Le produit infini

011 a„ désigne un nombre réel ou imaginaire est dit fihsolunicnl.

converrjenl si la série 7 a,, est absolument convergente, c'esl-à-

dire si la série à termes positifs ou nuls

a', -+- «2 + •••+"" + ••• oij l'on a posé à„ == \ a„ | est convergente.

f; Ces deux propositions sont dues à M. Dedekind, qui les a données dans ses Vorlesangen Dirichleis aher Zaldenthoerie . Voir dans le tome XXXM des Sitzungsberichle de l'Acadéraie des Sciences de Bavière tin Mémoire de M. Landau Lber die Grundlagen dcr Théorie der FakuUàtenreihen, d'où je les aï extraites.

CHAI'ITIŒ \. MtMlîUKS I M A<il \ AIUKS 203

S'il en est ainsi, on montrera que le produit des n premiers facteurs, à savoir

tend vers une limite quand n angincntc indéfiniment: cette limite est la r'ilcur du produit infini. Colle valeur est indépendante de l'ordre des facteurs. Elle ne peut être nulle que si un facteur est nul. Tout cela résulte inmiédiatcmciit du n° 119, dont les raisonnements s'a[)pli(|uent immédiatement au cas où les nondjres «„ sont imaginaires. I^cs propositions roncornant les produits infinis absolument convergents' à entrée multiple, les règles pour la transformation d'un produit infini absolument convergent en série,... subsistent ainsi que leurs démonstrations.

CHAPITliE VI