CHAPITRE XI. FlOCTIO.NS 1»E VARIABLES IMAI.I.VAIRES aSj

Considérons d'abord l ensemble parfait G,' -+- ^F: coustitur par un conlinuum G ; et sa fronlière (F) ; je suppose que le point o n'appartienne pas à cet ensemble dont tous les points seront j)ar suite à une dislance du point o supérieure ou égale à un nombre fixe, que je désigne par (/. Soit £ l'écart de l'ensemble; je supposerai £ <C 0^. Dans ces conditions, il est aisé de définir une fonction V de a\ continue dans l'ensemble G -4- F i, vérifiant identiquement l'équation v' = x, et prenant pour un point x^,, qui appartient à l'ensemble, une valeur Vq arbitrairement cboisie parmi les deux racines de l'équation v' = oc^ ; ces conditions d'ailleurs déterminent entitremenl la fonction y ou \'x.

Soit en effet x un point quelconque de l'ensemble ; on va choisir pour la valeur correspondante de ), x celle des deux racines de l'équation en v y- = x qui est la plus voisine de y^ ; on va voir d'ailleurs que ces deux racines ne peuvent être également éloignées de Yo ; on a en effet

(Vo — y) O'O + v) =Xo — X,

en désignant par y l'une des deux racines: on en déduit

b'o — 7I \yo-^y\ ^'-''

l'un au moins des deux nombres jvo — y[, lyo-i-yî. est donc inférieur ou égal à v î ; on peut supposer qu'il en est ain^i du premier, car, autrement, on changerait y en — y. Dès lors, on a certainement Ijo -+- y\ > V^> car les deux inégalités ly^ — jI ^ ^> Ivç -h yj <c entraîneraient

Mrol^b'a + vl -+- b'o-vI^2v'e;

or ceci est contraire aux suppositions que l'on a faites qui entraînent îy„I ^ \o > V '•

On a donc certainement yo — ji'< i/o + y\ '■> celte condition ou, si l'on préfère, l'inégalité jjo — vj ^ v^e déterminent y ou ^/x sans ambiguïté dans l'ensemble G -h F i. La fonction ainsi définie est continue dans cet ensemble; soient en effet x',, x. deux points du domaine et y,, y, les valeurs de \'x définies comme on l'a expliqué : on peut poser yi = jo "+" ,^1 \'-' y^ ^^ /i ~^ p2 ^ '- ^"

:î8iS IMUOldCTKM A r.A Tlll':ul\IK DES FONCTIONS

dcs^ignant par o,, o^, des nombres imaginaires dont les valeurs absolues sont moindres que i ; on a d'ailleurs

" ' • ' Vj H- j, ajo -h (?i H- 0,) v'ï ' puis

|2J., + (Pt + PJ/M ^ 2|jJ — h, 4- p,|v's ^ :*v'^ — 2\'- On a. par conséquent

et cette inégalité rend manifeste la contlnuilé de la fonction dans tout l'ensomblc C ; h- (F .

Tl n'y a d'ailleurs dans l'ensemble qu'une seule fonction continue qui vérifie identiquement l'équation y- = x et qui pour X = .'■„ prenne la valeur prescrite }'(, : considérons en ell'et une seconde fonction satisfaisant à ces deux conditions et prenant en un point x' de l'ensemble une valeur différente de \'.r' ; il suffirait de relier le point x^ au point x' par un lien contenu dans l'ensemble ^C) -+- (F\ et de se rappeler un raisonnement déjà employé plus d'une fois pour voir que la différence entre les deux fonctions ne peut être, le long du lien, une fonction continue du paramètre dont la valeur détermine chaque point du lien, sans être nulle.

Il suit de là que si, au lieu de partir du point Xf, avec la valeur initiale v^ pour \'x^, on était parti du point xi, avec la valeur y'^, on aurait en procédant de la même façon, défini la même fonction, si y^ se trouve être la \aleur de \'':cq qui résulterait de la première définition.

