l ne loncliuii ratiuiuielle de
sii)
est le quotient de doux pol\ nomes en z, '> - et 'l z . Il est clair qu'une telle l'onction est continue pour chaque point z, saul" pour ceux qui annulent 'l>-z , lesquels d'après le théorème fondamental de l'algèbre, sont en nfMubrc fini. Soit a un tel point.
( >n a vu au n" 174 comment on pouvait étudiei- la fonction I-n aux environs du |)oint a, conmient en particulier celte fonction a\ait une vraie vnlcur lors(pie '/ était une racine commune à o z et à •> : , d'ordic de iiniltlplirité dans ':, 'z au moins égal à l'ordre de n)ulti()licilé dans -l : ; il est as.sez naturel d'attribuer alors à la fraction rationnelle cette c viaie valeur » pour r =a; lorsque a n'est pas racine de o z , ou e^l [»our c : une racine d ordre de undliplirili- moindre (jiie pour > : , l.i fraction lalion-
lAît.-JKBT il — Inlio.lartioH ;i la Tliiiorie de» fonction» IS
27'l INTRODUCTION A LA THÉORIK DES FONCTIONS
nclle se met sous la forme
où A, Al,... A3(i sonl des constantes réelles ou imaginaires et où 9i (2^). '-î'i(^) sont deux polynômes en z dont le second ne s'annule plus pour z = a; cetic formule montre de suite que la valeur absolue de la fraction augmente indélinimenl quand ce point z s'approche du point a; en d'autres termes, on peut écrire
Lorsqu'une fonction rationnelle peut être mise sous une telle forme, on dit que le point a est un pôle dordre de multi[>licité a de cette fonction, un pôle simple si a est égal à i. Le coelTicient ^x—i q^' jo^i6 un rôle très particulier, comme on le verra plus tard, s'appelle le résidu de la fonction relatif au pôle a.
Si l'on convient toujours d'attribuer à une fonction rationnelle
fj^ sa vraie valeur, lorsqu'elle en a une, rien n'empêche de
supprimer d'abord les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, en d'autres termes de regarder Ciz) et ^{z) comme des polynômes jDremiers entre eux ; les seuls pôles de la fraction sont alors les racines du dénominateur, et l'ordre de multiplicité d'un pôle a est l'ordre de multiplicité a de a regardé comme racine de ti'(z) ; dans ce même cas, <}^i [z) est égal au quotient de la division de ^(z) par (2 — a)^.
336. — La définition de toute fonction y = f[x) de la variable imaginaire [x] (') équivaut à une correspondance entre le point x et le point y, le premier étant naturellement assujetti à rester dans l'ensemble (E) où la fonction fi'x) est définie. Il sera bon de se rendre compte de la nature de cette correspondance, pour quel-
P; Jusqu'ici lorsqu'il s'agissait d'une variable imaginaire les lettres x, y étaient employées pour désigner la partie réelle et le coefficient de i de celle \ariablc, ou, si l'on veut, les coordonnées^du point dont la variable était l'affixc. J'abandonne celle babilude, et j'emploierai aussi bien les IcllrC' .7-, y pour désigner des variables imaginaires qurlLonrjiK.'s.
(iiAi'iriiK \i.
KO.NCTIO.NS I)K VAUIAItLES IMAi.n.VIKKS
qucs-uncs des fonctions de variable imaginaire déjà définies. Il peut être commode de se ligurer les variables x. y comme représentées dans des [)lans distincts, le jt/an des x et le plan des y; parfois aussi, il est commode de se figurer ces deux plans connne coïncidants.
Si la fonction y .e est un polynôme, elle est définie dans tout le plan; ù cliaque point du |)lan des x correspond un point du
plan des y. Si la fonction y = j / { est une fonction rationnelle
ou le quotient de deux |)olynomes, que l'on peut supposer premiers entre eux, elle est définie pour tous les points du plan des x, sauf pour ses pôles, où l'on peut dire qu'elle est infinie. Ces pôles sont en nombre fini.
Si l'on considère la fonction y = x -{- a. oh a est une constante, et si l'on figure le point a, on voit que cette fonction fait correspondre à chaque point ./• un point y, extrémité d'un vecteur ayant le point x pour origine et équipollent au vecteur qui a pour origine le point o et pour extrémité le 0 point a. En d'autres termes le point y ^'&- '^^•
correspondant à x se déduit de ce dernier par une lianslaiion égale à ce vecteur.
