INTRODUCTION A LA TUKORIE DES F0>H;TI0NS

l^ond mauifeslcmenl à deux points de l'axe des ordonnées du plan lies X. symélriqucs par rajiporl au point o. On reconnaît d'ailleurs qu'un point du demi-plan des x situé très près de l'axe des ordonnées a pour correspondant un point y situt' au-dessus de l'axe négatif ou au dessous de cet axe suivant cjuc le point x est luimême au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses dans son plan. Sauf les points situés dans le plan des y sur l'axe négatif, chaque point y est le correspondant d'un seul point du demi-plan

des X : ce point a pour affixe \'r (ces h- t sin - j en désignant par

r la valeur absolue et par 0 l'argument principal de y. Les points de Taxe négatif (du plan des y sont les correspondants de deux

Fig. 3..

points du plan des X: dont les alTixes sont purement imaginaires et symétriques.

Imaginons qu'on pratique dans le plan des y, le long de l'axe négatif une coHp«?/-e allant du point o au point — co ; quand le point X se meut dans le plan des x, d'une manière continue, sans jamais pénétrer dans la région située à gauche de l'axe des ordonnées, le point y se déplace d'une façon continue dans son plan sans jamais traverser la coupure ; quand le point x vient affleurer la moitié supérieure de l'axe des ordonnées, le point y vient affleurer le bord supérieur de la coupure, qu'il est ainsi naturel de rattacher à la partie du plan des y qui est située au-dessus de l'axe des quantités négatives ; de même, quand le point x vient allleurer la moitié inférieure de l'axe des ordonnées, le point y vient affleurer le bord inférieur de la coupure du plan des y que l'on rattachera ainsi à la partie inférieure du plan des y. Les deux bords de la coupure ont étc- figurés par deuv droites parallèles rapprochées ;

r.tlAF'nnK XI. l-O.XCTIONS DE V.VUIARLFCS IMAfilWlUKS

•iSi

ces (lcn\ hords sont cii léalilé confondus avec l'axe négatif; ils ne sont distincts que dans la pensée ; le bord supérieur est regardé comme correspondant à la moitié supérieure de l'axe des ordonnées, du plan des x, le bord inférieur comme correspondant à la moitié inférieure du même axe. Le plan des y, ainsi découpé, peut être regardé comme correspondant parfaitement à la moitié de droite du plan des x.

Si le point. r décrit, dans le plan des x{fuj. .'^2), une dcmi-droile partant du point o, le point j = x^ décrira, dansleplan des y, une demi-droite partant du point ode ce plan ; son argument sera double de l'argument de la première demi-droite ; si celle-ci tourne autour

du point o du plan des x de manière que son argument croisse de — - à -, la demi-droite du plan des y tournera autour du point o

de façon que son argument croisse de — ~ à ~ ; la première aura décrit la moitié du plan des x qui s'étend à droite de l'axe des ordonnées, la seconde tout le plan des y ; à deux positions distinctes de la première correspondent deux positions distinctes de la seconde, sauf pour les doux directions d'argument — ' . -+- ' . opposées sur l'axe dos ordonnées ; à ces deux directions ne correspond dans le plan des y qu'une seule demi-droilc. qu'il est très naturel de dédoubler comme on l'a expliqué, en faisant correspondre le bord supérieur de la coiqiure à la demi-droite de l'axe des x dont

l'a rffu ment est H — et le bord inféiicnr à la deini-dioite dont i'argument est — " •

282 I.M'HOItrCTIO.N A LA ïHÉoniE DES FO>CTIO>S

Considérons encore, dans le plan des ;r, le demi-cercle décrit du point o avec le rayon /•, situé à tlroite de l'axe imaginaire et rencontrant cet axe aux points a, b. Supposons que le point x décrive ce demi-cercle du point le j)lus bas b au point le plus haut a ; l'argument de X variera de — à -h - ; le point correspondant y décrira le cercle de centre o, dans le plan des y. et de rayon ;*- du point b' situé sur le bord inférieur de la coupure au point coïncidant a du bord supérieur de la coupure.

