I .i^arc\sx, I , =arc t2;a; — arc t^a

quels que soie' t a et a; ; dx

= arc sin .r — arc sin n.

en supposant a et x compris entre — i et -+- i .

Je rappelle que les valeurs des fonctions arc tgx, arc sin x appartiennent toujours à l'intervalle (^ ' . 7).

On désigne souvent par le symbole

f{x)dx

la fonction primitive de la fonction y./: ; la valeur de ce symbole n'est déterminée qu'à une constante près. On lui donne le nom d'intégrale iiuléfinic. On peut le regarder comme une intégrale définie dont la limite su[K'rieure serait x et la limite inférieure arbitraire.

On écrit par exemple

= arc igx, I cos a" dx = sin.r, etc.

32 IMROPIT.TION A LA TllKOHIK IIKS KO.M.TIONS

C'est l'objet de l'un des chapitres du calcul intégral que de faire connaître des classes très étendues de fonctions f{x] dont on peut obtenir les fonctions primitives exprimées au moyen des fonctions algébriques, des fonctions e*", logx, tga*, arc tg.r, ... et des combinaisons de ces fonctions ; un autre problème, qui jieut donner lieu à des développements indélinis, est le sui\ant : des propriétés de la fonction donnée f{x) déduire les propriétés de la fonction

J'in

f{x)dx;

on peut, par exemple, chercher à retrouver les propriétés de la fonction logarithmique en partant de la définilion

log af = 1 ~ ,

et l'on comprend comment la fonction logarithmique, si elle n'avait pas été connue avant l'invention du calcul intégral, se serait introduite d'une façon nécessaire pour répondre à cette question : quelle est la

fonction dont la dérivée est ~ ? la fonction logarithmique aurait

ensuite conduit à la fonction e'^dont elle est la fonction inverse ; on pourrait en dire autant des fonctions arc tg x et tg x, etc. On conçoit ainsi comment le problème posé au début de ce chapitre conduit inévitablement à la défuiition de nouvelles fonctions transcendantes. L'étude des propriétés de ces fonctions, des relations qu'elles ont entre elles ou avec les fonctions précédemment connues, a, dans le siècle précédent, conduit à des résultats considérables, dont il est impossible de prévoir le terme.

252. — On a déjà eu plusieurs fois l'occasion de s'appuyer sur ce fait que, si l'on suppose la fonction y ;r! finie et susceptible d'intégration dans l'intervalle (ùq, a), la valeur de l'intégrale

j=rf{x)dx

appartient à l'intervalle [m a — «o^ -^If^ — '^'o]' ^"^ désignant par M et m les bornes supérieure et inférieure de la fonction/ x); il

rHAPlTnK VII. INTÉr.RALRS DKFIMES 33

est naturel de se demander si la valeur de J peut atteindre une dos bornes de l'intervalle auquel elle apfiartienl, la seconde, par exemple.

Si l'on considère une décomposition 'a^, a '^„i, «* de l'intervalle [d^, (i , J aj^iuirllent à l'intervalle borné par les deux nombres

(a, — ao)m, + (a, — a^)in.^ -h ... -h (a — a„,)/»„. (a, — rto)M, + (a, — fl,)M,+ ...-+-(« — fl„,)\I„.

en désignant par //?,, m.,, ..., //?„, M,, M,, .... M„ les bornes inférieures et supérieures de la l'onction dans les intervalles partiels ; puis donc que les nombres M,, iM,, ..., M„ sont au plus égaux à M, J ne peut être égal à

[a — a„)M = (oj — ajM -h (a, — a^)M -h ... + (« — a„i)M

que si l'on a

M, =}il, = ... =M„ = M.

Par conséquent le nombre J ne peut être égal à ^a — Aq^I que dans le cas oii, quels que soient les nombres dilTérents p, n appartenant à l'intervalle a^, <i), la fonrlion/ x a M pour borne supérieure dans l'intervalle p, g ; s'il en était ainsi et si l'on savait d'ailleurs que la fonction/'ic) est continue dans l'intervalle V/q, a\ ou que cet intervalle peut être décomposé en un nombre Uni d'intervalles partiels tels que dans cbacun d'eux la fonction fût, ou continue, ou croissante, ou décroissante, ou constante, on pourrait aflirmer que, dans l'intervalle a„,a , la fonction /V est constamment égale à M.

De même, pour que le nombre J fût égal à 'a — «£,;/??, il faudrait que, dans tout intervalle p, (f dont les limites p, q, supposées distinctes, appartiennent à l'intervalle ^a^, rt\ la borne inférieure de la fonction y .r fut égale à m.

Par conséquent, sauf dans les cas exceptionnels qui viennent d'être précisés, on pei:t affirmer que le nombre J est égal au produit de fi — '/y ()ar un nombre a compris entre ni et M, ces limites étant exclues. En particulier, si, dans tout l'intervalle «,,, a\ on a f 'X) ^ G, on peut affirmer que l'intégrale, en supposant a >> «0, est positive ; elle ne [)ourrait être nulle que si, tlans tout

Tannkht h. — Iiitroluelioii A la Théorie lies fonclioDs 3

3'| IMBODCCTIO.N A LA TIlÉORIE DliS FONCTIONS

intervalle contenu dans (aj, a), la borne inférieure de la fonclion était nulle.

Si la fonction / .r est continue, il y a n" 186^ un nombre | appartenant à l'intervalle [a^, a) tel que l'on ait

On peut donc écrire

on peut même supposer dans ce cas le nombre £ différent de a^ et de a ; soient en ell'ct x' et x" les tleux nombres de l'intervalle 'a^, a^ pour lesquels on a

/(x') = M, jKx") = m;

la fonclion continue/ x} — [J. étant positive pourx = x' , négative pour X = X , s'annule pour un nombre ç compris entre x' et x", par conséquent compris entre a,, et a et distinct de ces limites.

