La série

I 1.2 1.2. ..Il

5st convergente dans tout le plan, sa somme est ce qu'on a appelé une ibnclion ^transcendante entière; lorsque x est réel, cette somme n'est autre chose que e'^; il est naturel de définir, quelle que soit la variable x, la fonction e^ par l'égalité

d'ailleurs le raisonnement du n° 189 permet de reconnaître que la série qui figure au second membre est, quel que soit le nombre x, la limite vers laquelle tend l'expression

quand ii croît indéfiniment par valeurs naturelles.

La règle de la multiplication des séries s'appliquant aux séries absolument convergentes, il est clair que la fonction e'' jouit de la propriété

d'où l'on conclut, en particulier ;

En remplaçant, dans la définition de c'', x par xi, on trouve

/o \ «.- OTl OC" ce l OC

(.IIAI'ITIIK \l. rO.VCTlO.NS ItlC V Alil VftI.F.S I>f VCil.N A I UKS .) 17

(Je la convergence absolue du second membre résulte la convcr- .iience absolue. [)onr troutes les valeurs de x, des séries

qui s'ajjerçoit d'ailleurs directement : les fonctions entières que ces séries définissent dans tout le plan, sont précisément, lorsque x est réel, les ("onctions cos x et sin x définies au n" 197 ; ici encore, les seconds membres des égalités

I sm X = o H o -7-- •••

définissent les premiers membres, quel que soit x ; des fonctions cos x, sin X, la première est paire et la seconde impaire. On a d'ailleurs, en vertu de l'égalité (3i, et en changeante; en — x dans cette égalité

(5) e""' = cos 0- H- i sin x, e~^'' = cos x — i sin x,

et, par conséquent,

(o) cos X =^ , sm X ^ -. •

Si, dans ces formules, on remplace x- par x-k-y, puise'""^^'', c -f'^+i')' par

gT( y g,,i __ ^cos X -i- i sin x) (cos v -h / sin y), e~^' X e~'J' = (cos x — i sin x) (cos y — i sin y).

il vient

\ cos (x H- v) = cos X cos V — sin X sin j ^ sin (x H- y) = sin x cos j + cos x sin y.

C'est à Kuler que sont dues les formules qui relient la fonction exponentielle aux fonctions trigonométriques.

.V|8 IMl'.OKLCTIO.N A I.V TlllioiUE KKS r(>>(;T10.NS

La fonction [g .r sera déllnie, pour tontes les \alenrs de x qui n'annulent pas ces ,r par la loiinnle

sin .r I2; r = ° cos .r

et les formules 7 conduiront sans peine à la relation

O V ' '' I tg .r tg y

On a introduit au n" 195 les notations

, e'' H- e~^ , e' — e'~'' ,, e^ — e~^ cil X = , sli .7; = . llia;= ..

et l'on a établi quelques relations qui mettent en évidence les analogies des fonctions ch x, sh x, th x avec les fonctions cos x, sin X, tg X ; il ne s'agissait alors que de variables réelles, mais rien n empêcbe, maintenant que la fonction e'" est définie pour toutes les valeurs de x, d'adopter les précédentes formules pour définir les fonctions cb x, sb x, tb x quel que soit x ; les relations établies au n" 195 subsistent ainsi que les démonstrations ; on a d'ailleurs à cause des formules 6

cil X = cos ix, sh X = . sin ix, tli x = ^ i" ix ;

et ces relations montrent que l'emploi des notations cb x, sb x, ib x est inutile ; il est toutefois consacré par l'usage et il est commode pour séparer les parties réelles et les parties imaginaires.

Remarquons, à ce sujet, que l'on a, en désignant par a et 6 des nombres réels quelconques,

e"^'" = e^-e'" = e"(cos '/ + / sin h), cos (a -+- hi) = cos a cli b — i sin a sh b, sin (a -+- bi) = sin a ch b -+- i cos a sh b.

Les règles pour les dérivées des fonctions e'', cos x, sin x, tg x, cb X, sb X, ib X résultent immédiatement des n'" 350, 354. Les formules sont les mêmes que lorsque x est réel.

