A (A' + A'') = AA' +AA

Le seul nomlMe qui. ajoute à A reproduise A est o. Le seul' nombre qui ajoute à A donne pour somme A' est A' — A ; en particulier le senl nombre qui ajouté à A donae pour sonmae o est le nombre — A = — a — >/, SYmétrirjue de A.

Si n est un nombre naturel, i" est égal à i, /, — i. — / suivant que Je reste de la division de n par \ est o, i, i ou o.

Le fait que, en vertu des règles admises, r est égal à — i explique que lOn emploie souvent le symbole \ — i, qui par luimême est dénué de sens, avec la même signification que la lettre /.

Un produit de facteurs imaginaires ne peut être nul que si l'un : de ses facteurs est nul ; cela est clair, si l'on se reporte à ce théorème d'algèbre : le produit de plusieurs polynômes premiers a r -h I est premier à r -i- i : cela s'établit directement sans ancime peine. La proposition s'étend immédiatement à trois, cpiatre, ... facteurs. On en retrouvera d'ailleurs la démonstration, un peu pins lofn, sous une autre forme.

Il reste, pour en finir avec les opérations raptionnefles, à (féfînir le quotient de deux nombres imaginaires A = 'z-\- ^i, \' = 7! -F 5'/. Cette définition résulte de la proposition suiA"ante.

Si A' n'est pas nul, il existe un nombre imaginaire x + v/, et un seul, tel que son produit par A' soit égal à A. Ce nombre unique est, par définition, le quotient de la division du nombre imaginaire A par le nombre imaginaire A' : dire que l'on a

a-- ?.' = (x' + ^[){x^yi),

c est, en vertu des conventions précédentes, dire que Ton a

a'.r — pV = ',

le déterminant a ■ -+- '''j- de ces deux équations en o:, y n'étant pas

ax' 4- 3^' a'2 -f- p'=î

2'(8 i\ lunnrcTioN \ i.A ïiii:(iiiir, i»f,s i-o.m.iimns

nul. par Inpolhèse, ces écjiialions admettent une solution et une seule à savoir

le nombre imaginaire

est, par délinilion, le quotient de la division de a + |v/ par a'+|j'/'.

Lorsque a' et ^' sont nuls, les équations précédentes n'ont pas de solution, sauf dans le cas où a et fb seraient nuls, au([ucl cas, la solution est entièrement indéterminée. Pour les nombres imajinaires, comme pour les nombres réels, la division par o n'a pas de sens.

La règle donnée plus haut pour évaluer /" s'étend au cas oii n

est un entier négatif; en particulier /"' ou . est égal à — /'.

Lorsqu'il s'agit de nombres réels, les propriétés des fractions généralisées dont les termes sont des nombres réels quelconques , résultent de ce que la valeur d'une telle fraction est le seul nombre qui multiplié par le dénominateur reproduise le numérateur, et des propriétés de l'addition, de la soustraction et de la multiplication : ces diverses propriétés ayant été étendues aux nombres imaginaires, les propriétés des fractions dont les termes sont des nombres imaginaires s'en suivent immédiatement. Ainsi on peut, sans changer la valeur définie plus haut d'une telle fraction, multiplier ou diviser les deux termes par un même nombre, différent de o, etc.

323. — On a dit plus haut qu'un nombre imaginaire x -i- }''. était défini par le couple de nombres réels x, y-. En employant le langage expliqué dans le chapitre précédent, on peut appeler point ce couple de nombres réels ; la partie réelle x est l'abscisse, le coefficient}' de /est l'ordonnée de ce point. Le nombre imaginaire jî -t- y/ est dit VafJIxe du point dont les coordonnées sont X, y ; on dit que le point x, y) représente le nombre imaginaire X -+- yi- Dans bien des cas, il est commode de confondre le point et laffixe, de dire le point x -h yi pour dire le point dont les

tiiAi'irm: \. — nomiiues i.M.u;i.NAinKs îî^IQ

coordonnées sont .'', y. En ce sens, le point o est l'ori^nne des coordonnées. Quand y est nul, c'esl-à-dirc quand le nombre ima ginaire x -v- vi se n'duit à un nombre ré(^l, ce nombio est re[)résenlé par un point de l'axe des abscisses, rpie. pour celte raison, on appelle aussi axe des quanlités réelles, ou plus brièvement axe réel : J'emploierai les termes un peu incorrects axe positif, axe né (/ni if i^our désigner les demi-droites sur lesrpiolles sont situés les points rpii leprésentont respectivement les nombres |)ositil's et les noud)res négatifs.

