II. Dans le même domaine, le produit infini

(2) [l + n„(.r)] I I -h ih{x)] ... \ï + u„{x)] ...

est absolument et uniformcmenl convergent ; sa valeur est une fonction continue de x, et peut se représenter par une série entière en X, absolument convergente.

Ces deux propositions seront généralisées plus loin (n" 402) : sous la forme restreinte où on vient de les énoncer, elles rendent déjà de grands services et leur démonstration est immédiate. 11 n'y a évidemment lieu à démontrer que les dernières parties des énoncées ; que la série i et le produit infini 2 soient absolument cl uniformément convergents dans le domaine considéré, que leurs valeurs respectives soient des fonctions continues, c'est ce qui résulte évidemment du n° 183, interprété comme il convient quand on considère des nombres imaginaires.

1. D'après les hypothèses que l'on a faites, la série à double entrée

est absolument convergente ; il en est de même, sous la condition I a; I ^ a, de la série à double entrée

on peut, dans cette série, grouper les termes comme l'on veut ; en réunissant d'abord les termes où n est le même, puis en faisant

• IIMMTHK XI. rONCTIONS [iK VAKIUtl.KS I M V(.l> AI lll.S 3 I .'5

vaiicr /i île o à x , on rcpioiluit la série '^i , ; en réunissant au contraire les termes où p est le mémo et en faisant ensuite varier [> de o à X on obtient la série entière en x

en [)osant

c"cst le résultat qu'on avait t' nonce.

II. La seconde proposition résulte de celle qu'on vient de démontrer, en transformant comme on l'a expliqué au n" 124, le produit infini en une série

où

la sommation, étant étendue à l'ensemble des systèmes dilïérenls de nombres entiers, positifs ou nuls^ (a,, a.,, ..., 7.,. tels que l'on ait a, •< ^o ••• <C 'y,- La série à entrée /■"/''* S,, est absolument convergente pour X ^a ; elle reste telle quand on y remplace n,, u.2, ... par A,, A2, ... ; le terme

peut d'ailleurs être mis sous forme d'une série entière en x, en appliquant les règles de la multiplication des séries : le résultat est toujours absolument convergent dans le domaine défini par la condition \ X \ ^a. Enfin la valeur absolue de ce terme est au plus égal à A3, Aa., -. Aa,. La série

S, = V A., Aa,

est convergente ; il en est de même de la série

On voit donc que toutes les conditions imposées dans le tliéorème I sont vérifiées pour la série i H- S, -H S^ + ... ; cette série,

014 l>TRn|iITTin> A l.A TIIKORIK MRS FONCTIONS

on le proiluil iiifnii. peut donc être mis sous forme d'une série entière en X.

Il convient de remarquer que le coeflicient du terme on x dans cette série est le même que dans le déveloj)pement du produit infini

(I -H »e,o -+- lli.ox) (l H- u^^i -H iii^iX) ... II -+- «„,„ -+- H,,„.r) ... Dans le cas oi!i le produit infini

n'est pas nul, c'est-à-dire dans le cas où le produit infini 2 ne s'annule j)as pour x = o, ce coefficient peut s'écrire

Li — «0,0 ' -+- «0,1

si Pq était nul, l'un des facteurs, par exemple 1 -f- iio,,,, serait nul, et le coefficient cherché s'ohtiendrail en multipliant par ti,^^, le j)roduit infini dont les difTérents facteurs s'obtiendraient en donnant à r, dans i -1- «„^,. toutes les valeurs o, i, 2, ..., sauf la valeur/).

La remarque suivante nous sera encore utile : les majorantes naturelles Vf, X , U, X , ... des séries u„ x , u, x , ... satisfont évidemment aux conditions imposées à ces fonctions pour l'application des théorèmes (I et (II ; sous ces conditions, par conséquent, et dans le domaine | x | < a, la série

et le produit infini

^1 + Uo(^)J 'ï + ^'i(^)" ••• 'i + ^"W" •••

sont absolument convergents, sont des fonctions continues, sont développables en série entière en x ; ces fonctions sont respectivement des majorantes de la série

«o(^) -+- "i '» -+- ••• + "/.(^) + ••• et du produit infini

'i -i- uJx)' 'i -+- u,(xy ... 'i -H uJxY ... .

(IIAIMTIIE M. riiNCTlONS HP, VAIlUlîI.KS IM \tiIN A 1 lil-.S .) I O