La démonstration qui a été donnée au n" 198 des formules

cos a? = sm ( — x ], sin rc := cos ( — x

t.llAlMTIli; M. l-d.NC.TIO.NS liK VAKl Alîl.KS I M Al.I.N MUKS

siihsisle, ([iicl (nn- soil .<• ; mais il (-(inNiciil di* reniai (jun- (juc la Ytnilc de ces l'oiimilcs (juaiul ./; est rr<l entraîne leur généralité:

on cllct, cosx" et sin ( — ./;), [)ar exemple, sont des l'unclions de

X [lartout régulières ; la relation cos x = sin ( — .r\, vraie [lour

toutes les valeurs réelles de .'.', montre que ces deux Jonctions coïncident complètement en un point cpielconque jj,, situe sur l'axe réel ; si on les prolonge ù partir de ce point n" 357 , le long d'un chemin quelconque, elles ne cesseront pas de coïncider complètement ; la relation cos jj^^sin ( '• — x ) a donc lieu quel que soit x.

C'est le mode de raisonnement sur lequel on a appelé l'allenlion au début du présent paragraphe.

La fonction e^ ne s'annule jamais ; si en cfTel on a x = a 4- iv, Il et (' étant réels, on aura

g,r - gu^cos V H- i sin v)

et aucun des facteurs du second membre ne peut être nul.

Il est aisé de construire une infinité de fonctions entières qui jouissent de celte [iropriété. Si, en effet, g x est une fonction entière, il en sera de même n° 349 i de la somme de la série

I 4 5L(^) + il(?)2 , ',9{^)f ^ ...

dont la valeur est c-'''' et cette valeur n'est jamais nulle, lîéciproquement il résultera de considérations ultérieures que toute fonction entière cjui ne s'annule pour aucune valeur de x peut être mise sous la forme t'"*'' en désignant par 7 x une fonction entière.

On étudiera bientôt la résolution dune équation telle que e'^^<i, où a est un nondirc donné ; de là et des relations entre la fonction exponentielle et les fonctions circulaires résulte inuuédiatement la résolution d'équations telles que

cos ./■ = a, sin x = a, Ig ,/■ = a, cli x =«, etc..

.le vcu\ me borner à remanpier ici (|ue les équations cos.c = o, sinx' = o n'admettent [)as d'autres solutions (pie les solnlions réelles ; le lecteur n'aura aucune peine à lirer ces résultats des

35o iMiiunrcTio.v a la tiikouie hks moctio.ns

luiinulos d'addilion : il les rccoiinaîlra ans.-;! sur les produits infinis qui représentent COS. r et sin .r, produits infinis qui, comme on le verra bientôt, con\iennent aussi bien, que ,/• soit réel ou qu'il soit imaginaire.

366. — Les fonctions cos x, sin x admettent la période a t: ; la fonction e"", à cause des formules (5 du numéro précédent, admet cette même période ; la fonction e'' admet donc la période 2 -/, ce qui résulte d'ailleurs des égalités

gj-i-a-' __ e'-.e-"' = e"" (cos 2 - -h ; sin 2 r) = e'".

•2 r.i est d'ailleurs une période primiticc ; c'est-à-dire qu'elle n'est pas \n\ multiple entier dune autre période ; en d'autres termes, si

n est un nombre naturel, ^^ n'est pas une période pour la fonction (?'■ ; l'égalité

entraînerait en effet l'égalité en z= i , qui n'est pas vraie. Les fonctions cil X, sh X admettent évidenmient la même période ^zi que (''■ : -/ est une période primitive pour tli x.

Supposons que le plan des x soit décomposé en bandes égales par des parallèles à l'axe réel, telles que la distance entre deux parallèles soit égale à 2-, et considérons l'une (B; de ces bandes. On connaîtra la fonction e"^ dans tout le plan si on la connaît pour tous les points qui appartiennent à cette bande (Bj ; en effet à tout point X du plan correspondra un point x' appartenant à (B , avant même abscisse que x et tel que la différence des ordonnées soit un multiple de 2z ; le point x' sera unique si le point x n'est pas sur une des parallèles ; s'il est sur une de ces parallèles, on peut le prendre sur l'une ou l'autre des deux droites qui forment la frontière de 'B^ : dans tous les cas, la fonction e^ aura la même valeur aux points x el x' .

Prenons en particulier pour la bande (B ) la bande limitée par les deux parallèles P , P, à l'axe réeL situées de part et d'autre de cet axe, à une distance égale à r.. Il y a intérêt à connaître la façon dont se correspondent le point ./; de cette bande et le j>oint V = c' ; je regarderai ce dernier point comme l'image du |)oint x.