Un nombre intremenl imaj/inair': yi est représenté [)ar un [)olnt situé sur l'ave des ordonnées, ou axe fies fjiianlilés iinremcnl imafjinaires, ou encore axe imar/inaire, par un point situé au-dessus de l'axe des abscisses, ou au-dessous suivant que y est positif ou négatif. Je dirai, suivant les cas, que ce point est situé sur l'axe des ordonnées positives ou sur l'axe des ordonnées négatives.

Il va de soi que celte représentation géométiique peut être regardée soit connue un simple mode de langage, soit comme une re[)résenlation géométrique véritable, si l'on attribue une réalité au plan, aux points, ... Elle fournit pour l'emploi des nombres imaginaires des figures qui sont extrêmement utiles pour s'orienter.

Au lieu de représenter le nombre imaginaire x -\- yi par un point \, on peut le représenter par le vecteur OA dont l'origine est l'origine des coordonnées ou le point o , et l'extrémité le point A ou .'• -h /y. Il est souvent commode de dire d'un vecteur quelconque qu'il représente un nombre imaginaire : on entendra que ce nombre est représenté par le vecteur 0\. équipolleur au vecteur considéré, dont l'origine est le point o.

La longueur du vecteur OA, ou la distance du point .c -h yi à l'origine des coordonnées, est ce qu'on appelle la râleur absolue ou le module (" du nombre imaginaire x 4- yi. Ainsi la valeur absolue d'un nombre imaginaire est la racine carrée aritbmétique de la somme des carrés de la [)arlie réelle et du cocllicient de / dans ce nondjre. La valeur absolue est un nombre essentiellement positif, sauf dans le cas où le nombre imaginaire considéré est nul, auquel

(M It me paraît di'sirajjle de rejelcr celle clornièrc expression, dans ce sens. I.c mot nindiilr a déjà, en matln'nialifpies. trop do sifrnificalions diverses, en dehors de celle-là.

25(> iMUoorcTio.N A i.A riii-.i"i;ii". nr.s i uxtkos

cas sa valeur absolue esl nulle : iorscjue le nuuibre imaginaire se réduil à un nombre réel, la valeur ab^oluc a la même signification que dans la théorie des noiïibce& réels. La valeur absolue d'un nombre purement imaginaire est la \aletir ab^^olue du coetficient de / dans ce nombre.

La valeur absolue d'un nc>nil)r'^ réel ou imaginaire r se représente par \z\.

h(ïr;iiimcnl d'un nombre imaginaire .»: -^ y/, représenté par le

point A, esl l'une quelconqiic des va^ leurs de l'angle dont le premier côté est la direction positive de l'axe des abscisses et le second coté la demidroile qui a la même origine et le même sens que le vecteur OA : cet

ariiumenl est déterminé à un multiple

Fi'^. 2'j. ' '■

entier de 2t |)rès.

Lorsque le nombre x h- yi se réduit à un nombre réel, c'eafc-à^ dire lorsque y est nul, son argument peut être pris égal à o si a* est positif, à — ~ ou à r si x est négalil"; largument d'un nombre

purement imaginaire y/ peut être pris égal à + . on à — '^ suivant que y est positif ou négatif.

L'argument de o est radicalement indéterminé.

La valeur principale de l'argument ou l'argument principal^ du nombre x H- yi est celui des arguments qui est compris entre — r. et 4- t: ; elle est entièrement déterminée lorsque x -+- y/ n'est pasun nombre négatif ou nul.

La valeur absolue et largiuncnt peuvent être encore définis comme il suit :

Etant donné le nombre imaginaire x + iy, ou les nombres réels X, y, il existe un nombre positif o et une infinité de nombres 5 formant une progression arithmétique dont la raison est 2-, qui vérifient les deux équations

p cos 6 = X, z sîn 0 = V ;

p = \'x- -t- y^ est la valeiu' absolue du nombre injaginaire x -+- yi ; cette valeur absolue étant déterminée, et étant supposée différente de o, l'angle 0 esl déterminé, à 2" près, par les formules con-

corda nies

cos 0 = , sin 0 = ''^

cjtii entraînent

Il suit lie là qu'un nombre imaginaire x -+- yl dont la valeur absolue et l'argiinicnt sont respectivement -; et ^ peut s'écrire

p (cos 0 H- (' sin 0) ;

c'est la forme lri(j()iioiuc(ri(/ac d'un nombre imaginaire. Inversement, pourvu que o soit positif, celte iorme représente un nombre imaginaire dont la valeur absolue est o et l'arajument 0, ou S augmenté de Ici niullipic entier de 2 ~ rpie 1 on \()U<ira.