Puisque la correspondance entre le demi-plan des x situé à droite de l'axe imaginaire et le plan des y découpé comme on l'a expliqué, est parfaite, on peut au moyen de cette correspondance, définir X = s/y comme une fonction univoque de y.

Cette définition équivaut aux suivantes : \^y est, pour chaque valeur de }', la racine carrée de y dont la partie réelle est positive.

Si l'on choisit pour l'argument de y la valeur principale de cet argument, l'argument de \/y sera la moitié de l'argument de y, la valeur absolue de s'y sera la racine cariée arithmétique de la valeur absolue de y.

Ces deux définitions tombent naturellement en défaut quand y est un nombre réel négatif, (juand le point y est sur la coupure : pour les compléter, il faut dire si y appartient au bord supérieur ou au bord inférieur de la coupure ; suivant les cas, suivant que le point j sera en a ou en b' , le point x --= \,/y sera en a ou en 6, \^y sera un nombre purement imaginaire dans lequel le coefficient de i est positif ou négatif.

On peut dire encore, en désignant par v/— ^' la racine carrée arithmétique du nombre positif — y, que \'y est égal à / \/— y ou à — / \' — y suivant que y est sur le bord supérieur ou sur le bord inférieur de la coupure.

La fonction \/j ainsi définie est continue dans tout le plan des }'. quand on a pratiqué la coupure, si l'on convient, comme il a été expliqué plus haut, de regarder comme distincts les bords de la coupure, de ne pas regarder comme voisins deux points qui coïncident en réalité, mais qui appartiennent l'un au bord supérieur, l'autre au bord inférieur, ou deux points très rapprochés de la coupure et situés de part et d'autre. La continuité de v^y en un point jo de la coupure, situé ])ar exemple sur le bord supérieur.

CMAI'ITUi: XI. KMX.TIONS DE VARIABLES IMAniNAIUES 283

consiste en ce qu'à chaque nombre positif s correspond un nombre

positif yj tel que l'on ait | v'.^ \'yo | < £ si l'on a | y — Yo \ ^'C

et si le coefficient de / dans y est positif.

338. — On vient d'employer un procédé particulier pour définir \ V, on v'.r. carie nom de la variable n'importe évidemment pas ; on peut en adopter d'autres, pourvu que le carré de la valeur adoptée pour ^x soit toujours égal à x : cette condition est, en l)arliculier, aussi bien vérifiée pour — \'x que pour \'x. C'est par des raisons de continuité qu'on se laisse habituellement guider dans le choix qu'on adopte.

Dans tous les cas, la valeur absolue de \/x devra être la racine carrée arithmétique de la valeur absolue de x. On peut convenir d'adopter pour argument de ^/'x la moitié de l'argument de x ; dès lors, toutes les fois qu'on a adopté une règle pour déterminer l'argument de X, la fonction \^x se trouve définie par là-même.

Par exemple, la définition adoptée dans le numéro précédent revient, de ce point de vue, à adopter pour l'argument de x sa valeur principale, comprise entre — - et + -.

Considérons un lien (T'' défini })ar les formules

où f{t), g[l) sont des fonctions réelles et continues dans lintervalle (/q, ti) de la variable réelle / : ces formules définissent bien un lien, au sens du n" 288, puisqu'elles définissent l'abscisse f l et l'ordonnée fj[l) d'un point quelconque de ce lien. Je suppose essentiellement, sur ce lien, qu'il ne passe pas par le point o ; en d'autres termes les fonctions f i^, (j t) ne doivent pas s'annuler pour une même valeur de / appartenant à l'intervalle 'l^, /, i. Soit 5 une valeur de / appartenant à l'intervalle t^, t^), | le point correspondant du lien et a une valeur déterminée de l'argument de |. L'argument de x peut être défini, sans ambiguité, pour chaque valeur de /, comme une fonction continue de t qui, pour / ::= 6, se réduit à a : ce sera la somme de a et de l'angle, défini au moyen du lien T , dont le sommet est au point o, dont le premier coté passe par le point ç et dont le second coté passe par le point du lien qui correspond à la valeur considérée du paramètre. Alors \^x

28/1 INTItOIMCTION A lA TlIKOllir, DKS FONCTIONS

sera (Ic-finio sons ainhiguilé [)our cliaquo \alciir tic /: ce sera manireslonicnl une l'onction continue de /. On reconnaît immédiatement que pour définir ainsi ^'a-, il n'est pas nécessaire de se donner a, il suffit de se donner la valeur de \'J ; car on pourra prendre ensuite a égal au double de l'un quelconque des arguments de v/ ?• On peut caractériser celte façon de faire en disant que y'x est définie au moyen du lien et de sa valeur en un point du lien.