(.iiai'Ithk m.

IdX.TInNS l(i: \ Alll AIII l.S l.\IA<;iNAII!i:S

Posons donc x = u -h ir, ii et r ('tani deux nombres réels dunl le second a[)parlienl à rinlei\alle — ::, ~ , on anra

V = e"T" = e" cos V H- / sin v) ;

la valenr absolne de v est e" ; son argument peut être [)ris égal à v. Il est commode de regarder les points x, y comme appartenant à des plans distincts que l'on désignera sous le nom de plan des x ot de plan des y.

ru

-Ki

/.rj

Donnons à v une valeur fixe appartenant à l'intervalle — ;:, tt) et supposons que ii croisse de — oc à -+- oo ; en d'autres termes, X décrit une droite V parallèle à l'axe réel ; l'argument de v restera lixe. sa valeur absolue croît de o à -i- ^c ; le point y décrit donc la demi-droite V qui part du point o et dont l'argument est V ; à proprement parler, le point y n'est jamais au [)oint(», dont on peut dire qu'il est l'image du point à l'inlini à gaucbe sur la droite V ; à mesure que a augmente, le |)ninl y s'éloigne sur la demi-druitc Y' .

oô'}. iMiutiucrioN A i.A T11I.OIUK hf.s fonctions

La demi-droite ,^ est confondue avec Taxe positif pour r^^o. avec l'axe négatif pour v = 7: ou pour t' = — - ; Timaire de l'axe réel du plan des x est l'axe positif du plan des y. Les deux parallèles V . [\ ont toutes deux pour image l'axe négatif du plan des V. Quand r croît de — ~ à -. la demi-droite \' , d'abord confondue avec l'axe négatif du plan des v tourne dans le sens direct et vient pour v = r: se confondre à nouveau avec l'axe négatit. Lorsque u reste fixe et que r croît de — - à -4- -, quand le point j; décrit un segment U , parallMe à l'axe des ordonnées, allant d'un point delà droite , P, à un point de la droite Pj, son image décrit un cercle U' dont le centre est le point o, dont le rayon est e" ; elle part du point du cercle situé sur l'axe négatif pour y revenir. Les images des deux extrémités de U) sont confondues.

On voit que l'image de la bande du plan des .r recouvre tout le plan des y (sauf le point o . Le deini-i)lan des v situé au-dessus de Taxe réel est l'image de la demi-bande du plan des x située audessus de l'axe réel ; les coefficients de / des nombres correspon dants X, y sont de même signe ; deux points x symétriques par rapport à l'axe réel deux points dont les affixes sont imaginaires conjuguées), ont pour images deux points v symétriques par ra[)port à l'axe réel. Deux points distincts de la bande ont des images distinctes sauf si ces deux points appartiennent respectivement aux droites P , P, et sont situés sur une même perpendiculaire à ces deux droites.

On supprimera cette exception en regardant l'axe négatif du plan des y comme double, comme une coupure à deux bords dont le bord supérieur est l'image de la droite (P'j et dont le bord inférieur est l'image de la droite P, . De cette façon, deux points distincts de la bande du [)lan des x auront toujours deux images distinctes; les points de la bande voisins de P auront des images voisines de l'axe négatif et au-dessus ; ces images seront regardées comme voisines du bord supérieur de la coupure ; les images des points de la bande voisins de P, seront de même regardées comme voisines du bord inférieur de la coupure.