Ceci posé, si Ton considère un lien T , défini par la formule

et qui ne passe pas par le point o, on pourra définir \^:r comme une fonction continue de t qui prenne [)Our /„ par excnq)le une valeur prescrite \'.r„, dont le carré toutefois soit égal à x^; on

intercalera entre /„ et /,, des nombres croissants /'. t\ en

s'arrangeant de façon que les intervalles /,,. / . /', /"

'/"•". /,' soient assez petits pour que les liens partiels qui corres-

t.llU'IlIll. \l. 1 (iNCTIONS IiF, VAltlAHir.S I M \(.l > \ I ItF.S Îi8f)

j)OiKlont à ces iiilcivallcs puisscnL iMre rcj^.iich's comme conlonus dans clos enscmbk's parfaits qui salislassenl aux mêmes conditions que l'on a imposées tout à l'heure à l'ensemble G) -h (F). Dès lors \/x peut être définie dans le premier ensemble et par suite dans l'intervalle <j, /' en partant de la valeur \',7„ ; jniis, dans le second ensemble et par suite dans l'intervalle /', / , en partant de la valeur \ .;•' qui correspond à l z= l\ etc.

Soit maintenant A un domaine simple auquel le point o soit extérieur; soit x^, un point de ce domaine. On va montrer, en restant dans 1g même ordre d'idées, qu'il existe une fonction \'x, continue dans le domaine, qui, pour x =^ x^ se réduit à la valeur [)rescrite \'xf,. Cette fonction est unique.

Je vais d'abord établir cette proposition quand le domaine simpli' o^t une de ces figuics que j'ai désignées au n° 314 sous le nom do lrii[)t':cs ; le contour de ce trapê/.e comprend : i" deux arcs de courbes AqA,, A|,Aj dont les origines A^, A|, ont même abscisse Oq, dont les extrémités A,, A', ont même abscisse a, ; à chaque abscisse ap[)arteDant à l'intervalle 'a^, a, correspond un point sur la première courbe et un point sur la seconde, d'ordonnée plus grande ; toutefois les points Aj, et Aq, A, et A'^, peuvent être confondus; 2" deux côtés A^Aj,, A|A| parallèles à l'axe des ordonnées; l'un ou l'autre de ces côtés peut être de longueur nulle. Tous les points du trapèze sont supposés à une distance du point o supérieure à un nondire positif fixe r).

On peut décomposer ce trapèze par des parallèles à l'axe des ordonnées, dont les distances mutuelles soient moindres que le

nombre positif , , en une première série de tra|)è/es, se succédant \ 2

de gauche à droite.

Considérons celui qui contient le point x,,. On le décomposera, par des parallèles à l'axe des abscisses dont les distances mutuelles soient moindres que , en une seconde série de j)ctits Ira-

pèzes 'comprenant des rectangles . Chacun de ces pelils trapèzes peut être .regardé comme cet ensemble parfait du début, où tous les points sont à une distance du point o supérieure à r), où deux points quelconques sont à une distance uuiliieile inférieure à £<<<:?. Lo UKxle de définition pour \ x s'ap[)lique. On l'appliquera tout

Taxxriw II. — Inlroilucl on à la Théorie dns foncCons 19

INTUOOrCTION A l.A THI.(>H'r. hKS 1 (t.\(.TI(»>S

d'abortl au trapèze qui oonlicnt le i)oint Xo, pour lequel vAto est donnée ; dans tout le petit trapèze la fonction \'.x est définie et continue; il en est ainsi sur les côtés parallèles à l'axe des abscisses; considérons un de ces côtés, il est commun avec un second trapèze, contigu au premier ; on prendra un ])oint Xi sur ce côté ; en ce jioint. la valeur de \'./i est délinie, et l'on peut par conséquent par le même procédé, définir \^:c dans tout le second trapèze; en raison de la continuité sur le côté commun aux d(Mi\ trapèzes, les valeurs de \'.r qui résultent de la première ou de la seconde définition sont les mêmes, puisqu'elles sont les mêmes en Xi ; on continuera ainsi successivement de trapèze en trapèze, par exemple

Fig. 33.

en descendant à partir du trapèze qui contient x^^,, puis, quand on a achevé de descendre, en remontant à partir du môme trapèze; on aura ainsi défini \ x dans tout un trapèze de la première série, celui qui continuait ôc^ ; on procédera pour les trapèzes de la première série comme on a fait pour les trapèzes de la seconde ; la fonction y/cc est ainsi définie pour tout le trapèze primitif.

