III. Supposons que la sôric, ciilièiccn v

u(j) = ^ -^ f^ij + ••• + V + •••

soit absolument convergente sous la condition ] j | ^ 6, en désignant [lar h un nombre positif. Soit niainlcnanl

une série entière en x, absolument convergente sous la condition I .r I < rt, en désignant toujours par a un nombre posilil. Je suppose en outre que la somme d;î la série

I fl,) I + 1 ^'i" I "+" ••• ^~ i "'«^" I H- •••

soit au plus égale à b.

Dans CCS conditions, si, dans la série g j , on regarde }' comme étant égal à / a; , il est clair qu'on aura défini une l'onction continue de X dans le domaine [ x \ ^a. Cette l'onction peut encore être représentée par une série entière en x.

C'est une conséquence aisée de la proposition I ; en elTet y, y-, .■.,y", ... sontdcs séries entières en x, absolument convergentes pour a; < a ; les sommes de ces séries, quand on y remplace les cocl'ficients par leurs valeurs absolues et x par a, restent au plus égales à b, b'-, ..., b", ... ; on en conclut que les conditions imposées dans le tliéorèmc I sont vérifiées pour la série b^ ■+■ b^y-h b.,y- H- ..., quand on y regarde les termes comme les séries entières en x que l'on \lent de définir.

Dans le cas où la série y }' est convergente quel que soit y, le rayon de convergc/ice de la série en a; que l'on nblient en procédant comme on l'a expliqué est au moins égal au rayon de convergence de la série f(x .

IV . La proposition lll est susce[)tible dune généralisation qu'il sulliia d'énoncer.

Soit, en reprenant les notations du n ' 344.

une fiéiie p"i'^^ h p variables, absolument convergente sous les conditions

(a) la-, l^fl,. I .r, I <a,, ..., I a- J < a^ ,

3lG IMUOKir.TlON A J.A TIIKOIUE DKS 1 OM/IIO.NS

OÙ (If, a.,, .... a,, sont des nombres positifs; si l'on regarde .r, r --= I, 2, ..., /* comme la somme d'une série entière en x, absolument convergente sous la condition | >'k | < « a positif), et dont la majorante naturelle prenne pour x = a une valeur au plus égale à a,, la somme tle la série i sera une fonction de .r, délinie sous la condition | £c | ^ a, qui peut se mettre sous forme d'une série entière en x absolument convergente pour x= a.

Dans les propositions I, 11, 111, IV. ««(x), /(a? ,£C,. ont désigné des séries entières en x ; naturellement les propositions subsistent quand quelques unes de ces séries se réduisent à des polynômes ; c'est ce qui arrive dans l'importante proposition qui suit.