Dans ces conditions, tout point y du plan des j, autre que le

point o sera l'image d'un point x = « -h iv de la bande et d'un

seul. Supposons d'abord que le point y ne soit pas sur la cou[)ure

que }' ne soit p;is un nombre négatif ; ce point y sera l'inlcrsec-

(.IIAl'lTIil". M. in.NCTIO.XS l>i: \ AltlAlil.KS I M AM NAI IIKS ^.)3

lioM unique d'un cercle U') et d'une tlenii dmitc \" ; le cercle U') sera l'image d'un segment L ; la demi droite (V) sera l'image d'une droite ^ ; le segment l et la droite V se couperont eu un point unique x dont y sera l'image; en se reportant à la construction de (U'j et de V) au moyen de (U) et (V), on voit que l'ahscisse du point x dont y est l'image est le logarithme naturel de la valeur absolue de y et que son ordonnée est la valeur principale de l'argument de y. Si le nombre y est négatif, l'abscisse de x sera le logarithme naturel de — y, son ordonnée sera - ou — tt, suivant que y appartiendra au bord supérieur ou inférieur de la coupure. Le nombre .c ainsi délini est ce que l'on ap[)ellc la valeur principale ihi logarithme de y ; je la représenterai habituellement par la notation Igy. La fonction Igj est définie dans tout le plan des y. sauf au point o ; elle se confond avec le logarithme naturel de y quand y est positif. Elle est continue en tout point qui n'appartient pas à la coupure. Si l'on considère un point y,, de la coupure, du bord supérieur, par exemple, on peut dire encore que la fonction Ig y est continue en ce point, si on l'entend dan? le sens suivant : à chaque nombre positif î correspond un ninubrc positif y; tel que l'on ait | Ig j — Igjo | < c, si l'on a | j — jo | < v; et si le point y est au-dessus de l'axe réel négatif, ou sur cet axe, mais sur le bord supérieur de la coupure. En deux points confondus en réalité, mais situés l'un sur le bord supérieur, l'autre sur le bord inférieur de la coupure, la dillérence des deux valeurs de la fonction Ig j est 2T.i.

367. — Il ne sera pas inutile d'indiquer, sur ce même exemple sim[»le, un autre mode de raisonnement qui est souvent commode [)our la définition des fonctions inverses.

Reprenons l'étude de la correspondance entre les deux plans des ./• et des y définie par réf[ualion y =: c'' et considérons dans le plan des X le rectangle AB\ B ; les deux cotés AB, A B' sont des parallèles à l'axe réel, à une distance - de cet axe ; ils sont des segments des droites qui étaient désignées dans la figure précédente par P, , P . Quant aux cotés AA', BB' parallèles à l'axe imaginaire je les suppose très éloignés, à des distances a, b que je me réserve de faire grandir indéfiniment.

Les points A, A' (]u plan des x ont des images confondues en

T.iXXERY U. — Iiilroiliulion à la Tliéoiie des fondions '23

,y04 l.NTUOlirCTlO.N A LA TllKidUK DES FON(.Tl(»>S

A,, A,' dans le plan des y sur l'axe négalil', tics près du point o ; la droite AA a pour image un petit cercle de centre o, passant {)ar les points confondus A,, A|. Les points B. H du plan des ./■ ont des images conl'oudues en un point très éloigné li, ou IV, du plan des y, siu' l'axe négatif de ce plan ; la droite Bli a pour image le cercle de centre o et de très grand rayon qui passe par le point B, ou Bj ; les côtés AB, AB ont leurs images confondues en A,B,, A',B'. La fonction e"" est régulière en tout point qui appartient au reeteuirle.

ho.

Si le point x décrit le rectangle dans le sens direct ABB'A'A, le point y = c' du plan des y décrit le lien fermé F que l'on obtient en partant du point A,, décrivant la droite A,B,, puis le grand ce.cle dans le sens direct, puis la droite B^ A,, puis le petit cercle dans le sens indirect de manière à revenir au point A,. Ce lien fermé est la frontière du continuum C) que l'on obtient en supprimant tous les points situés sur le segment A,B,.dc renseml>le des points intérieurs au grand cercle et eitérieurs au petit.

Lorsque le point x décrit le contour ABB AA, que le point e^ du plan des y décrit le lien fermé, comme on vient de l'expliquer, le vecteur qui va du point y, au point c'^ tourne d'un angle égal à

riUPITIiK \l. FO.NCTIO.VS l»K WI'.IARI.KS I JIA(.I.NA1UKS .).j;>

ir. ; en d'autres termes, l'argument de c' — Vy s'accroit ilc :>-. Il résulte de là n" 359 (|ue l'équation c' — yo = o admet une racine et une seule ;i l'inlérieur du rectauj-de. On en conclut en supposant que les cotés A.V, BIV s'éloignent iuLléfininient, que si v,^ est un nombre quelconque non néii.ilif ou nul, I é(|iiation <''= y,, admet une racine et une seule représentée, dans le plan des .r par un point intérieur à la bande formée par les deux parallèles P . 1\ ; sans doute, on connaissait déjà ce résultat, qui est la chose essentielle pour la définition de Igjo; mais il y a intérêt à montrer comment il résulte immédiatement de la seule considération de l'image du rectangle ABU A .

