FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

I. ruNCTIONS UVTIONNELLES : EXEMl'I.ES DE lONCIloNS ALGÉBRKJLES

331. — Il M V a aucune difficulté à transporter aux fonctions de variables imaginaires les définitions générales qui ont été données dans le Chapitre IV.

Considérons un ensemble E) de nombres imaginaires : on regardera ces nombres comme des valeurs qui peuvent être attribuées à une lettre z. Supposons qu'à chaque élément de l'ensemble : E / corresponde un nombre imaginaire qui sera regardé comme une valeur attribuée à la lettre z' ; z' sera une fonction f[z) de la variable z, déterminée dans l'ensemble (E). Les valeurs distinctes de z' forment elles-mêmes un ensemble (E) de nombres imaginaires dont chacun correspond à un ou plusieurs éléments de E ; si chaque élément de i E' ne correspond qu'à un élément de (Ej, c'est-à-dire si les valeurs de ." qui correspondent à deux valeurs distinctes de z sont toujours distinctes, la correspondance entre les deux ensembles E , (E'^ est parfaite et l'on peut regarder z comme une fonction ¥ ''z' de z' déterminée dans l'ensemble E ; les deux fonctionsy r , h" c' sont inverses Tune de l'autre.

Puisqu'un nombre imaginaire n'est qu'un système do deux nombres réels, on peut regarder les ensembles E , E comme des ensembles dont les éléments sont des systèmes de deux nombres réels, ou encore des points ; les \aleurs de z, z' sont les affixes de ces points. Une fonction de variable imaginaire, telle qu'on vient de la définii-. n'est rien antre chose qu'une corrcspon-

CIIAPITItl': \l. l-d.NC.TIO.NS lir. \ AltlAItl.KS IMWIINMUF.S ?Xk}

tlance entre deux ensembles de points, et l'on se trouve avoii répété, avec de lé^-^ères dilTércnci^s dans le langage et les notations, ce qu'on a dit an début du n" 286. (le qu'il faut entendre quanil «m dit que la fonction y, ;^ est continue on un [)oint d'accumulation de E f|ui appartient à cet ensemble, qu'elle est continue dans tout l'ensemble ^E supposé clos, le fait que la fonction est alors uniformément continue dans l'ensemble E , tout cela a été expliqué au 11' 286 : ou y a vu encore que s\ la fonction f c' est continue dans l'ensemble clos E\ et si la correspondance entre les ensendjles E . ^E' est [)arfaite, l'ensemble E' / est clos et la fonclion F(^'), inverse de la fonction f : , est continue dans rensemble , E').

Si l'on pose r = x 4- iy, z' = x -h iy', en désignant par x, y, x'. y' des variables réelles, deux éléments correspondants des ensembles (E), (E') peuvent se représenter par [x, y), ix' , y) et la délinilion de z' comme fonction de z revient à la définition, dansle même ensemble, de deux fonctions réelles

des variables réelles x, y. Si /(::) est une fonction continue en UU' point d'accumulation Cq ou (xq, y^ de l'ensemble ;^Ej des points X, y), les fonctions ':j{x, y), à{x, y) seront continues au point Xq, Jo . Ces mêmes fonctions seront uniformément' continues dans tout l'ensemble ( 1*^ , supposé cbjs, si la fonction/ c^ est continue dans cet ensemble ; il en sera de même de la valeur absolue de f z ou de la fonction i/.r''^ + j'"^* qw' atteiiil par conséquent son maximum et son minimum pour des points aj)partenant à CE.. Les façons d'écrire que voici

lin../(r)=:x,

fini. /(r) ^. .\,

Wm. f{z) = zo

uni à peine besoin d'c\[)lication. La première suppose que la lonclion /* -^ est définie dans un ensemble , E; dont n est un point d'accunudation ; elle signifie ([ue l'on peut faire correspondre à cliaque nombre positif l', si grand qu'il soit, un nombre positif;

oGf) iNTiioiii rrioN \ I \ riironir, dks roxnio.NS

tel que l'on ait | /' ,: | > l*, |X)nrvu que r appaiiiemie à l'enseml)lc et que l'on ait ! ." — a | -< £ : la seconde et la troisit-nie supposent que la lonciion f : est déiinie dans un ensemble contenant des nombres r dont la valeur absolue est aussi grande qu'on veut, el signifient : la seconde, qu'à chaque nombre positifs, aussi petit qu'on le ^eul. on peut faire correspondre un nombre positif P tel que l'on ait

sous la condition que , appartienne à rensend)le et tpie Ion ait j r j > P : la troisième, qu'à chaque nombre [)ositif P. aussi grand qu'on le veut, on [)eut faire correspondre un nond^re positif Q tel que l'on ait

sous la condition que c appartienne à l'ensemble et que l'on ait

En convenant de parler comme si le point x ajipartenait à l'ensemble (E) et d'attribuer en ce point la valeur \ à la fonction f z) on peut, au lieu d'écrire lim. fz^ = A, dire que la fonction

f'z est continue au point x .

