Lorsque la série

dont je désignerai la somme par y 'x), est absolument convergente pour X = Xq, elle est, d'après ce qu'on vient de dire, uniformément convergente pour l'ensemble des points qui appartiennent au cercle dont le centre est au point o et qui passe par le point x^. Abel a montré que si la série est convergente pour X(, sans supposer quelle le soit absolument , elle est uniformément convergente pour l'ensemble des points appartenant au rayon qui va du point o au point x^,. Si l'on avait jîq =^ ^» cela reviendrait à dire que la

ciiAi-rruK M. — Ft>M;Tio\s iii; \ahiviili;s niAi.iwniics 3()o

série est uniforméiiienl convergente pour les valeurs réelles de x qui appartiennent à linlervalle o, i : il suflit. dans le cas générai, de laire la transformation x = .r(,£, pour être ramené à ce cas, que je considérerai seul.

En supposant donc que la série

(2) ■ flo ^- «1 -t- ■•• -H- fin H- •••

soit convergente, il s'agit de prouver que la série

est uniformément convergente dans l'intervalle o, 1 .

Gela va rc^sulter d'une forme du reste, qui comme l'a montré M. 0. Stulz. met en évidence non seulement le théorème d'Abel, mais une proposition plus générale. Cette forme du reste résulte elle-même de l'égalité

(3) /W = (i — ^) (so ^ si-ï^ -^ ••• + s„x>' + ...),

où .s*„ désigne en général la somme des /i -t- i premiers termes de la série 2 ; cette égalité est vraie pourvu que la valeur absolue de ./■. que je désignerai par x\ soit moindre que i. (^)u'il en soit ainsi, c'est ce que l'on voit, soit i)ar une simple vérification, en clTcctuant la multiplication indiquée dans les econd membre et en constatant qu'on retrouve ainsi, après avoir ordonné, la série i , soit en observant que la série

(4) So H- Sjo; -h ... H- s„j-" -h ...

résulte de la multiplication, par la règle ordinaire, de la série (i) par la série

dont la somme est . Les deux opérations sont légitimes :

d'une part, en elïet, de ce que la limite de .v„, pour n infini, est la somme y i de la série 2;, il résulte que la valeur absolue des nombres .s„ ne peut dépasser un certain nombre positif li\e P, la borne supérieure de l'ensemble des nondires [ .s-„ [, que, par conséquent, la série '\ , dont le terme général est au plus égal, en valeur absolue, à V„x" est absolument convergente pour x' ■< i,

3(k'i i\tiu>i»i c.tion a la TiiKoniF, nr.s tonctions

en sovW que la iiiiilliplicalion do celle série par i — .7; ne comporte niicuno diriiculté; craulrc pail. la série f") est absolument r(invergcnle. comme la série i , pour x' <; i ; la règle de la mulliplicalion s'applique donc bien à ces deux séries.

Ceci posé, quand x' est moindre que i, la somme de la série (4) est au plus égale en valeur absolue à

Sous la condition x' <^ 1, on aura donc, à cause de l'identité (3),

Ceci posé, soil À un nombre réel plus grand que i ; pour l'ensemble des nombres x qui vérifient les deux conditions

rr' < I ,

I — X — on aura

et cette inégalité subsiste pour x r= i ; en effet les relations 1 s„l< P, lim. s„=/(i),

impliquent '/ ij j = P-

Le reste de la série (i , limitée au terme a„x", peut s'écrire

R„(a-) = a;"^ 'cp(rr)

en posant

o {x) = a„4 i + (i„-^ix + ... ;

l'inégalité (i s'applique aussi bien à la série ç» Jc ; seulement on doit remplacer P par la borne supérieure de l'ensemble des nombres

(7) j «n+l 1 . ! «/ifl + ^" + 2 ! 1 ! «n+l + «;i42 + «n-fS | >••• '■>

or, en raison de la convergence de la série (i , on peut faire correspondre à chaque nombre positif i un nombre naturel p tel que

fJI.VlMTKK XI.

tous les nombres - soient nidindrcs que £ sous la condition n >-/* ; sous cette condition, on aura donc

pouiNu que X satisfasse aux conditions suivantes : ou bien x est égal à I, ou bien on a à la fois

En d'autres termes la série •?. est uniformément convergente au sens étroit, pour tout ensemble de valeurs de x qui satisfont à ces conditions, par exemple pour l'intervalle o, i , oi'i l'on a j; = x'. Quand à l'ensemble des points cqui vérifient les conditions (8 , on reconnaît bien facilement qu'il constitue, en y comprenant le point 1, un domaine simple dont le contour est la petite boucle d'un limaçon de Pascal ayant son point double au point i ; si l'on prend ce point pour pôle et la direction qui va vers le point o pour axe polaire, on pourra construire cette boucle au moyen de l'équation, en coordonnées polaires /• et 0,

/• = .., (A cos 0 — r ,

en faisant croître 0 de — arc cos - à -H arc cos ^ . On voit tout de

suite que celle courbe est aussi voisine qu'on veut du cercle de convergence pourvu que À soit assez grand, et que l'angle des tangentes au point double qui contiennent la courbe est. dans ces conditions, aussi \oisin de deux droits cpie l'on veut. Dans ce domaine, la série est iiniformément convergente; sa somme est donc une fonction continue de x. puisque ses termes sont des fonclions continues.