Pour que deux nombres imaginaires soient égaux, il faut et il suffit que leurs valeurs absolues soient égales et que leurs arguments différent d'un multiple entier de 27:.

A chaque nombre imaginaire x h- yi correspond le nombre imaginaire X — yl qui est dit conjiKjur du premier; celui-ci est le conjugué du second, Deuv nombres imaginaires conjugués sont distincts, sauf dans le cas où ils se réduisent à im numbre réel. Ils sont représentés par deux points svmétriques par rapport à l'axe des abscisses ; ils ont même valeur absolue ; leurs arguments sont svmétriques.

Deux nombres imaginaires symétriques sont représentés par deux [)()ints s\ métriques par rap|)iirt à l'origine.

324. — Si les points A, //y. 20) A' rc[)ré^entent respectivement les nombres imaginaires a + jv/, a' -t- fji, la somme de ces deux nombres sera repn'sentée par l'extrémité du vecteur 0\ somme géométrique des vecteurs (JA, OA . La dill'érence a-f-^^/ — a -t-|>t sera représentée par le vecleivr qui va du point A . clont l'affixe est le nombre à retrancher a' -+- f> i, au point A d'affixe a -1- />/, on encore par l'extrémité A"' d'un vecteur partant du point O et éqiiipollent au vecteur A'A.

En particulier les longueurs des vecteurs ()\ , A'A sont les va-

IN rnoinc.TioN a i.a xiiKoniF. r)Es fo.nt.tions

leurs absolues de la somme et de l;i dill'( renoe des nond)res a -t- l^i, 7.' -+- ft,'i.

La valeur absolue de la somme ou de la diiTérence de deux nombres est au plus égale à la somme des valeurs absolues, et au moins égale à la dillercnce des valeurs absolues de ces deux nond^res.

Si l'on considère les deux nombres iuia-iinaires

p (cos e -h i sin 6), o' (cos 0' h ' sin 0')

dont les valeurs absolues et les arguments sont respectivement 6, 0, o'. S', leur produit est

zp' (cos 0 -h i sin 0) (cos 0' -f- / sin 0') =r= pp' COS 0 COS H' — sin 6 sin 0' -+- i (cos 0 sin 0' -+- cos 0' sin 0)' = pp' "cos (0 -4- 0') + / sin {d -h^') .

Ainsi la valeur absolue du produit de deux nombres imaginaires est le produit des valeurs absolues de ces deux nombres ; l'argu-

Fii

Fig. -G.

ment du produit de deux nombres imaginaires est la somme des arguments de ces deux nombres ; les propositions s'étendent immédiatement au produit de trois, quatre, .... facteurs.

La proposition relative à la valeur absolue d'un produit fournit -évidemment une nouvelle démonstration <le ce qii'un produit de nombres imaginaires ne peut être nul que si l'un des facteurs est nul.

iinnim: \. — nomuuks imam.n viiiks a.),)

Le |nuiliiil de iltiix iKiiiibiis conjugués est le caiic tle la valeur absolue de l'un ou 1 autre de ces nombres.

Le produit de deux nombres imaginaires ne peut être réel que si la somme de leurs arguments est un multi[)le de r..

La uuilllplicatlon du noud)re imaginaire que représente le point A , par le nombre imaginaire que représente le point A (Ji'j. 26) peut s'interpréter comme il suit. On fait tourner autour du pointO le vecteur OA' d'un angle égal à l'argument du \ odeur UA ; sur la direction ainsi obtenue on prend un point \ tel (pie la longueur OA" soit égale au produit des longueurs OA, OA'. On peut dire encore que le point A' s'obtient en construisant sur OA' un triangle OA'A" directement semblable au triangle OLA, dont le sommet L est le point d'affixe i .