Si le lien T est simple et ouvert, on peut dire aussi que la fonction \ .r est définie sans ambiguïté pour cliaque point x du lien ; mais, s'il en est autrement, la valeur de x ne suffit pas, il faut savoir à quelle valeur de t elle correspond. Si le même point X correspond aux deux valeurs /', t', les valeurs de /rc peuvent être égales, comme elles peuvent être symétriques, lorsqu'on regarde x comme correspondant à /' ou à /'. Cette circonstance peut se présenter quand le lien est simple et fermé ; les valeurs de \^x pour / = /(, et pour / = Il peuvent être égales ; elles peuvent être symétriques.

Pour pouvoir comparer la nouvelle définition avec celle du numéro précédent et éviter les confusions d'écritures, convenons, pour un moment, d'employer les notations \/x, {\/x), la première avec la signification du numéro précédent, la seconde avec la signification qu'on vient d'expliquer ; x désigne toujours un point du lien. Afin de simplifier un [)eu, je supposerai, relativement à la définition de <Jx,, que la valeur 0 de / pour laquelle on a fixé l'argument do .r coïncide avec /q, en sorle que le point S correspondant est l'origine du lien ; je supposerai on outre fjue le point ^ n'est pas situé sur l'axe négatif et qu'on ait pris pour a la valeur principale de l'argument ; alors, à l'origine du lien (T), \/'x et ^xj coïncident. En un point quelconque du lien, correspondant à la valeur / du paramètre, (\/x) est une fonction continue de / : il en est de même de s/x, pourvu que x ne soit pas sur l'axe négatif. La différence \/x — v^ic) est continue tant que ses deux termes sont des fonctions continues; elle est d'ailleurs égale soit à o, soit azh'2\/x; dans ce dernier cas, elle reste toujours supérieure, on valeur absolue, à un nombre positif fixe, puisque la valeur absolue de x est au moins égale à la distance du point o au lien, qui n'est pas nulle. Il suit de là que la difTérence \fx — <\/x) nulle pour / = l^ reste nulle, lorsque / croit à partir de t^, tant que l'on n'atteint pas

ciiAiMTUi: M. — io.\(;ti<»>> m: vaiiiaiu.ks ima(.i wir.is vS;")

l'axe né^NilH. Sii[)[)Osons qu'on allcigiie ccl axe une première lois, au point x\ pour t ^r:^ t \ si, pour / un peu plus [)elit el un peu plus grand que /', le coellicienl de / garde le même signe, si, en d'autres termes, le point x ne Irai'crsc jxis la coupure, aloi> la conclusion subsiste : la dilléreme reste nulle [)Our / = / el |)0ur / un peu plus grand que /', j)Ourvu (|ue l'on regarde :i:' comme appartenant à celui d(»s bords de la coupure qu'il faut ( onsidcrer comme voisin îles points du lien qui correspondent au\ valeurs de / un peu plus petites ou un peu j^lus grandes que / ; la même conclusion subsisterait, avec une condition analogue si, dans l'intervalle I , l" le point .'■ restait sur l'axe négalil" et si le coefficient de / dans c restait, pour les valeurs de t un peu plus grandes que t", du même signe que pour les valeurs un peu plus petites que /'.