Soit maintenant y = ax, et supposons d'abord a réel. La correspondance entre le point x et le point y est une homolhétie dont le
Fig. 29. Fig. 3o.
centre sera le point o et le rapport le nombre a ; l'homothétie est directe ou inverse suivant que a est positif ou négatif.
Si a == /• cos 5 -r- / sin 0) est imaginaire, ou pourra remplacer la relation v = ax par les deux relations
y = .r'(cos 0 -+- I sin 0).
X ■= rx
2'jG I.MIlOmtTION A I A TIlKlUtlK KRS l(».N(.Hit>S
La picmièie fera corres|)ondrc au point ./• le point x par homolliétie diioclc. La seconde fera correspondre au point ./ ' le point qui s'en déduit en faisant lourner de laufrle 0. autour du point o, le vecteur cpii part de ce même point et aboutit au point .<•'. Il est clair que la correspondance entre v et x est une correspondance par similitude. Le point o est le centre de similitude.
Soit r = ax -t- 6 : on substituera à cette relation, les deux suivantes
x' ^= ax , y = x' -f- Il
qui définissent deuv correspondances déjà étudiées; il e>l clair, d'après cela, que la correspondance définie par l'égalité r T=ax -^- h est une correspondance par similitude, (l'est la correspondance par similitude directe la plus générale possible, si l'on ne fixe pas les
constantes a, h. Le centre de similitude est le point •
On a dit déjà quelques mots n" 327 de la correspondance définie par la relation y = .. : considérons d'une façon plus générale la relation v = et sup[)Osùns d'abord que '/ soit positif.
On déduira le point y du point x de la façon sui\ante : on décrit du point o comme centre un cercle de rayon égal à \'a, et on prend le point X symétrique ' du point x par ra])port à ce cercle, puis le point y symétrique du point x par rapport à l'axe des abscisses ; ces deux opérations peuvent d'ailleurs être interverties.
Si a = /■ cos oj H- / sin o) est imaginaire, on remplace la relation y = par les deux relations
X (cos (0 -h ( sin u>)
dont la jiremière revient à une rotation autour de l'origine, la seconde à une symétrie par rapport à Taxe des abscisses suivie
(*; C'est-à-dire un point situé sur la dcnii-droilc qui j)art du centre et qui contient le point x. de manière que le produit des distances des points x, x' au centre soit égal au carré du rayon du cercle. Le point x' peut être aussi regardé comme le second point commun à tous les cercles passant par le point .r et orthogonaux au cercle donné. Cette déHnition s'appliquerait encore si le dernier cercle était remplacé par une droite et conduirait alors à la svmc'trie ordinaire.
I.IIAI'ITKK M. — lONCTKt.NS l»K VAIll A lil.l-.S I ^ UMNAinF.S 277
(l'une symôtric |)ar ia|)|)oil à un cercle de rayon \ r ayant son cenlic à roriyin(\ La rotation autour de l'origine et la syinclrie par rapport à l'axe des x reviennent à une symétrie par rapport à une droite convenable passant par l'origine. On déduit do là aisément, en remarquant que la translormation y =^ - laisse inaltérés
les deux points \'a et — \ûi, que cette transformation revient à une symétrie par rapport à la droite qui joint ces deux points, suivie d'une symétrie par rapport au cercle décrit sur cette droite comme diamètre.
Une telle Iranslornialion change en cercles les cercles et les droites qui ne passent pas par l'origine, elle change en droites les cercles et les droites qui passent par l'origine.
Soit la fonction
ha' — ah'
ax H- 6 a'x + h'
où l'on suppose a' et ba' — ah' dilTérents de zéro ; on remplacera la transformation précédente par les transformations suivantes
„ ha' — ab' I
Il , «
dont la première est une translation, la seconde une symétrie par rapport à une droite suivie d'une symétrie par rapport à un cercle, la troisième encore une translation ; cette décomposition montre que la transformation proposée, d'une part n'altère pas les angles, d'autre part change les droites et les cercles du plan des .'■ en droites ou en cercles dans le plan des y. Si on convient de regarder les droites d'un plan comme des cercles qui passent par le point oc de ce plan, on dira que la transformation considérée change les cercles en cercles; il en est évidemment de même de la transformation inverse
a'y + n qui est de même nature que la proposée.
