II

quantité par , on retrouve l'expression du reste de la série

de Taylor, donnée par Lagrange.

Considérons encore l'expression

dx

oij la constante k^ est supposée plus petite que un et où la limite supérieure x de l'intégrale est un nombre positif plus petit que un ; on aura, en désignant par ç un nombre compris entre zéro et X,

J y/i — k'^l^ - - arc sin x,

et par conséquent

sin J /i — k^, <C ^ <C sin J.

254. — Au théorème qui fait l'objet du numéro précédent se rattache une autre proposition, un peu plus cachée, à laquelle on donne habituellement le nom de second théorème de la moyenne ') ; elle est due à 0. Bonnet et repose sur le lemme d' Vbel établi au n' 138.

Je ferai d'abord la remarque suivante : Soit / x} une fonction bornée et intégrable de la variable x dans l'intervalle Mo, a ; soit Oo, au ...., a,t t, a une décomposition de l'intervalle «o, « en intervalles partiels : désignons par yù, fi, ..., /„i, /« les valeurs de la fonction /' x pour les valeurs ao, ai, ..., a„,, a attribuées à la variable x ; la somme

(«1 — ao)/o + («2 — «i)/i +... + (« — a„i)/„i sera une valeur approchée de l'intégrale

f{x) dx,

(') Mémoire sur la Ou'orie générale des séries, dans les Mémoires couronnés et Mémoires des savants étrangers, publîés par l'Académie royale de Belgique (t. XXIII, p. 8).