Let

nant au radical sa siguilicalinu arithmétique, puis o) =

O" r^ . ;• ces -j- ( SIH i

X est susceptible de n valeurs que l'on obtient en donnant à /,■ n valeurs incongrues suivant le module n, c'est-à-dire telles que la diiVérencc entre deux quelconques d'entre elles ne soit pas divisible par n, par exemple les valeurs o, i, 2, ..., n — i ; les /i valeurs de X sont figurées par n points situés sur le cercle de centre o et de rayon égal à ^ r, formant les sommets d'un polygone régulier de II côtés. La valeur absolue de la différence entre deux d'entre

elles est au moins égale à 2 '^r sin ^'" . On peut les obtenir en multipliant l'une d'elles, par exem[)lc

.,- / 0 . /• ( cos H

. . 0\ - i sm - )

par les n nombres distincts

■jI.-

cos -^

• . 2 Ar

( sm

<\m sont les racines do l'i-qurilion binôme

X" — I = o, et que l'ou appelle racines tî''"'" de l'unité.

On ol)scr\era que les racines //'""'« de a + fji peuvent s'écrire '^r |cos -h i sin j eu tlési|.'-nant par 0 l'un quelconque des arguments de a -+■ fji. Si l'ou choisit cet argument, la racine, en un certain sens, est déterminée par cela même ; c'est, comme on le \eria. une convention qu'il est souvent commode de faire.

326. — La considération des ensembles de nombres imaginaires se confond en quelque sorte avec la considération des ensembles de points qui représentent ces nombres : les mots ensemble borné, point d'accumulation, ensemlile clos, ensemble parfait s'entendront comme il a été expliqué au n" 282.

On peut considérer de même une suite infinie de nombres imaginaires ou de points; r,, r^, ..., :„, ... ; dire que cette suite a pour limite le nombre imaginaire Z, ou que r„ admet, pour n infini. Z pour limite, écrire

lim. r„ = Z,

cela signifie que, (juelque petit que soit le nombre positif -., il lui correspond un nombre naturel p tel cjue l'on ait, sous la condition // > /),

ou encore que le point *„ a pour limite le point Z, ou encore que la dislance entre le point Z et le point Zn a pour limite o, quand n augmente indéfiniment. Si l'on sup[)0se que l'on ait

',, = ^n + yJ, Z = X -+- Y/,

en désignant par Xn, y,,, X, ^ des nombres réels, cela revient à dire que l'on a

lim. Xn = \, lim. v„ = ^ .

Pour que la suite 0,, z.^, ... c„, ... ail une limite, il faut et il suffit que, à chaque nombre positif i, corresponde un nombre naturel n tel que l'on ait

pourvu que les nombres naturels p, y soient plus grands que n.

I IIAITniK \. — - \<»MltKi;S l.MAMN VIIU.S '}..}-

Si l'on a

liiu. :„ Z,

il est clair, à cause de la conlinuilé de la lonclion \'x- -h v^, que l'on a

lim. I :,. ; = I Z ; .

On reconnaît de même que, dans le cas où Z n'est pas nul, l'un <les arguments de r„ a pour limite un argument de Z.

On dit que Zn tend vers x , ou vers le point x , et lV)n écrit

lini. Z„ = a; ,

pour dire que la valeur absolue de :,^ tend vers -i- x quand m augmente indéfiniment n° 60 . L'expression <( le point x » [)rovient d'une interprétation de la représentation géométrique d'un nombie imaginaire dont je dirai un mot, en employant d'ailleurs le langage géométrique avec sa signification vulgaire.

327. — Considérons une sphère, dont le rayon, si l'on veut, sera très grand, tangente à l'origine des coordonnées au [)lan qui sert à représenter les nombres imaginaires : le lecteur pourra se représenter cette sphère comme étant au-dessous du [)lan. Soit 0' l'extrémité du diamètre de la sphère qui passe par le [)oinl ( ), origine des coordonnées.