Quand on dit d'une fonction y 2 qu'elle est continue au point r^ sans parler de l'ensemble des valeurs de z dans lequel la fonction est déterminée, on entend d'une part que la fonction f z est déterminée dans les environs du point Zf,, c'est-à-dire pour tous les points r qui appartiennent à un cercle de centre :„ et de rayon suffisamment petit, et, d'autre part, que, si on la regarde comme •étant définie dans cet ensemble de points, dont le point Zq est manifestement un point d'accumulation, elle est continue en ce point.

Rien n'empècbe de prendre pour l'ensemble E un lien T défini par les formules

x = g{i), Y = Il i), a<<<3:

<;'est un ensemble parfait. Définir, dans cet ensemble, la fonction z' =fz. comme une fonction continue, c'est définir x' , y' comme -des fonctions réelles continues de la variable réelle t dans Tinter-

iiui'iiiiK \i. — lONCrioNS m: variaiuks iMAr.iwii'.r.s ■\C)-j

valle a, fj ; l'ensemble des points :' ou x', y', constitue un lion (ï'.. En [lailanl du point / du lien T ou du lien (T') on entend le point de l'un ou di' rauln' de ces liens qui c.ori('s|)()nd à la ^a- Icur / du paramètre.

Si :' ne s'annule poiu- aucune valeur de / ajiparlenant à l'intervalle (a, ^S , si, en d'autres termes, le lieu T' ne passe pas par l'origine O des coordonnées, on pourra, d'une inlinitc de laçons, délinir l'ariiumenl de z' (.Duime une l'onction continue de t ; cette fonction sera déterminée si ion se donne la valeur (|u'ellc doit prendre en un point /„ du lien ^ï';, laquelle doit, bien entendu, être une des valeurs de l'argument de z' en ce point. Les autres Ibnctions répondant à la question s'obtiennent en ajoutant à cellelà un multiple de 2 7:. La dillérence entre les valeurs de lune quelconque de ces fonctions pour / = to et / = /i, ou, comme l'on dit, la variation de l'argument de :' quand on passe du point <P au point /, est l'angle, d(Tmi au moyen du lien T , dont le premier côté est la direction qui va de l'origine 0 au point /„ du lien (T) et le second côté la direction qui va de l'origine au point /, du même lien n" 292 .

Quand le lien T^ est fermé, il en est évidemment de même du lien ï' , et la variation de l'argument, lorsqu'on passe de l'origine a de ce lien à l'extrémité jj, confondue avec l'origine, n'est autre cliose que l'crdrc, multiplié par -j-, du point 0 par rappori au lien T .

Considérons uiainlenaiil une courbe fermée simple F , le continuum C intérieur à cette courbe et l'ensemble parfait C^ -t- ¥) dont les points appartiennent soit à i C) soit à [¥ j ; [)renons cet ensemble parlait pour l'ensemble E ; ; dire que la fonction

:' = t' -f- ly' =/{:) = 9'-ï", v) H- i'I (.r. v)

est définie ei continue ilans cet ensemble, c'est dire que les ibnctions réelles o(x, y), 'l'x, y) sont elles-mêmes définies et continues dans cet ensemble. Soit F') l'ensemble des points z' ou (oc', y'} qui correspondent aux points de ^F ; F') est un lien fermé; si ce lien ne ])asse pas par le point O, ce point admet un «^erlain ordre par rapport à F , qui n'est autre cbose, au facteur 2- près, que la variation qu'éprouve l'argument de z' quand le |)oint z décrit une fois la courbe fermée F]. Si cette variation

l.MUOItl (.TKt.N A LA TIIKOUIE DKS l'O.VC.TIO.NS

n'est pas nulle, dii peut allirmei' n" 315 que les deux l'tjiialions

r {•'-'> y) ^ o, V [.r, y) = o admeUenI une solution .r„, Vo) qui appartient au continuum iC ; on peut tout aussi bien dire que l'équation f!^z) = o admet une racine on rui ]ioint de ce même conlinuuni.