Eu particulier, quand le points; s'approcbe du })oii\t i en suivant une corde, ou le diamètre, qui aboutit en ce point, f x a pour limite/ i).

Voici des applications où je supposerai ./; réel, d'autant que les fondions log i -t- x), arc tg ./; n'ont [)as encore été définies pour d'autres valeurs de x.

TA?t:«iïRY 11. — Inlroiliiclion à la Tliéorie des fonctions 20

OOG I.MIU)l»rCTIO> A I.A TlIliORlE DES FONCTIONS

On a démonliv, en supposant ' x | ■< i» les égalités

arc tg .r = - — '„- h- ... ;

elles subsistent pour a- = i. puisque, pour cette valeur log'i ■+■ x et ai"C tff .T sont des l'onclions continues : on a donc

log 2

On a démontre que. si les deux séries

étaient absolument convergentes, la série

était absolument convergente, et que sa somme était égale au produit des sommes des deux premières; il sulFit, pour pouvoir affirmer cette dernière propriété, que les trois séries soient convergentes ; en effet les trois séries

Oq -+- «i.r H- ... -h OnX" -+- \ + fc|.T -h ... H- />,r'ï"" -f-

(l,J>Oi ^"

sont absolument convergentes pour ] rr | < i ; pour de telles valeurs, on a

en désignant par A x , B x , P (x les sommes de ces trois séries. 11 suffît maintenant de faire tendre x vers i par valeurs réelles et plus petites que i pour arriver à la conclusion énoncée.

Soit

Co

i.ll VI'ITUK M. lO.NXriO.NS IH: V.UllAItl.KS I.MA(.1> AlUKS .')()y

une série que je suppose convergente tant que Ton |a; ' <; K, en désignant par 11 un nombre |»ositir.

Vouv .!■ = o, f[X se réduit à c/„ ; c'est d'ailleurs une fonctiou continue; si do n'est pas nul, / ./• ne sera pas nul tant que la valeur absolue de x sera sullisamnient petite; en d'autres termes on pourra décrire de o comme centre un cercle de rayon sullisammenl petit pour que f[.v) soit dilTércnt de o pour tous les points .r qui appartiennent au cercle.

Supposons maintenant

«0 = 0, a, = 0,..., fl„, = o, fl„ ;zf o;

on aura

Dans un cercle sunisamment petit décrit autour du point o comme centre, la série qui figure entre parenthèses dans le second membre ne s'annule pas; dans le même cercle, la fonction/ x ne peut s'annuler qu'au centre, pour x = o.

Si donc tous les coeflicients de la série (i ne sont pas nuls, la fonction /'a^ ne peut s'annuler pour tous les points d'un ensemble dont o serait un point d'accumulation. En particulier, elle ne peut être nulle pour toutes les valeurs de x.

Deux séries entières en x ne peuvent, sans è're identiques terme à terme, prendre des valeurs égales pour tous les points d'un ensemble dont o serait un point d'accumulation.

347. — Si l'on a des séries entières en x, convergentes tant que l'on a X \ < U, on peut les ajouter, les retrancher, les niidtiplier par des règles semblables à celles que l'on applique aux polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de x : le résultat est toujours une série entière en x, convergente tant que Ion a Ix! <H.

Pour ce qui est de la division, on donnera plus tard n" 398) une règle plus précise que celle qui suit ; il nous sera toutefois commode de savoir immédiatement que l'opération peut se faire et (ju'clle est valable pourvu que la valeur absolue de la variable soit sullisammcnl petite.

3o8 i.MKODLCTUt.N A LA TlllidUIK I»i:S I O.NCTIO.NS

Consick'ion? d'abonl une série do la forme

o (.r) = I -+- a, a- + ao.T- -+- ... -+- a„a;" H- ...,

dans laquelle on suppose | a» | ^ i , en sorte que cette série est absolument convergente pour | £c | <C t. Je me propose de chercher s'il y a une série

'l(x) = I •+- pi-T -h poa;2 + ...,

tel que le produit y x) <7fx) soit égal à i pour toutes les valeurs de X qui rendent les deux séries convergentes; d'après le numéro précédent, il faut que, si l'on forme le produit c (rc) û/[x'> par la règle ordinaire, le premier coefficient soit égal à i et que les autres coefficients soient nuls ; on obtient ainsi les équations

qui déterminent successivement et sans ambiguïté les nombres 1^1, l^i, ^j-.i,... ; Ces nombres satisfont évidemment aux inégalités

i 3J < 2 I a. I + I aJ + I X, I < 2^

et ] p„ I ^

La série i H- oc + 20;^ + ... H- 2"~'a;" -+-... est absolument

convergente pour \x\<C. - \ il en sera de même de la série '^{x),

en supposant les coefficients j^i, ^Ji,... ^j,,,.-. déterminés par les équations ! i , et il est clair que l'on aura o[x) 'b[x' = \,

pourvu que la valeur absolue de x soit inférieure à . — On remarquera que, si l'on veut calculer seulement pi, ^j-i,..., ^n, il suffit de connaître ai, (/.>,..., c/.n et que, au lieu d'employer la méthode des coefficients indéterminés, on pourra faire la division de 1 par le polynôme i + (/.\X -+■...-+- y.nX", en s'arrèlant, au quotient, au terme en x".