368. — On vient de définir la fonction Ig ./;, le logarithme |)rinci[)al de X. Définissons maintenant toutes les valeurs du logarithme de X et la fonction log x dans sa généralité.

Le nombre z sera, par définition, une valeur du logarithme du nombre x si l'on sl e'^ ^^ x.

Soient ;• et S la valeur absolue el l'argument de x, en sorte que l'on ail X := r (cos 5 H- / sin !/ ; cherchons à déterminer deux nombres réels £, r, tels que l'on ait

e^"^'""'' ^= X =rr /• (cos 0 -\- ï siu 0) ;

le premier membre est égal à e' cos y; -+- i s'm r^ ; sa valeur absolue est égale à e% son argument à y; ; pour qu'il y ait égalité avec r (cos 5 -4- i sin 5), il faut et il suffit que l'on ait

a étant un entier quelconque. Pour :/; = o, le problème n'a pas de solution ; pour x ;zf o, il y a une infinité de logarithmes de x^ donnés par la forumle Ig r -H 'j -^ 2/iZy /; la partie réelle du logarithme de X est le logarithme naturel de la valeur absolue de x\ le coeKicient de / est l'un quelconque dos arguuients de x\ la valeur [)rinci[iale du lop^arillime, définie plus haut, répond à l'argument principal de ./;; elle est définie si x n'est pas négatif.

11 ne sera pas inutile de faire remarquer en passant que, puisqu'on peut prendre l'entier n aussi grand qu'on veut en valeur absolue, il y a des nombres c' égaux au nombre donné non nul .r et pour lesquels | ; | dépasse tel nond)re [)Ositii que l'on voudra.

',\')G l.NTIUHU {.TIlt.N A I.A TlIKOlUi; HKS FOM'.TIO.NS

( )ii \oil coiiibion. Cil quelque suite, c- esl indélorminé quand z augmenle indcfiniincnl; cm se rapj)elleia toutefois que c' tend vers o quand la paille réelle de r tend vers — x .

Les fonctions e% lojr x étant définies, on peut, lorsque a n'est pas nul, regarder a'' comme égal à la valeur de la fonction e^ pour X ^= /; log a : cette valeur est déterminée quand on a llxé la détermination du logarithme. Ainsi, la fonction i -i- x/" du n" 36/i peut cire définie, quel que soit ni, par légalilé

Pour la définition générale de la fonction log x, on pourra procéder comme aux n" 337, 338 : d'abord on pourra convenir de prendre le coefficient de / toujours égal à l'argument de x; là où l'argument de x est défini, la fonction log x, dont la partie réelle est log I x |, sera alors définie sans ambiguité. Par exemple sur un lien qui ne passe pas le point o, dans un domaine simple qui ne contient pas ce point, l'argument est défini par continuité, du moment que l'on a choisi sa valeur en un point du lien ou du domaine ; il en sera de même de la fonction log a;, qui sera une fonction continue de x, ])Our le lien ou pour le domaine; toute autre fonction continue dans les mêmes ensembles, dont la valeur est toujours l'un des logarithmes du nombre x, s'obtiendra en ajoutant à celle-là un multiple de 2T.i.

369. — Lorsque x est réel et moindre que i en valeur absolue, on a

log ( I + 0-) = ho . • • ;

le second membre, que je désignerai par / a; , a un sens tant que l'on a I X I < I. Si, en outre, x est réel, on a

ef^^^ = I ^J-y^ + L./L AL ^ ^, j ^ ^. I 1.2

En se reportant au théorème III du n° 349, on voit tout de suite que les conditions requises pour l'application de ce théorème sont vérifiées,et que l'idenlité précédente en a; est vraie tant que l'on a Ixl <Ci; il en résulte que, sous cette condition, la valeur àef{x) est toujours l'un des logarithmes de i -^ x; d'ailleurs la fonction y' y est con-

rilVI'ITItl-: \r. FONCTIONS l»K VMtlAHI.KS IMAMNAMIKS .).jy

tinuc dans le domaine défini par l'inégalilé | j; | ^ a, où a est un nombre positif plus petit que i ; dans ce domaine, r -f- x ne s'annule

pas ; son argument principal, compris entre — ! et , s'annule

quand x est réel; la dilVérence Ig i -t- x — / x est continue dans le domaine x < rt ; elle est un multiple entier de ir.i; c'est donc une constante et cette constante est nulle comme on le voit en supposante compris entre o et i. La série/ x n'est donc autre chose que la fonction Ig i -i- x , sous la condition | j; | < a et, par conséquent, sous la condition | .r | < i, puisque a peut être supposé aussi voisin île i qu'on voudra.