En particulier la multiplication d'un nombre par /, ou ])ar — /, revient à faire tourner autour de 0 le vecteur qui représente le

nombre de l'angle H- ", ou — " •

Du théorème sur le produit de deux nombres résulte le théorème que voici sur le rapport.

Le rapport de deux nombres imaginaires a pour valeur absolue le rapport des valeurs absolues tie ces deux nombres et pour argument la dilTérence entre les arguments de ces deux nombres. L'argument du rapport des deux nombres représentés par les points A', A est l'angle dont il faut faire tourner le vecteur OA pour l'amener sur le vecteur OA .

Le théorème sur la multiplication appliqué à m facteurs égaux à cos 0 -\- i sin 5 donne \afornuilc de Moivrc

(cos 0 + / sin 6)'" =^ cos inO -h i sin mO,

qui peut, si l'on veut, être regardée comme un cas particulier de la formule

(cos 0, -i- / sin 0,) (cos 0^ -+- i sin 0^) ... (cos 0,„ + i sin 0,„) = cos (e, + 0, -4- ... -f- 0,„) 4- /■ sin (0, + 0, + ... -+- 0,,,).

En développant cos 0 -+- /sin 0 1'" par la formule du biiiomo, et tenant compte des valeurs de r, /', /', ..., puis égalant dans les deux membres les parties réelles et les i)arlies imaginaires, on

2j'| INTRODUCTION \ I \ TIIKOIIIK DES FONCTIONS

trouve des démonslralions immôdialcs des formules cos mO = ces'" 0 — '" ^"^-~ — '' ces'"-- 6 sin'- 0

m (ni — i) (m — 2) (m — 3i ,,,-s (^ -in, 1 — ^ ' — ^ — L^''' i ces'" * 9 sin*0-i-...

i.a.3.4 „ r m (m—i ) . .,A «» (w— ^i ) ('«— 2) in— 5) , , ,, ]

sin m6 = ces»'-' 0 suï 6 — ^ ^ ^ ^ ces"'— '0 sin'O + ...

= cos'"e 1^- tgo— ^ ^^^.^ 't^'o^ ...j.

déjà utilisées au u 197. De même la formule générale fournit les relations

cos (6, +û^+ ... -!-0,„)=: cosOj cosO, ... cos 0,„ (i — S.^H-S. — Sj; + ...) sln(0, + 0^-1- ...-i-0,„)=: cosû, cosO, ...cosO„, (S, — S3 + S.. — ...)

où S,, S., S3, ... drsignent la somme de tg S,, (g S,, ..., Ig 0,,,. la somme des produits deux à deux, trois à trois, ... formés avec les mêmes quantités.

En réunissant l».>s théorèmes relatifs aux valeurs absolues d'une somme et d'un produit, on obtient la ])roposilion suivante :

La valeur absolue d'une somme de produits de nombres imaginaires est inférieure ou égale à la somme des produits des valeurs absolues de ces nombres.

Ou encore :

Si l'on considère un polynôme dont les coefficients soient tous positifs, et si l'on remplace dans ce polynôme les variables par des nombres imaginaires, la valeur absolue du résultat est au plus égale au nombre positif obtenu en remplaçant les variables par les valeurs absolues des nonilires imaginaires qu'on leur avait d'abord substitués.

On n'a considéré jusqu'ici que des opérations rationnelles edectuées sur des nonfïbres imaginaires.

325. — La recherche de la racine /î"'""^ d'un nond)re imaginaire a -h j3t, c'est-à-^dire d'une solution, par un nombre imaginaire, de i'équation

(iiAi'iTiii: \. — M»\ii!i;i;s i\iA<ii\Aini:s 2ja

•peut être regiircléo coiniiic un eus [)arliculier de lu lecherchc des racines d'une équation dont le prcuiicr naembre est un polynôme, racines dont l'existence est aflirnice par le théorème fondamental de l'algèbro, mais la considcralion de l'argument permet d*ol)tcnir immédiatement le résultat.

Soient en eiïet /• et Q la valeur absolue et l'argument du nombre donné a -+-^3/, /5 et oj la \alcur absolue et l'argument du nombre cherché : on doit avoir

p" (cos nu) -+- i sin tno = r (cos 0 -t- i sin 0),

d'où

p" =r r, n«) = 0-1-2 /rr,

/.• étant un nombre entier arbitraire ; on en conclut o = [ r en don-