La série
dont les coefficients al,, a[, dx, ■■• sont les valeurs absolues des coefficients a^, Ui, a.^, ... de la série i a même cercle de convergence que cette dernière ; sa somme est positive pour toute valeur positive de x, elle croît quand x croît de o à R ; elle peut d'ailleurs être finie ou infinie pour x = R. Désignons par x' la valeur absolue de X, par/ Jî; la soumie de la série ;i . par F (x la somme de la série (4^ ; il est clair que l'on a
(5) Vix')>\f{x)\
pour toutes les valeurs de x qui rendent la série ^i absolument convergente. L'égalité ne peut avoir lieu que si, pour toutes les valeurs de n, on a a„x" =a'„x".
Une inégalité telle que ;'5 , considérée indépendamment de la définition particulière des fonctions yi ce , F x , caractérise la fonc-
CIIAIMTRF. M. KONCTKi.NS DK \ AlilARI-ES IMA(;i> AIUF.S UQC)
tion F ./■ comme élanl ce qu'(»n appelle une functiuii inajoraiilc (le la fonclion/ X . On doit entendre que celle dernièie fonction est délinie dans im certain ensemL^le ici l'ensemble des points x inlérieuis au cercle de convergence , et que la lonclion V x est réelle quand on y remplace la variable par la valeur absolue ./;' d'un quelconque des nombres x qui appartiennent à l'ensemble oi!i fx) est délinie.
Dans le cas particulier où je me suis placé, je dési^^nerai la fonction V {x , somme de la série 'i', comme étant la inajoranlc nniurelle de la fonction f x , somme de la série i . Lorsque les coefficients de cette dernière série sont réels et positifs, la fonction f X est à elle-même sa majorante naturelle.
Tel est le cas, par exemple, en supposant | œ | ■< i, pour la fonction
rr= I -f- rr -h x- -T- ... :
Soit a un nombre quelconque, différent de o et soit a' sa valeur
absolue ; légalité précédente montre, en y remplaçant x par ^^ ' que, sous la condition x' << a' , on a
la majorante naturelle du second membre, pour les valeurs considérées de X est
telle est donc, pour les mêmes valeurs de x. la majorante naturelle de ^-__- : au reste, |)Our ces valeurs, l'inégalité
résulte âe l'inégalité évidente ] x — a \ ^ a' — x' ; cette même inégalité, en désignant par ii un nombre positif, entraîne
la foiKtiun . , — r^ est donc, pour les valeurs considérées de x
nne majorante de la fonction /VI"aN" ' ''F'^ ^^ ^°'* ^^ majorante
3oO IMHitm (TIO.N A I A TlIlioiUE IM-.S rO.NC.TlONS
nalniellc, c'est ce que le lecteur reconnaîtra immédiatement, dès qu'il aura vu l'extension delà formule du binôme aux valeurs imag^inaires de la variable.
On déduira encore sans peine de l'égalité i que les fonctions
sont, en supposant toujours | x \ < «, les majorantes naturelles des fondions
Il lia;
344. — Quoique je n'aie pas l'intenlion de traiter des fonctions de plusieurs variables, je dois cependant indiquer une généralisation immédiate de la notion de série entière en x.
Considérons la série à entrée p"P^^
■^i" ■*!' ■'il •••> ~*;j 1 i i>
OÙ les Aa,, a.,, .. , a^, sont des coefficients numériques et où Xi,X2, ..., Xj, désignent p variables ; «,, a^, ..., ot^, sont des nombres entiers positifs ou nuls : la sommation est étendue à tous les systèmes distincts (a,, a^, ..., «,, ; on a vu au Cbapitre II commentées systèmes formaient un ensemble dénombrable.
En désignant par «j, a.^, ..., a,, des nombres positifs, je suppose que la série à termes positifs ou nuls que l'on déduit de la série i) en y remplaçant les coefficients Aaj, a^, .... a^ P^r leurs valeurs absolues et Xi, X2, ..., Xp respectivement par aj, a^, ..., a,,, soil convergente. ]1 est clair que la série (i^ sera absolument convergente pour les valeurs dex, , x.2 x^, qui satisfont aux conditions
(2) l^il^«n I ■'■2 I ^«2' •••' \^'v\^^v>
la somme de la série, pour l'ensemble de ces valeurs est une fonction des /) variables ûc,, x^, ..., x^,. En supposant toujours que ces variables satisfassent aux conditions '2 , on peut ordonner la série comme l'on veut; on peut par exemple, écrire le terme indépen dant Ao, o, ..,0, puis les p termes du premier degré, puis les
I IIM'ITIIK XI.
l'OMTtO.NS l»F. \ AltlAItlKS I M AC IN A | lU.S
;^oi
'- ' ' Ici mes du second degré, etc.. ; on pcul aussi ordonner
pnr rapport à l'une des variables, x, par exeni[)lc ; on oblicnl alors une série cnlière en j;, dont les coefficients sont des séries analogues à la série 2!, mais ne contenant plus que /> — i \ariables
La fonction/ X,, x,, ..., x„ est continue, c'esl-à-diie cpie : Quel que soit le nombre positif £, on peut lui faire correspondre /> nombres positifs î,, co, .., £,,. tels que l'on ait
sous la condition que les nombres x[, x'.„ ..., x[, satisfassent au\ conditions (2' comme les nombres x^, x.^, ..., Xp el que l'on ait
La démonstration est pareille à celle que l'on a donnée pour le
cas d'une variable.
Enfin on a une proposition semblable au théorème d'Abel: Soient />,. ..., b^, n nombres quelconques, différents toutefois
de G : si l'ensemble des nond^res positifs ou nuls
est borné en haut, on pourra prendre pour a^, a.^, ..., a^, des nombres positifs quelconques, respectivement plus petits que '6,|, )6^|, ..., i6,,| ; la série i , à entrée />'t/<^ sera absolument convergente pour X, = a,, X2 = «2» ..., Xp^^ a p. En elVet. les séries à termes positifs
fl^
sonl convergentes, il en est de même de leur produit -^Uf' hl^ .... bl''
IMUOmCTIO.N A I.A Tlll-OUIE DES FO>r.TIO>S
et de la série que l'on déJuil de celle-là en mulli|)liaut respectivement CCS termes par des nombres positifs qui restent tous inférieurs à un nombre positif fixe, par exemple en multipliant par
A^ x„ a„ ^'' bf'--- K"\ le terme
af» a?2
bf^ 6.^ .... 6^' la série à termes positifs ou nuls
j,^à I aj, 3to, ■■., 2^, I :> ,. I
est donc convergente, c'est ce que l'on avait annoncé.
11 est tout naturel d'étendre à ce cas l'expression de fonction majorante, et de dire que la fonction F 'xi, x.2, ..., x,,j somme de la série
dont les coefficients sont les valeurs absolues des coefficients de la série i est une fonction majorante de la fonction/ 5Ci,a:2, ...,x,, ; on a, pour toutes les valeurs de a;,, x^, .,., x^ qui satisfont aux conditions 'i),
FdiTil, kj, ..., |a;p|)^ |/(a;,, 0-2, .... j-^,)'.
Revenons aux séries à une variable.
