nombres réels a, h tels que le polynôme en / fa -t- h\, i , obtenu en remplaçant x par a 4- />/» soit divisible par r -\- i. Si l'on ordonne le polynôme y :<;, / par rapport à x, les coefficients des diverses puissances de x devienncnÈ des polynômes en/; rien n'empêche évidemment de substituer à ces polv nomes les restes que l'on obtient en les divisant par /^ + I, puisque la partie que Ion supprime ainsi est toujours divisible par i'^-h I : on ne restreindra donc pas la généralité de l'énonce en supposant, comme on le fait d'habitude, que le polynôme f{x, r est du premier degré en i. C'est à Gauss que l'on doit le& premières démonstrations de ce théorème, et l'une de celles qu'il a données reste, à un certain point de vue, supérieure à toutes les autres, malgré ce qu'elle a de compliqué et de détourné, parce

ciiAi'irni; \. — .\nMitui:s iMw.rwim.s » |.)

qn'ello spiiiMi^ r<'(liiiie .m niiniinuin la pnilic do la (iéiiionslralioii (jui n'est pas algt''l)iir|uc. Le seul posltilat (iiii, dans la déinonstralion de Gauss, n'a|>[iai liml \):\< à l.i pnrc Al;j:èl)ic est en clTet le suivant : tmilc équation de degré impair, à coeflicienls réels, admet nnc racine réelle. Cette proposition est contenue, comme cas particulier, dans l'une de celles que l'on a établies au n" 166. Ce théorème laisse prévoir l'importance de l'introduction en Algèbre des nond)res dits imaginaires, (^es nombres ne jouent pas un rôle moins important en Analvse. ainsi (jne (cla avait été reconnu longtemps a\anl <pie leur signilicalion m; lût précisée. Il reste à définir ces nondjres et à expliquer les règles de calcul cpii les concernent : ce qui précède justifiera et leur introduction, et les règles de leur calcul. Le lecteur, auquel le sujet est sans doute familier, me ])ermeltra de le traiter brièvement.

322. — LU nombre imaginaire est, par définition, une expression a -f 'bi, du premier degré en /, où a, ^'5 sont des nombres réels qui [)euvcnt d'ailleurs être quelconques, cxpress'on soumise à des règles de calcul qu'on va expliquer; pour le moment, on doit porter son attention sur ce qu'un tel nombre est défini quand on se donne les deux coefficients réelsy au moyen desquels est formé le binôme du premier degré par lequel il s'exprime : ces deux coefficients a, fj ne jouent pas le même rôle, le premier a csl]a partir n'c lie du nondjre imaginaire, le second est le coefficient (le i.

On fait rentrer les nond)res réels dans les nombres imaginaires en convenant de regarder a -h fii, lorsque j3 est nul, comme étant la même chose que le nondjre réel a. En particulier lorsque y. et j> sont nuls, le symbole a -h ^'À est la même chose que le nombre réel G. Lorsque la partie réelle a est nulle, on dit que le nombre a 4- ^ji, ou ^'ji, Q%{ purement intar/iimire.

On dit que les nombres imaginaires a f- f-:>i, a' 4- [j'i, où a, (3, a , j3' sont réels, sont égaux lorsque ces nombres sont les mêmes, c'est-à-dire lorsque l'on a a = a', j'i = ^j. Cette définition, d'une part, s'ap|)lique lorsque les coefficients de / son! nuls, c'est-à-dire dans le cas où les nombres imaginaires se réduisent à des nombres réels; d'autre part elle satisfait évidemment aux conditions de toute définition de légalité .V = A, A rr-r B entraîne 13 =^ A :

'>4l> IMUOniT.TU» A I.A TFlKOKtK ItKS I-ONCTIOS

A = C et H — C entraillent A^-^ B . Knlin les définitions des opérations seront telles qn on pourra dans ces opérations remplacer, sans clianger le résultat, tel nombre imaginaire que l'on \oudr;). par im nombre imaginaire égal.

On défmit d'un seul coup Vaildllion, la sousd-dclioii, la Diiilllp/ication efTectuée. sur des nombres imaginaires, en disant que ces opérations se l'ont connue si les expressions a + ^S/ étaient des binômes ordinaires du premier degré, si ce n'est qu'on remplace le résultat, ordonné par rapport à /, par son reste relativement à /- -t- i : ce reste, étant lui-même un binôme du premier degré eu /, est un nombre imaginaire.

Rien n'empècbe de désigner par une seule lettre im binôme du premier degré en / ou, si l'on veut, un nombre imaginaire. Si A, A', A", .., désignent les binômes v.-hf-ji, 7.' ^ l^'i, a' -+- fb'i, ..., où a, ^j, y. . jv , y" . ^j' , ..., sont des nombres réels, le résultat d'opérations d'addition, de soustraction, de multij)lication... elïectuées sur les nombres imaginaires A, A', A", ..., s'ol)tiendra. d'après ce que l'on vient de dire, de la l'aron suivante :

Considérons un certain polynôme en A, A', A ,, ..., tel. par exemple, que