Mais les choses se passent dilVéremment si pour ^=^, le lien T traverse l'ave négatif; pour des valeurs de t suffisamment voisines de /', le point x est d'un cote ou de l'autre de l'axe négatif suivant que t est plus petit ou [»lus grand que /' ; les valeurs principales de l'argument ])0ur deux points ainsi placés de côté et d'autre de l'axe négatif dillèrent à peu près de -.ir.: les deux valeurs de \'x sont à peu près symétriques, en sorte f|ue la valeur de — SX pour / un peu plus grand que / est voisine de la xaleur de ^ 'a- pour / un peu plus petit que /' ; pour / plus petit que /', /,/ coïncide avec {\/x] ; pour / un peu plus grand que / , c'est au contraire— /x qui coïncide avec 'tjx^ ; lorsque t continue de croître à partir de t' , on a toujours — ^'x = [\'x , tant cpie l'on n'atteint pas l'axe négatif, etc..

J'abandonne maintenant la ^igniiication spécial»- attribuée aux notations s'x, \yjx).

Considérons un domaine sim|)lc A n" 320 . Je suppo^e essentiellement que le point o soit extérieur à ce domaine. On a démontré an n" 314 que l'argument de x, l'angle dont le premier c»*tlé est l'axe positif, dont le seiH)nd côté va du point o au point .r,peut être délini couime nue fonction continue de ./• (|ui. ])Our le point donn(' ,/•„ du domaine, se réduit à une valeur a„ arbilrairemonl clioi>ie [)armi les arguments de ./•„. Par l'à-mèmc x ./• se lrou\e définie dans tout le domaine ; il n'est même pas nécessaire de se donner v.,, ; il suffit de se donner la détermination vAr,, de \lx en .r,, ; \x est alors d(-linie cmune une fonction do x, conlinue ilan- le

28G IMlUUtlCTIO.N A LA TIlKOUIt: DKS IO>CTIO.NS

domaine cl se réduisant à \x^ })oui' x = Xq. On pourra si l'on veut prendre a„ égal au double de l'un des arguments de ^^x^.

Soit T) un lien dont tous les j)()inls appartiennent au domaine et qui contienne le point x^ ; délinissons maintenant la fonction i\/'x) le long de ce lien, au movcn de la valeur y^o qu'elle doit prendre en ce point, en sorte que la fonction [^/x) coïncide en x^ avec la fonction \/x, définie dans tout le domaine. Les deux fonctions 1 va;) et \'x coïncideront tout le long de (ï), comme on le voit en raisonnant ainsi qu'on a fait un peu plus haut.

Considérons plusieurs liens partant du point :/:„, aboutissant au point .*;, et contenus tout entiers dans le domaine ; si l'on définit la fonction \^'x , sur chacini des liens, en partant de la même valeur initiale ya-g, on aboutira au point x^ h la même valeur de y/a-j quel que soit le lien que l'on considère.

Si, en particulier, on considère un lien fermé, contenu dans le domaine, et si on définit \x le long de ce lien en partant d'une valeur déterminée ^'x^, au point de départ x^, on reviendra en ce jDoint, après avoir parcouru le lien, avec la même valeur v.To-

339. — Ces diverses définitions de ^ ./• sont fondées sur la notion d'angle ; elles peuvent être utilisées pour certaines fonctions qui se trouvent être définies sans ambigiiité quand on se donne l'argument de x ; en particulier, elles s'appliquent,, avec quelques modifications qui ne peuvent échapper au lecteur, à la définition précise de la fonction x'", où m est un nombre réel, soit dans le plan coupé comme au n° 337, soit le long d'un lien, soit dans un domaine simple comme à la fin du précédent numéro. Le point o ne doit appartenir ni au lien, ni au domaine.

Si le lecteur veut bien réfléchir un peu sur les définitions de l'angle considéré comme on l'a fait au précédent chapitre, il reconnaîtra immédiatement que le succès de ces définitions tient, d'une part, à ce que les diverses valeurs qu'on peut attribuer à un angle différent d'une quantité finie (un multiple de 27:), et que, d'autre part, on peut faire varier l'angle d'une façon continue. Rien n'empêche de fonder la définition de \ :/■ sur des propriétés analogues, sans passer par l'argument, en employant d'ailleurs des raisonnements analogues à ceux des n"" 292. 302. Je m'arrête un instant sur cette méthode, en raison de sa généralité.