ciiAi'irr.K \i. — Ko>c.TH»,\s hf, vvai.viii.Ks im.\(;i\ aikf.s ,>or)

Observons encore que, par le raisonnement dont on s'est servi, on est assuré que l'équation 'p';c} = o n'a [)as de racine dont

la valeur absolue soit inférieure à .

Si Ion veut di\iser par ':> x , une série entière 'P^'", . i)Our

laquelle le rayon de convergence est R, il suffit de former la série

"h'x . [)uis crelVeduer le |)roduil <l> x) '^{x)\ le résultat est une

série entière absolument conver<jente [)Ourvu (jue la valeur absolue

de X soit Inférieure à la fois à K el à

On ramènera au ras précédent la division par une série entière

j[x) = a^ -h «i.r -h a-ix- -i- ...,

dans laquelle on su[)[)ose ipie a^^ ne soit pas nul, en faisant d'abord le cbangement de variable x = kz, ce qui donne

/(A-;)=ao(i+ ' ; + ...+ ;- ^" + ...

et en déterminant le nombre positif k de manière que l'on ail, quel que soit le nombre naturel n,

l.a di\ision par/7.-| sera légitime si l'on a j ç ] << et, par conséquent, la division par f x) sera elle-même légitime si l'on a \x\<^ I ; Quant à la condition imposée à /.•, on peut certainement y satisfaire ; soit en elTet X un nombre positif pour lequel la série proposée soit convergente; on aura lim. j a,,)." J = o ; Il

M =: oc

existe donc un nombre naturel // à [)arlir duquel on a [ nj." \ <C | Oo I, ou

i>u prendra /.• [)lus petit que ). et que

\/MVN v/f^-

V I a,! V ja^ I V |a„, i

3lO INTUOIMCTIO.N A LA TIIKcMlIF. MES FONCTIONS

Dans la pratique, pour eflccluer la division par /a:) d'une série entière en x. ou plutôt pour calculer les termes du quotient jusqu'au terme en x'", on sul)sliluera au dividende et au diviseur les deux polynômes que l'on obtient en supprimant les termes de degré supérieur à m, on elTectucra la division d'après la règle relative aux polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de X, et en s'arrêtant au terme en x".

On reconnaît immédiatement que le quotient contient un terme indépendant de x s'il y en a un au dividende ; plus généralement, si le dividende commence par un terme en x'', il en sera de même du quotient.

348. — On a supposé que le premier coefficient a„ du diviseur n'était pas nul ; si ce coefficient est nul, si le diviseur par exemple peut se mettre sous la forme

on voit tout de suite comment les choses se passent en se reportant à la division des polynômes ; on peut continuer, pour trouver les premiers termes du quotient, d'appliquer la même règle; on peut aussi elTectuer la division par la même série

puis diviser chaque terme du quotient par x" ; ce quotient, si l'on ne peut pas mettre en facteur au dividende une puissance de x égale ou supérieure à n, se présentera sous la forme

OÙ r désigne un nombre naturel. Cette forme est valable pourvu que X ne soit pas nul et que sa valeur absolue soit suffisamment petite. On dit alors que, pour le quotient, le point o est un pôle d'ordre /•.

Cette notion de pôle, qui s'est déjà introduite dans les fractions rationnelles, est très importante, il convient de la présenter d'une façon générale.

On dit que a est un pôle d'ordre r de la fonction /[ccj de la

«IIAI'ITIIK M. FONCTIONS lll'. VAlilAlM.RS IM A«;i> MIllCS .MI

variable imaginaire ./; si celle loiiclion peul. pour les valeurs de x autres que a et sui'lisanuncnt voisines de a, scmellrcsous la l'orme

où P .'-• — '/ désigne une série entière en .r — a, convergenle quanti x — <i est sulïisamment petit en valeur absolue et où A,, A,.,,..., Al sont des conslanlcs dont la première n'est pas

nulle : Dans ce développement, le coefficient Ai de ^. „ j^"*^ ""

rùle particulièrement important : on l'appelle résida du pcMe a. Ce pôle est dil simple quand r est égal à i ; dans ce cas le résidu est manifcstemenl la limite, pour x = a, du produit/ x x — a .

D'une liiron générale, le second membre de l'égalité (2; sera dit le développement de la fonction f x relatif au pôle a et l'expression

sera désignée conmic la [xirlie principale de ce dévcloppcmenl, ou

de la fonction, relative au pôle a. C'est un polynôme en ^ ^

sans terme constant.