A chaque point A du plan on peut faire correspondre le point A, de la sphère où celle-ci est rencontrée par la droite qui joint le point 0' au point A; inversement on peut l'aire corres[)ondre au jioint Al de la splière le point A du |)lan : ce mode de correspondance est bien connu du lecteur sous le nom de projection stéréogra[)liiqup : remarquons que le point O' de la sphère n"a pas de correspondant dans le plan.

Ceci posé, au lieu de prendre le point A comme représentant d'un nombre imaginaire x -t- yi on peut tout aussi bien prendre le point A,, sa perspective sur la sphère. Dès lors, quand la valeur absolue du nombre x ■+■ yi est très grande, en d'autres fermes, quand le point (a;, y) du plan est très éloigné de l'origine, il est clair que sa perspective sur la sphère est très voisine du [)oint 0' ;

Ta-jseht 11. — Introduction à la Tiiéori'î lies fondions H

•.>.")8 i> ruoitrcrioN a i.a thkôiiif. des ko.nctio.ns

tous les nombres (ionl la \aleiir absolue est très jurande soûl ainsi représentés par des points de la sphère très voisins du point 0', qui peut être regardé lui-même comme la limite de la représentation sur la sphère d'un nombre imaginaire donc la valeur absolue grandit indélinimcnt. x\u lieu du point 0', on dit le |)oint x . On comprend dès lors l'origine de ces façons de parler (( la variable, ou le point ./• -t- yi tend vers le point x ou s'approche du point X ».

Sans me servir, tlans ce qui suit, de la représentation sphérique des nombres imaginaiies, je conserverai ces façons de parler, qui sont commodes, pour dire simplement que \ V^ h- y- augmente indéfmiment. Cette façon de parler d'ailleurs se justifie d'une autre façon :

iSous aurons souvent l'occasion de faire correspondre au point Z ^= :r -f- l'y du plan le point

z X -h iy x- -^ y- a;' -t- y^ '

Le point ; se déduit du point r par la construction suivante : on

prend d'abord le symétrique c' du point z par rapport à l'axe des abscisses, puis le point inverse du point ;' par rapport au cercle de centre o et de rayon égal à i : ce point n'est autre que le

point , • Sans m'arrêter à ce mode de correspondance sur lequel

j'aurai l'occasion de revenir, on voit qu'à chaque point z du plan.

sauf au point o, correspond un point , du même plan, que lorsque z

est très voisin de l'origine, le point . en est très éloigné, et réciproquement. On supprime les exceptions du langage en disant que (1 le point X du plan » et le point o se correspondent par le mode de correspondance défini plus haut. En ce sens, dire que le point Zn=^ Xn -^ iyn tend vers le point x quand n augmente indéfiniment, c'est dire que le point - a pour limite le point o.

Observons que cette façon de parler « z,, tend vers co », ou celte façon décTire

lim. r„ = ce ,

(MAPITIIK \. ><»MI!RK> I M A<;LV \HtES 3^9

donne bien nn renseignement sur la valenr absolue de :„, mais qu'elle n'en donne aucun sur l'argument de :„. Dans quelque direction que le point r„ s'éloigne indéfiniment, que ce soil sur l'axe des abscisses, des ordonnées, sur une autre direction, à droite, à gauche, en bas et en haut, on le regarde comme tendant vers le même point y. . Dans ce motlo de langage, tous les éléments à l'infini du. plan sont regardé^ comme condensés en un point '• ; toutes les droites du plan, en particulier sont regardées comme passant par ce point.

.l'abandonne cette digression, uniquement destinée à expliquer des fa(;ons de parler, mais je veux encore remarquer que conformément à une convention déjà faite an n" 60. tout en écrivant

liin. :„ ^= X ,

l'entendrai toujours, eu parlant de la limite d une variable, que cette Hmitc est finie.