Si F 'x) est une fonction qui, dans l'intervalle a^, a , admette fix) pour dérivée, on aura

et l'égalité (i) deviendra

cette égalité exprime le tliéorème démontré d'une autre façon dans le n" 216 ; mais, à la vérité, la nouvelle démonstration suppose la continuité de la dérivée /{ic de la fonction F £c , continuité qui n'était pas supposée dans la première démonstration.

On peut aussi établir de la même façon une formule analogue à celle du n"230; je vais le faire en suivant une méthode duc à M. Darboux \, et qui, d'ailleurs a été utilisée déjà au n° 231.

{^ ) Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable (Journal de Liouville, 3" série, t. II, p. 290),

CHAPITHE Vil. I.VTfXRALES D£FiMCS 35

Soit ^ \l^ un |)ol}Tiome entier en / du de^ré ;/, et/ x] une ibnclionde ./-adinollant des dérivées première, seconde, ..., n-Hi/*^".

je suppose que la dernière de ces dérivées soit continue. Considérons la fonction de /

V(f) = oC" {l)f[^x -H ///) — ft9<"-'» (f)/ (x -+- ht)

-h /iV""*' (0/' ',3î -t- ^^) -^ •■• + (— 0"~* ^"~' r' (0/"'""*' (^ + ^

oii h est une constante et où ç.' ^/y, ci' /;, ...., &'"' / sont les dérivées successives du polynôme çj ; / ; ; en prenant les dérivées des deux membres par rapport à /, on trouvera (n°' 210. 231

On en déduira, en intégrant entre les limites o et i,

ou, on désignant le second membre par R„ et en remarquant que ç'"* (i^ est égal à ç'"' ^'o , puisque g*"* V ne dépend pas de /,

Si, dans cette formule, on remplace c^ / par i — / " et que l'on divise les deux membres par — i " i.:i ...//. on aura

, . . : ; ' " .- . hi) di.

253. — Soient 'j x e[J x deux fonctions Unies et intégrables dans l'intervalle an, a ; il en sera de niénie de lenr produit ; sup-

36 l>TRODLCTIO> A LA TIIKOIUE I»KS FONCTIONS

posons que, dans cet intervalle, la première fonction ç; x^ ne soit jamais négative, ou jamais positive, on aura

Z'{x)f[x)dx = u I ^(a)(/x.

en désignant par y. un nombre compris entre la borne inférieure m et la borne supérieure M de la fonction f x dans l'intervalle Oo, a ' ; sauf dan» des cas exceptionnfls, que la démonstration précisera suffisamment, on peut affirmer que le nombre 'j. est distinct des nombres m et M. Je supposerai, pour la démonstration, que la fonction '^ x ne soit jamais né^^ative. Les fonctions

ne sont, en vertu des hypothèses que l'on a faites, jamais négatives dans rinlervallc Oo, a. ; leurs bornes inférieures sont donc, ou nulles, ou positives; on a donc, d'après le théorème démontré dans le numéro précédent,

fi) ^\

I f '^{x)[f{x)-m]dx'^o;

on ne pourrait avoir le signe = dans la première inégalité que si la fonction

avait pour borne inférieure o dans tout intervalle contenu dans l'intervalle Oo, a ; de même pour la seconde inégalité.

D'ailleurs, les inégalités qui précèdent équivalent aux suivantes:

O {x) dx ^ i r ij^)f{x) (ia: < M I 'f- {x) dx, qui démontrent la proposition énoncée.

(*) On donne souvent à ce ibéorcme le nom de premier théorème de la moyenne.

<;il\l'ITHr. VII. IMKfiKVI.RS DKKIMES .>7

Si la l'onclion/ j; ost conlinue dans l'inlcivallc (i„, a , il y aura une valeur | appartenant à cet inleiva!l(> pom- la(piclle on aura

cl l'on pourra ccriie

o(.r)/(a-)</x=/($) o{x)dx.

S'il y a un intervalle contenu dans l'intervalle («0. «) J«"=^ lequel la fonction c x) ait une borne inférieure autre que zéro cl dans lequel la fonction conlinue /x ne soit pas constante, on peut aflirmcr que le nombre ç est dillorenl de no et de a. Dans ce cas, en elTcl, il y aura un intervalle contenu dans rintervalle considéré et dans lequel les fonctions M — f x), f{x) — m no s'annuleront pas et resteront supérieures à un certain nombre positif; il en sera de même du produit de ces fonctions par © (x) ; en sorte que le signe = devra être exclu des inégalités i ou 2) ; au reste, si l'on désigne par x' , x" les valeurs appartenant à l'intervalle (ao, a) pour lesquelles on a

les inégalités *> équivalent à dire que la fonction conlinue de x

• j{x)r o{x)dx-.r ■.[x)j{x)dx

'où les intégrales doivent être regardées comme des constantes', est positive pour x = x' , négative pour ce = x" ; cette fonction s'annule donc pour un nombre ç compris entre x' et x", distinct de CCS nombres et par conséquent de a» et de a.

En se reportant, par exemple, à l'expression considérée à la fin du dernier paragraphe,

on voit que celle expression, si la fonction de /, y("i '' (x h- ht), est continue dans l'intervalle (o, i), peut s'écrire

jn+i (a; 4- o/t) I (i -^ l)" dl = ,j \ /<"^'" (•'• -^ 6/0'

38 INTRODICTIO.N A LA THKORIE DES l"0>CTIO>S

5 étant un nombre compris entre zéro et un : en multipliant cette