Soit

uue série entière en x. Pour ne pas multiplier les notations, je me permettrai d'employer le même symbole /iJ?) pour désigner la série et sa somme. Je désignerai par x' la valeur absolue de x et par a'„ celle de a«(n = o, i, 2, .... .le suppose que la série (ly converge .absolument sous la condition a?' < A, A étant un nombre positif, que l'on pourra prendre arbitrairement si la série (i i converge quel que soit x, que l'on prendra, dans le cas contraire, égal ou inférieur au rayon de convergence R de la série ^i). Il est à peine besoin de dire que l'on exclut le cas insignifiant oîi ce rayon serait nul.

.Te regarderai provisoirement x et x' comme fixes ; on suppose j;' ■< A ; soit H un nombre positif fixe moindre que A — x' ; soit h une variable assujettie à la condition | /? | ^ H. La fonction de A "

est définie pour toutes les valeurs de h qui satisfont à cette condition ; la série

est d'ailleurs convergente puisque ce' 4- H est moindre que A. Il suit de là que la série

{h) Oo -\- a^{x -r- h) -h ... -h a„{x -+- h)" 4- ....

C.IIAIMTHK M. lONC.TKtNS l»F, VAKIAUI.KS I M A<.l.\ AI lîKS .M -

OÙ h est la variable, .salisfait aux condilions sous lescjucllcs le tlu'orème I du numéro précédent est applicable : a„(x -f- h}" remplace iin'x) ; a'^ia:' -+- U " remplace A„. On peut donc développer et ordonner suivant les puissances de // : le coefficient de h" est le produit par