TjCs dcfiiiilions et |)roposilions concernant la convergence unil'orme des séries ou des produits infinis dont les termes sont desfondions d'une varinhie 179-186 se transportent sans difficulté au cas d'une variable imaginaire ; je ciois inutile lV\ revenir ; le lecteur ne peut avoir aucune peine à l'aire les petits changements indisjiensables, soit dans le langage, soit dans l'interprétation. l\ devra toutefois laisser de côté le n" 184. lelatif aux séries entières; c'est là un sujet très important sur lecpiei j'insisterai bientôt.

332. — Au point de vue où je me suis placé dans le précédent numéro, les fonctions de variables imaginaires ne présentent rien de nouveau; on a répété, en changeant un peu le langage, ce que l'on avait dit au n° 286 : on a pai lé dune fonction d'une variable imaginaire au lieu de parler de tieux fonctions (réelles de deux variables réelles. On ne conçoit guère qu'il puisse y avoir grand intérêt à rester à ce point de vue général. Les fondions particulières que je vais considérer seront définies, soit dans tout le plan, soit dans certains continuums complétés, ou non, par leurs frontières, de façon à conserver autant que possible les propriétés des fonctions d'une seule variable. Elles rentrent dans la classe des /ourlions analyti(/iies (pii seront définies ultérieurement dans leur généralité.

Par exem[)le, si l'on voulait rester dans l'ordre d'idées du numéro précédent, il serait naturel, en désignant jiar x, y des variables réelles, d'appeler fonction rationnelle entière de c = a; -f- /j,. ou polynôme en z, une expression de la forme <p(x,y) -+- if^(x,y:, en désignant par ç- ./;, }' , '!j x, y] des polynômes quelconques à coefficients réels en x, y, d'appeler fonction rationnelle de z une expression de la même forme, où ox, j , •!> x, y seraient des Ibnctions rationnelles à coefficients réels, des deux variables x, y; mais, encore une fois, en procédant ainsi, on n'aurait rien de plus qu'en considérant deux polynômes, ou deux fondions rationnelles en .'•, y.

i:ii \i'i I i;i. \i. - io\( iiiiNs ni: VAUiUiir.s ni \i;i.naii!1".> »')()

( )n ;i[)[)i'lli' t'oiicliitn lationiicllc cnlière en r = .»• -H yi, mi jml\iu)iii(! en :, une expression de la forme

où A„, A,, ..., A„ sont des nombres réels ou imaginaires; c'est là aussi une généralisation très naturelle des polvnomes à coefficients réels, ne dépendant que dune variable, l n |)ol\nome du degré II, tel qu'on vient de le définir, [)eul bien se me.ttre, en posant r = X" H- iy, sous la ronuc 'y ■'"' }' "+" ^'^ ^% }')' '^^^ ? "^"' J/ ' ^ v^' }'/ désignent des polynômes entiers en x, y à coefficients réels; mais ces polynômes sont très particuliers, comme on le voit immédiatement en faisant le compte des 2 /j -h 2 coefficients réels qui y figurent, à savoir les n -h i parties réelles et les n -+- i coefficients de /dans Ao, A,, ..., A„, tandis que, dans deux polynômes généraux à deux variables, du degré n, il y a (a H- i n 4- 2 coefficients. Une l'onction rationnelle en z sera le quotient de deux polynômes en - ; elle est bien de la forme ':> x, y -+- i'b x, y' où o et 'i> sont des jonctions rationnelles de x, y, mais ici encore (j et 'b sont des fonctions rationnelles très particulières de x, y, comme on le voit toujours en faisant le compte des constantes.

Plusieurs i)ropriétés des polvnomes réels s'étendent innuédiatetemcnt aux [)olynomes à roeiïicients et à variables imaginaires.

Tout d'abord un polynôme en :. dont on donne les coellicicnls, est évidemment une fonction de r délinie pour toute valeur de -, ou, comme on dit, dans tout le plan qui sert à représenter cette variable.