La proposition, une fois établie pour un trapèze, il suffit d'appliquer au domaine total ce procédé de décomposition que l'on a décrit au n" 314 et qui aboutit à des trapèzes, puis d'employer le même mode de raisonnement, pour démontrer par induction qu'on peut définir y'x dans tout le domaine comme une fonction continue.

(ii.U'iTiw; \i. — i.(\(:riii\s i»r, v.uiiaiu.ks ima<;i.\ murs -mi

340. — !><->' l y ■'-■' y w'î polMiome en x, y du degré n en y : soil A un domaine simple ne contenant aucun point x pour le- (piel l'équation en v f x, y = o ait des racines infinies ou multiples; il n'est pas dillicile d'établir les propositions suivantes :

Les racines yi, y.^, ..., y„ de l'équation ,r, y sont bornées dans lo domaine A . La dilTérence entre doux quelconques de ces racines est supérieure, en valeur absolue, à un nombre positif fixe r), pour tous les points du domaine. Quelque petit que soit le nombre positif î, on peut lui faire correspondre un nombre positif r, tel que, si l'on suppose \x' — x'\ < y; et si l'on désigne respectivement par j', , y'.-,, ..., y^, et par y\, y'j, ..., y^'^ les racines de l'équation en y pour les deux points x' et x" de A , on [)ourra accoupler chaque racine de la première suite, à une racine de la seconde suite de façon que l'on ait

|vi - j;i < ^ I y; - r;i < t, ..., \yn-y:^ < -

Ces propositions une fois établies, on pourra définir sans ambiguïté, dans le domaine simple A , n fonctions continues y,, j^, ..., y„ de la variable x, satisfaisant toutes identiquement à l'équation f x, y = o et prenant respectivement au point x' les valeurs y',, y'.,, ...,j,'. Les raisonnements sont analogues à ceux du numéro précédent. Cette définition est le point de départ de la théorie des fonctions algébriques ; mais, comme je n'ai pas l'intention d'entrer dans celte théorie, je me bornerai aux indications qui précèdent.

341. — Considérons encore la fonction \/i — x^, dont nous aurons besoin plus tard. C'est, si l'on veut, une fonction de fonction. Posons a — I — x^ ; la valeur de u est définie pour chaque valeur de x; en adoptant l'une ou l'autre des définitions de \u que l'on a exposées plus haut, la fonction v'i — .r- sera évitiemment définie. Comme au n" 337, je regarderai \'u et \/i — x'^ comme définies par la condition que leurs parties réelles soient positives ; il n'y a d'ambiguïté que si u ou i — x* sont négatifs ; .r, qui doit alors être égal à ± v^i — ". est réel et [)lus grand que i en valeur absolue. Figurons dans le plan qui sert à représenter la variable X, deux coupures, pratiquées le long de l'axe réel, l'une du point i jusqu'à H- ce , l'autre du point — i jusqu'à — x . En tout ])oint

iNTr.omr.Tiox a i.a tiikorif, hks fo.nt.tions

.c, non situé sur l'une ou laulre des ilcux coupures, la fonclion \'i — ^T- définie comme on a fi\it est continue. Les deux coupures correspondent à la coupure que l'on tracerait dans le plan des 11,

Fig. 3i.

le long de l'axe négatif, pour définir v^« comme il a été expliqué au n" 337. Il reste à définir \^i — x^ sur les bords des deux coupures.

Supposons le point n un peu au-dessus de l'axe négatif, en sorte que son argument principal soit un peu plus petit que tt. 11 suffit de se reporter à la construction du point i — n pour reconnaître que l'argument principal de i — n est négatif et petit en valeur absolue; des deux points ± \'i — u, symétriques par rapport au

point G, l'un, dont l'argument est la moitié de l'argument de i — u, est situé un peu au-dessous de la coupure qui va de i à -+- oc , l'autre un peu au-dessus de la coupure qui va de — i à — oc . Inversement, pour les points x ainsi placés, le coefficient de /, dans v'i — a?^ ou v'jj, est positif; au contraire, pour les points X placés un peu au-dessus de la coupure qui va de i à -f- c/d , ou un peu au-dessous de la coupure qui va de — i à — oc , le coefficient de / dans \^i — x^ est négatif.

Quand x est sur le bord inférieur de la coupure + i h 00

ou sur le bord supérieur de la coupure — i x , v^i — ^'^