Siqiposons que la fonction log x soit délinie, ainsi qu'on l'a expliqué plus haut, comme une fonction continue de x dans un domaine simple D , qui ne contienne pas le point o. Soit Xo un point intérieur au domaine; soit o un nombre positif inférieur à la distance du point ./;„ à la frontière tle D et, par conséquent, h I JCg |. Supposons que le point x = x^ ~ h reste dans le cercle (1 défini par l'inégalité \ h \ ^ o; la fonction log x — log x^, sera continue dans ce cercle et s'annule pour x ==^ x^^; d'ailleurs sa valeur ne peut dilTérer de la valeur de

que d'un multiple de ir.'r, mais le second membre est une fonction continue de /< tant que l'on a 1 /i 1 ^ <>; il s'annule pour h = o; on a donc, sous la condition | x — X(, \ ^ o,

log X = log X, -h ^-~ ""o — ^"^-^-pl +. -^^p^o^ - ... :

la fonction log x est régulière en tout point ./; intérieur au domaine 'D et sa dérivée est .

Supposons maintenant que l'on définisse la fonction log x comme une fonction continue le long d'un lien T , qui ne passe pas par le point o, et dont chaque point soit déterminé par un paramètre réel/, appartenant à l'intervalle 7,„ /,\ ï-e lien peut traverser la coupure, mais je suppose que son origine et son extrémité ne soient |)as sur la coupure. Pour l'origine Xq, qui correspond à la valeur /^ du paramètre, on aura

'og ^0 = 'g -"^o + 2 n-i

358 i\Ti\oiii ( Tui.N A i.A iiiKuiui: nr.s lo.x.no.xs

n élant un certain nombre cnlicr. Si le lien T' n*a aucun pi)inl commun avec la coupure, <>n aura lout le long du lien,

log .T =^ ]g .r H- 2 /)-/.

le nombre n restant toujours le même.

Si, en particulier le lien T est fermé et s'il n'a aucun point commun avec la coupure, on revient au point de départ avec la même détermination. Cette dernière conclusion subsiste si le lien iT) est la frontière dun domaine simple auquel n'appartient pas le point G.

Supposons maintenant que le point x soit sur la coupure, pour / =r 0 mais non lorsque l'on a /„</■< ^ ; pour les valeurs de /

Fig. ',..

qui appartiennent à l'intervalle 7„, S , on aura toujours log x =^ \g X -h 2117:1, n étant le même que pour / = /q. Si maintenant le lien traverse la coupure pour l = 0, on aura, pour les valeurs de / un peu plus grandes que 5,

log X = \g X -h 2 {n -jz i) T.i

en prenant, dans le second membre, le signe 4- ou le signe — suivant que l'on traverse la coupure de bas en haut ou de haut en bas; t continuant à croître, le coefficient de 2-/ restera le même dans le second membre tant qu'on n'aura pas atteint la coupure à nouveau.

En supposant toujours que le point r, qui correspond à lz='ji soit sur l'axe réel négatif, si pour les valeurs de / \m peu plus grandes que 6 le point x restait du même côté de cet axe que pour les valeurs plus petites que 0, on aurait log x = Ig x h- 2 ii7:i pour les valeurs un peu plus grandes que 5, comme pour les valeurs plus petites et le point q devrait être regardé comme appartenant au bord

niAl'ITIlK XI.

K».\CTI(»S l»E VAUl.VItf.KS IMA(;i.\ Al liKS

(le 1.1 coupure dont sont voisins les points .;■ qui correspondent aux valeurs de / un peu ])lus grandes ou un peu plus petites que ^. On peut aussi supposer que le lien se confonde avec ce bord de la coupure dans un intervalle 5, 5' et qu'il quitte ce bord pour / = b\ soit qu'il traverse la coupure, ou non. Tout cela ne peut offrir aucune difficulté jiour le lecteur.