CHAPITRE XI. — roxrrid.Ns m: vaiuaiu.ks ima<;i.\\iui:s '.igo

est égal à i \^x- — i, en donnant à v'.'- — • ^a signification aiilhméliqnc ; quand x est snr le bord siipéiienr de la coupure

-+- 1 -4- X , ou sur le bord inférieur de la coupure

— I — x . \ I — x'^ est égal h — i^fx'^^-~i.

Je laisse au lecteur le soin de montrer que y'i — x'' n'est réel que si x est réel et compris entre — i et — i , ou si a? est pure-

-/va---

Fig. 30.

ment imaginaire ; quand x est dans l'angle des coordonnées positives, ou dans l'opposé par le sommet, le coefficient de i dans y 1 — X- est négatif; il est positif quand x est dans l'un ou l'autre des deux autres angles.

On arrive aux mêmes conclusions par un raisonnement qui se généralise aisément et dont l'emploi est souvent commode. Définissons v'i — a;^ comme un nombre imaginaire dont l'argument soit la moitié de l'argument de i — x' ; quand à l'argument de I — a;-, on le définira par continuité le long d'un lien qui no passe par aucun des points — i, t pour lesquels i — x- s'annule,

Fii;-. 3;.

par exemjile le long d'un demi -cercle décrit du point i conuvie centre avec un rayon aussi petit c[u'on voudra, [)arlant d'un point a situé sur l'axe réel entre les points o et i et aboutissant au [)oint ^j sur le bord su[)érieur de la coupure de droite, ou au point ^j sur le bord inférieur. Au point a, i — x'- est réel et positif; son argument est un multi[)le de 2 ~ ; si l'on veut que v^i — x' soit positif, on devra [xendre [)Our l'argument de i — x' un multiple pair de 2-, o par exemple. Il reste à voir comment varie l'argument de 1 — Jî' quand j; décrit, [)ar excm[)le, Icdemi-ccrclc supérieur a^S. (^n a 1 — X- —■ I — X 1 + j; , la variation de l'argument de i — x' est égale à la somme des variations des arguments des deux facteurs I — X, I -h .X ; la variation de l'argument de x -h i est

'2()\ l>TRODri:TIO> A LA TlH.nllIh; IM:S lii.NCTlO.NS

l'angle que déciil le vecteur qui va du point — i au point x quand :r décrit le demi-cercle afii ; il est nul /\ La variation de l'argument de i — a: ou de x — i est l'angle que décrit, dans les mêmes conditions, le vecteur qui va du point i au pointée; il est évidemment égal à — t.; la variation de l'argument de I — .'■- quand on passe du point a au point '^ eu suivant le demicercle est égale, à — -; l'argument de i — x- reste égal ù — tt tout le long du bord supérieur de la coupure ; celui de v^i — x'^

est égal à — ; il est égal à - sur le bord inférieur de la coupure.

En procédant comme pour \^x, on pourrait aussi définir ^ i — x'^ comme une ibnction continue de / le long d'un lien T qui ne passe par aucun des points + i, — i pour lesquels les deux valeurs possibles de ^i — x- viennent se confondre : cette fonction sera déterminée si on a choisi la détermination que 1 on veut faire correspondre à une valeur /q de /. Quand le lien traverse l'une ou l'autre des coupures, les choses se passent comme pour \'x. De même, on pourra défmir v^i — x- comme une fonction continue de X dans tout domaine simple auquel les points + i et — i sont extérieurs.

il. — SI^IUES ENTIÈRES EX .v ; SÉRIES ET PRODUITS INFIMS DONT LES TERMES SONT DES SÉRIES ENTIÈRES EN a- ; PROLONGEMENT D'UNE FONCTION.

342. — La considération de séries dont les termes sont des fonctions d'une variable imaginaire fournit un moyen précieux pour élendrc à une telle variable la notion de certaines fondions d'une variable réelle, pour créer de nouvelles fonctions, comme aussi pour en établir les propriétés. Les séries qui procèdent suivant les puissances entières et positives de la variable tiendront un rôle prépondérant.

La notion fondamentale de convergence uniforme, développée dans le premier paragraphe du Chapitre Y s'étend si facilement

(') Il suffirait d'observer que celte variation est évidemment négligeable si le rayon du cercle de centre i est suffisamment petit.

r.MAPiTiu-: .M. — mx.rio.Ns des VAiiiAULEs i>:a(;i.naiiir.s 29 j

uu\ suites, aux séries, aux produits infinis dont les termes sont des fonctions d'une variable imaginaire, que je crois inutile d'y revenir : on n'oubliera [)as toutefois que les mots « valeur absolue » doivent maintenant être entendus avec le sens qu'ils ont dans la théorie iU;^ nombres imaginaires. La proposition I du n" 183, en particulier, est d'une application fréquente ; rappelons la conséquence qu'on en a tirée au n" 184, pour lui donner la signification générale qu'elle est susceptible de prendre maintenant. Considérons une série enlicre en x

(i) «0 -h Oi-T -f- a^X' -h ... -h a„x" -r- ... ;

les coefiicients numériques a,), fli, •••, n,i, •■■ sont des nombres réels ou imaginaires dont je désignerai les valeurs absolues par Q^. a', ..., a„, ... . Supposons que l'on connaisse un nombre positif .\ tel que la série à termes positifs

soit convergente. On est alors certain que la série i est uniformément et absolument convergente, pour l'ensemble des points x pour lesquels on a | x | < A ; sa somme est une fonction continue de X dans ce même ensemble, c'est-à-dire pour fous les points qui appartiennent au cercle de centre o et de rayon A : ce cercle remplace maintenant l'intervalle — A, \ que l'on considérait au n" 184 ; les autres conséquences de ce numéro s'étendent d'ellesmêmes ; je n'y reviens pas. Observons que la supposition faite sur le nombre A revient à dire que la série i est absolument convergente pour un nombre x dont la valeur absolue est A.