Les remarques du n" 173 sur la continuité au point o, sur la façon d'ordonner un polynôme quand on veut l'étudier aux environs de ce point, sur l'impossibilité qu'un pnjvnome soit nul pour toutes les valeurs de la variable sans être identiquement nul, sur la condition relative à l'identité de deuv polynômes, la proposition d'après laquelle la valeur absolue d'un polvnome dé[)asse tel nombre positif que l'on veut, potiivu (pie la \alcur absolue de la variable dépasse im nombre positif, convenablement cboisi, la notion de la dérivée, de racine simple ou multiple, la continuité en un point quelconque s'établissent exactement comme dans le cas d'une variable réelle. Seules, les propositions concernant le signe

•>.~l) l.MKOldCTKt.N A I.A TlIKOlUi: IlKS 1"0>T.TI(>>S

du |>olvnonie, ou son mode de croissance, n'ont pas Ici leurs équivalentes.

D'un autre coté, la règle de la division algébrique et ses conséquences s'appliquent sans modification. 11 en est de même des propositions contenues dans le n" 174 et des formes qui permettent d'étudier une fraction rationnelle dans le voisinage de o, d'un point quelconque, pour les valeurs de la variable très grandes en valeur absolue, ou, comme Ton dit, dans le voisinage du point oc , du calcid des vraies valeurs dune fraction rationnelle

333. — Les propositions relatives aux polynômes doivent être complétées par la déiiionsl ration du théorème fondamental de l'Algèbre, énoncé au ii" 321 sous une forme purement algébrique, qu'on peut remplacer par la suivante :

Tout polvnome en z, à cocflicients réels ou imaginaires, admet une racine réelle ou imaginaire.

Cette proposition résulte immédiatement des observations quiont été faites au n" 315.

Considérons en effet, en posant toujours c = x •-+- iy, le polynôme en -

z' =/{:) = A„c" ^ A,r"-' + ... + A„ = o{x, y) + il [x, y).

Désignons en général par <ii,, y.k k = o, i, -2, ... n la valeur absolue et l'argument du coefficient Aa-, par /• et par 0 la \aleur absolue el l'argument de r, par /■ et 0' la valeur absolue et largu— ment de r . on aura

./■' =:= ;■' cos 0' ^=^ fi„r" cos (vy -+- fiO) -H air"~^ cos ^, -+- [n — i)^] -}- ...

-f- o„ cos a„, y' = r' sm 0' = a^^r" sin (a^-^ -f- n^) -+- a,?'""' sin "•, -h (n — l'ift -4- ...

-4- a„ sin 3„.

On suppose essentiellement que a„ n'est pas nul. On voit tout de suite que le rapport

r' . / t aa, , ^^

rn= «0 V * "^ r a ^°^ ^""o — «^ -+- «) -H

riiAl'iilii: M. — KoNcrio.xs iti. \ Ai;iAiti.i> imai.i.n ui;i> H' i

est Irrs voisiu tic o^^ quand /• ol un iiniiiliic posilir Ircs yraiid; et que 1 on peut par cûns»'(|iienl éciiic

cos 0' -^ cos ('„ -h n^) -h ^ siii 0' =- sin (a,, -;- nf)) -+- r, ,

en ilcsifrnant par -. r, des noml)res réels <[u\ sont aussi pelits qu'on le veut, en valeur absolue, pourvu que /• soil sullisammenl grand; l'une des valeurs de 6 qui vérifient les éqnation'i pré-ccdenles est alors très voisine de a^ -f- iij.

Considérons un nombre [)Osilil \\ très grand et le cercle (F; de ravon R dont le centre est lorigine ( ) des coordonnées. Soit C) le conlinuuni inli'rieur au cercle F ; ^i II est sutlisauiment grand, la valeur absolue tlu polynôme z' est clle-niécie très grande sur F et pour les |)oints extérieurs à !•" ; eu particulier :' ne s'annule p<.inr aucun point do F . Si Ion (ait croître 0 de n à :> ~, le [)oint

z ^^ H (cos 0 -t- / sin '0

décrira le cercle F dans le sens direct, et le point correspondant :' décrira un lien lermé correspondant F ; d'après ce qu'on vierit de dire, on peut prendre pour l'argument 7 de r une valeur voisine de y.o + nO ; cet argument 7, ain.-i défini, sera une fonction continue de 5: quand le point r dt'crit i' chvis le sens direct, la variation de l'argument de z' est alors voisine de 2ii~: elle est exactement égale h 2n~ puisqu'elle doit être un multi[)le de 2~; l'ordre du point o par rapport au lien ferme F est n. Fa fonction f z s'annule donc pour un point intérieur au conlinuurn C .

