On peut considérer des séries

(L) Hi -f- lU — ... -+- U„ -r- ...

dans le.<quelles les termes sont des nombres imaginaires: je supposerai que l'on ait en général Un =r Xn — à',,. Xn et yn désignant des nombres réels ; une telle série sera convergente si la somme S„ de ses n premiers termes a une limite pour n infini : cette limite >era la somme de la série, ."^i la somme Sn n a pas de limite p^iur n inlini, ou si elle tend vers x , la série est divei'f/enle. Dire que la série [)récédcnte est convergente, c'est dire que les deux séries à termes réels

(V) 7, -h j2 -+- ■■• -hyn -^ •••

sont convergentes; si l'on désigne par X, Y Les soQimes respectives de ces séries, la somme de la série proposée est X -i- \i.

Pour que la série L soit converirente. il fiiut et il suffit qu'on

(') Vu lieu d'être regardés comme situés sur une droite, ainsi que dans la géonétrie projective.

•jGo IVTUOmr.TION A I.\ TIII'OUIK lli;S 1 D.NC.TIONS

puisse laii»^ correspoiulrc à clia(|ue numbre posilif £ un iioiiihre naturel // tel que l'on ail

sous les londilions 7 >■ y> > /J n" 56 .

On dit que la série (U est absohinienl convergente si la série à termes positifs ou nuls

H, -T- jÇ -h ... + n'„ + ...

formée avec les valevirs absolues ii\, u',,..., ii[^ des termes de la

la série Î\J] est convergente. S'il en est ainsi, il est clair que les deux séries à termes réels (X), (Y) sont absolument convergentes, puisque les valeurs absolues de leurs termes sont au plus égales aux termes correspondants de la série L ,, et il s'ensuit que la série L , supposée absolument convergente au sens qu'on vient de dire, est convevqenlc en ce sens que !a somme de ses n premiers termes tend vers ime limite quand n augmente indéfiniment. Au reste cette conséquence résulterait aussi bien de la règle générale qu'on vient de donner.

Si la série (U) est absolument convergente, les sommes des séries (\\ 'Y à termes réels, qui sont elles-mêmes absolument convergentes, ne dépendent pas de l'ordre de leurs termes : il en est donc de même de la somme de la série U}.

La valeur absolue de la somme des n premiers termes de la série absolument convergente ^U est au plus égale à la somme des n premiers termes de la série I ' ; il en résulte que la valeur absolue de la somme de la série U) est au plus égale à la somme de la série U'.

Le reste d'une série convergente à termes imaginaires se définit, comme dans le cas d'une série à termes réels. Si l'on a afTaire à une série absolument convergente, il suit de la proposition précédente que la valeur absolue de son reste est au plus égale au reste correspondant de la série (U').

En restant toujours dans les séries absolument convergentes, il est clair que les propositions qui concernent les séries à entrée multiple (n°* 105, 106, 107;, la règle pour la mulplication des séries fn" 114 , fondées uniquement sur des identités formelles qui subsistent que les termes soient réels ou imaginaires, et sur ce fait que

CIIAPITIII. V. NOMBUES IMAfil.NAlHICS 26l

la \alcur absolue dune somme est au plus égale à la somme des \alcurs absolues de ses termes, s'appliquent évidemment dans le cas où les séries ont leurs termes imaginaires.

327. — Les propositions du n*^ 139 s'étendent, en les modifiant run\cnablemcnt, aux séries à termes imaginaires.

Considérons une suite de nombres £,, •>,... £,,,••• tels que la série à termes positifs

soit convergente et remarquons d'abord que cette liypotlicse ejitraine l'e.xistence d'une limite pour 3« quand // augmente indéliniment. En cllet dire que la série précédente est convergente c'est dire que la série dont le n'ème terme est (on — £«+i) converge absolument : or, la somme des n — i premiers termes de cette série

est £, în.

Ceci posé, considérons, avec la série L , la série

On peut en désignant par S„ la somme des n premiers termes de la série (L), écrire

£,u, -+- uw, -h . . -h c„u„= EiSi -f- s..(S2 — Si) + ... -I-=„(S„ — S„,) = (^1 — ^■.) s, -h [t., — £3) s., -f- ... -H (î„, — '-„) S„, -H E„S„.

I.e premier membre aura certainement une limite pour n infini, si les deux quantités '£, — 3/ S, -h ... H- (£„, — £„) S„, et £„S„ont cbacune une limite.

Supposons que l'ensemble des nombres Si, S^,..., S,,,... soit borné, ce qui arrivera en [)artlcuiier si la série l est convergente; la série

sera conveigenle et même absolument convergente, comme il résulte iuHnédialciuent de l'Iivpotlièsc relative à la série '5 et de la règle n" 130: il suil de là que l'expression

(£, £,) Si -^ (£., — £,) s, -h ... + (£„i — £„) S„i

362 I>TRrtIH(.T1«»\ A l.\ THIilUIF, DRS FONCTIONS

a une limit-c pour n inlini ; il en cs^l de même de £„S„. si S„ a une Hmilc pour n infini ou bien si l'ensemble des nombres S„ étant borné, i:>n a lim. i„ t-= o.

Donc, en supposani conver^enlo la scric on peul alfirmcr la t i»nverf;ence de la st'rie r quand la série

est cimvergenle ; "}." quand la somme des n premiers termes de cette série reste, quel que soit /i, moindre en valeur absolue qu'un nombre positif fixe et que l'on a lim. c„ = o (').