Si, pour X = X(i, l'ensemble des termes de la série '^i) est borne en haut ; si, en d'autres termes, il existe un nombre positif P tel que l'on ait, quel que soil le nombre naturel n.

la série i est absolument convergente pour tout nombre .r, dont la valeur absolue est inférieure à celle dea'o- Pour un tel nombre X,, la série à termes positifs

2()6 IMnoidCTlON A I.A TllKiMllK ItKS r<>M.TIO>iS

est. en ell'et. conveiirt^nle : elle reste convergente si on en multiplie respectivement les ternies par les termes correspondants de la suite

I Oo I , I Oo-'To I . «o-^',i I , ■•■ I «o4' I ' ■■■> qui sont au [ilus ciraux à P ; or on obtient ainsi la série

dire que cette série est convergente, c'est dire que la série i) est absolument convergente pour a; = .r, : on pourra prendre pomle nombre A n'importe quel nombre positif moindre que ./'o.

La proposition qu'on vient d'établir est due à Abel.

Si, en particulier, la série i i est convergente pour x = Xq, l'ensemble des nombres \ a^x^," , , /ï = o, i, 2, ... est certainement borné en baut : la série ' i] est alors absolument convergente pour

\x\<. i Xo\.

Soit a un nombre positif; si l'on sait que la série ( i] est absolument convergente lorsqu'on a [ £C ] ■< a, on peut alïirmer qu'elle est absolument convergente sous la même condition. Si, en ellct, on a 1 5Ci î <C y-, il suffit de considérer un nombre x.^ dont la valeur absolue soit comprise entre a et \xi ', la série sera convergente pour X.2, elle sera donc absolument convergente pour a;,.

Si la série i) est divergente pour x = x , elle sera certainement divergente pour tout nombre x" dont la valeur absolue dépasse celle de j:'; si, en effet, la série était convergente poura:", elle serait aussi convergente pour x' .

Ceci posé, considérons l'ensemble E des nombres positifs ou nuls 0 tels que la série

soit convergente ; si un nombre 0 fait partie de cet ensemble, il en est évidemment de même de tous les nombres positifs plus petits que lui ; cela résulterait d'ailleurs du tbéorème d'Abel.

Si l'ensemble (E) n'est pas borné en haut, c'est que la série (1) est absolument convergente quel que soit x ; inversement, si cette série est convergente quel que soit x, l'ensemble E n'est pas borné en haut; en effet, si on se donne le nombre positifs, la série 1 doit être convergente pour un nombre doni la valeur

(llVI-mu: XI. I-ONCTKINS 1)F, V.VlUAdl.KS I.\| ACI \ M l'.I.S -.ujy

absolue ilépassc o, donc elle est absolument convei;^cnle poui- Ir! — ù

Dans ce cas, la somme de la série est une l'onction continue [)oui- toute valeur de x\ elle est unirorménient continue dans tuul enseiidjle clos : c'est une fonction transcendante entière.

Les séries

lournissent des exemples.

11 peut arriver que la série 'i' ne soit convergente que pour X = o, l'ensemble (E se réduit alors au nombie o ; c'est le cas pour la série

Supposons enfin que l'ensemble ;Ey ait une borne su[)érieure non nulle 11 ; que, en d'autres termes, la série (i) soit convergente pour quelque valeur de ./; autre que o et ne soit pas toujours convergente.

Le cercle décrit du point o comme centre avec le rayon R est alors le cercle de convergence de la série, \\ est le rayon de convergence. La série converge absolument en tout point intérieur au cercle ; sa somme est une fonction continue en tout point intérieur au cercle, uniformément continue dans tout ensemble clos intérieuiau cercle. Lorsque la borne supérieure R de l'ensemble E appartient à cet ensemble, c'est-à-dire quand la série 3 est convergente pour 0 ^= R, ou, ce qui revient au même, quand la série i est absolument convergente en un point de la circonférence de son cercle de convergence, la série i est absolmnent et uniformément convergente dans l'ensemble des points qui appartiennent n"279'! au cercle de convergence, qu'ils soient intérieurs ou sur la circonférence ; dans ce même ensend)le, qui est [)arfait. sa somme est uniformément convergente. C'est ce qui arrive pour la série

2qS i> riu»i)L(.;Tio> a i..v TiiiiuiiiE di:s io.nctio.ns

Si R n'appartient pas à (E , la série peut être convergente ou divergcnle en certains points de la circonférence du cercle de convergence. Ainsi la série

rr- X"

pour laquelle R = i est divergente pour .r = i, convergente pour les autres points du cercle n" 139 . Dans ce cas, si la série converge en un point de la circonférence du cercle de convergence, elle n'y converge pas absolument. Elle peut diverger pour tous les points de la circonférence du cercle de convergence, c'est ce qui arrive pour la série

dont le rayon de convers^ence est encore ég^al à i .

Les règles que l'on a données au n" 128 s'appliquent évidemment à la détermination du rayon de convergence.

On dit souvent que le rayon de convergence est infini, quand l'ensemble (E; n'est pas borné en haut, qu'il est nul quand l'ensemble E^ se réduit au nombre o.