Ainsi qu'on le sait, il résulte de là très aisémcnl que le jiolvnome f'z: admet ii racines, en comptant cbaquc racine autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité: si l'on désigne par r,, Zi, ..., Zp les racines distinctes de f'z et par a,, a^, ..., a^ leurs ordres respectifs de multiplicité, on a, identiquement en z.

Inversement, une pareille identité exige i\\\e Ci. z^, ..., Zp soient les racines de /' : et a,, y.j, .... y.,, lenr- ordres de multiplicité; les

I> I lUMtl Cl ll»\ \ I \ TlIKOfllK IIKS lO.NC.Tin.NS

iionihros :,. -.., ... :,,, a,, aj. ... a,, sont (lélcniiinés quanti on se donne les coelTicienls Ag, A,, ..., A„. Si ces coelïicients sont réels, à chaque racine imaginaire non réelle:, correspond une racine imaginaire conjuguée avec le même ordre de mulli[)Iirilé. Il est maintenant aisé délahlir la jtroposilidn suivante.

334. — Soit (^K une courbe fermée simple qui ne passe par aucun lies points z^, r^, ..., :,,\ la variation de l'argument de/(r, quand ■le point z décrit une lois la courbe , Fy dans le sens direct est égale au produit par •>. ~ du nombre de racines de l'équation f z = o situées à l'intérieur tic V , chacune des racines étant comptée autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité.

En elTet, considérons d'abord le cas simple oii F est un cercle décrit de l'une des racines comme centre, de r, par exemple, et qui ne contient ni à son intérieur ni sur sa circonférence aucune autre racine.

Partons de la formule qui tlonne la décomposition de /r en facteurs ; l'argument de f z doit être déhni comme une fonction ■continue sur le cercle; on peut, pour cola, le regarder comme la somme des arguments des facteurs, pourvu que ces arguments soient •eux-mêmes des fonctions continues sur le cercle. La variation de

l'argument defz,, quand le point r décrit le cercle une fois est la somme des variations des arguments des facteurs ; parmi ces facteurs, on n'a pas à tenir compte de la constante A. La variation de l'argument de r — z., est l'angle décrit par la direction qui va de Zikz quand j décrit le cercle ; cet angle est manifestement

est nulle; au contraire l'angle que décrit le rayon qui va de r, à r est égala 2~ quand le point r décrit le cercle dans le sens direct; la variation du facteur [z — Ci)*' est 2 ~ai ; dans ce cas particu- .lier, la proposition est établie.

Considérons maintenant ime courbe fermée simple F conte-

Fiï.

nul : la variation des arguments des facteurs 'z

»ii\iMTUi: XI. — in>( TioNs i»i: \AKi\i!i.i:s imm.inmuks 27. >

iianl à son inléricur plusieurs racines dislincUîs z,, z^,..., z,, : aucune autre racine ne doit se trouver d'ailleurs ni sur K , ni à l'inlérieur de F ; regardons les points ri, z>,..., z,, comme les centres

de cercles Vi , i^l'^i, V,, assez pelils pour être tous intérieur^

à I' et extérieurs les uns au\ autres: regardons le point fyz) =r zi X, y) -h i'J^{x, y comme l'image du point z = x -\- iy; les propositions établies au n" 315 s'ai)plif(uent immédiatement : les écpialions/ -', = <>, ou les équalions '> ./;, y ^= o, •!> (x, y^ -= 0 ne sont vérifiées pour aucun point du continuum obtenu en supprimant il<- rintérieur (le I" les points qui appartiennent aux cercles Kl . I\' — , l'V . ni [lour aucun point de la frontière de ce continuum : l'ordre total du point o par rapport à l'image de la courl>e 1' et (ie> ccnics l'j , l'j ,..., 'Vp) est nul; on peut dire aussi que l'ordre du point o par rapport à l'image de F est égal à la sonmie des ordres du même point par rapport aux images des cercles, toutes les images étant décrites dans le sens qui correspond au sens direct, ou encore que la variation de l'argument de f z quand le point r décrit la courbe F dans le sens direct est égale à la somme des variations de l'argument de f z quand le point z décrit daii^ le -cn> direct les cercles F\ , F^ , ... F^/ , c'est-à-dire à 'i~ ai -r- 7.^ -H . . . h- t.,. .