278 INinODlCTION A L.V TU KOHI F. I»ES FONCTIONS
La propriôlé de la transformation considérée de changer les cercles en cercles résulte aussi de la relation
Vp
— Jl
X — Xi X — Xi
,Xs — X
' Xs~ X
qui lie évidemment quatre points x, x^, x.y, x^ à leurs correspondants r, Vi, jo, j3 ; notons, en passant, que cette relation prouve que la transformation considérée est déterminée quand on se donne trois points Xy, x.,, x-^ et leurs correspondants Vi, y>, y-i. Elle montre, en considérant les valeurs absolues des rapports qui figurent dans les deux membres, que si le point x décrit un cercle tel que le rapport des distances d'un point quelconque de ce cercle aux deux points fixes Xi, x>, soit constant, c'est-à-dire un cercle appartenant au faisceau dont les points Xa, x^ sont les points liniifes (au sens de la géométrie des cercles), le point y décrira un cercle tel que le rapport des distances d'un quelconque de ses points aux points Vi, y., soit aussi constant, c'est-à-dire un cercle appartenant au faisceau de cercles dont les points ji, y-i sont les points limites. La même relation, en considérant les arguments au lieu des rapports, et en se rappelant les théorèmes de géométrie sur les angles inscrits, montre que, si le point x décrit un cercle passant par les points Xi , Xi, le point y décrira un cercle passant par les points ji , y 2. On voit ainsi que la transformation considérée change un faisceau de cercles en un faisceau de cercles, deux faisceaux de cercles tels que les cercles du premier faisceau soient orthogonaux aux cercles du second faisceau, en deux faisceaux qui jouissent de la même propriété ; cela résulte aussi du principe de la conservation des angles, en vertu duquel il est clair que deux cercles orthogonaux doivent se changer en deux cercles orthogonaux. La figure formée par un cercle et deux points symétriques par rapport à ce cercle se change en un cercle et deux points symétriques par rapport à ce cercle.
Au point oc du plan des x correspond le point -7 du plan des y ; les droites du plan des x ont pour transformées des cercles du plan des y qui passent par le point -7 ; le point — -7 du plan des x a pour correspondant le point oc du plan des y ; les cercles du
(•.HAl'lTIM-. M. 10>(;T10>S DE VARIAItLES IMAGl>AIRi;S 279
plan drs ./• qui passent ])ar le point — , ont pour Iranslormes des droites du plan des y, les droites du plan des x qui passent par le point , du plan des x ont pour tiansfornices des droites
du i»lan des y qui passent par le point -7. Soient C, un cercle du
plan des x et C,^ le cercle correspondant du plan des y. Le centre du cercle C,j est le point correspondant, dans le plan des y, du
point du plan des x qui est symétrique du point — ^, par rapport
à C,. Si le cercle C^ contient à son intérieur le point — ^t, i intérieur du cercle C, a pour transforme l'extérieur du cercle Cy, etc.
337. — Dans les correspondances précédemment étudiées, à dcu\ points distincts du plan des x correspondent deux points distincts du plan des y. La correspondance entre les deux plans est parfaite, si toutefois on convient de parler du point x d'un plan comme d'un point proprement dit. Il n'en est plus de même pour une correspondance telle que celle qui est définie par l'égalité y = xK II est clair qu'aux points x et — aï ne correspond qu'un point du plan des y.
L'ensemble des points x- recouvre deux fois le plan des y. Inversement il faut et il sufiit que deux points x, x' soient symétriques par rapport au point o pour qu'ils aient même correspondant y.
J'insisterai un peu sur la correspondance entre x et y, et sur la définition de v'y : c'est que les considérations sur lesquelles est fondée cette définition, se retrouvent dans une foule de cas, avec cpielques différences que le lecteur reconnaîtra de lui-même.
ÏNe considérons {fig. 3i) que le demi-plan des x qui est à droite de l'axe des ordonncesou, si l'on veut, les points x pour lesquels la partie réelle de l'affixe est positive : il est clair que deux points distincts de cedernier plan auront pour correspondants dans le plan des y des points distincts ; il n'y a exception que pour les points mêmes de l'axe des ordonnées qui ont leurs correspondants sur l'axe négatif dans le plan des y. Si l'on imagine un pointa: décrivant l'axe des ordonnées, de bas en haut, le point correspondant y décrira deux fois l'axe des quantités négatives de — x^ à o puis de o à — <z) ; un même point de l'axe négatif dans le plan des y corres-
