CHAPITRE Vn. INTÉC. RALES DEFIMES Sq

et l'erreur commise en substituant la somme à l'intégrale sera au plus égale à la somme r) des écarts de la fonction f{x) dans les intervalles partiels (00,^1), «i, a, , ..., a„|, a respectivement multipliés par les écarts ai — ao, cti — cei- •••, « — a„i de ces intervalles ; de même les quantités

Si = (ai — ao)/e .

s-i = (ai — ao)/o H- {a, — a,)/i ,

Si = (a, — au)/o -4- (a. a,)/i + ... -h (a,- — a,,)/,, pourront être prises pour des valeurs approchées des intégrales

J\x)dx, j J[x)dx, ..., I /(aîjJa;

et, pour chacune d'elles, Terreur sera moindre que â' ; si donc on désigne par Aq et A les bornes inférieure et supérieure, dans l'intervalle Qq, a), de la fonction

r j{x)dx

on peut affurmer que les quantités Si, s>, ..., s„ appartiennent toutes à l'intervalle (A^ — &, A -t- r}") ; enfin, je rappelle que, si £ est un nombre positif arbitrairement donné, on peut supposer la décomposition [do, ai, ..., a^ ^, a telle que l'on ait (J^ <^ c.

Ceci posé, soit (p(x) une fonction de la variable x qui, dans l'intervalle Ofl, a), ne soit jamais négative, qui. en outre, soit noncroissante ; la fonction f''x)o(x) sera intégrable dans l'intervalle Mo, a .

Si, tout en conservant les notations précédemment adoptées, on désigne par Ço, 91, •••, 9,!i les valeurs de la fonction (p (x) pour les valeurs ao, Ui, ..., a„i attribuées à la variable x, la somme

S = («1 — ao)/o'-?o -^- («2 — ai)/iri + -.. + (« — ot,,__i)/„i o„,,

sera une valeur approchée de l'intégrale

J = ) f(x)-^(x)dx.

/io I.NTUOnrCTIO.N a I.A TlllittllIK DES l'ONOTKtNS

et la (Jcooiuposiliou d^, ai, ..., a„i, a peut être sii[)posce telle que les conditions précédemment imposées, relatives à la fonction f X , soient vérifiées et que l'erreur commise dans l'évaluation de la dernière intégrale soit moindre que c. Dès lors les quantités Oo. ^1, ■.-, '-;„, étant toutes positives ;^ou nulles et formant une

suite non croissante, et les quantités .So, •'»"i, •'*',,-i appartenant

toutes à l'intervalle Ao — s, A + c\ la quantité S appartiendrai l'intervaile [ Ao — £ Oo, A + c) Oo], ainsi qu'il résulte de l'identité

S = çoSi -H 9, («2 — Si) 4- ... + ?„i(s„ — s„i)

= Si(9o — ?l) -h S2(?l — r-l) -+-■■■ +S„i (C5„2 «P„i) +S„'fn-1,

dans le dernier membre de laquelle toutes les quantités sont positives ou nulles ; mais les inégalités

(Ao-B)cpo<S<(A + E)9o.

s — £<J<<Sh-e, entraînent les suivantes :

Ao?o — £(cpo + l) < J < Acpo + î(to + l) '■

et, comme s. peut être pris aussi petit que l'on veut, il faut que l'on ait

Ao'-ifl ^ J ^ A'fo ;

c'est la proposition que j'avais en vue. En résumé, si, dans l'intervalle (oo, a , la fonction fix) est bornée et intégrable, si, dans le même intervalle, la fonction (p(x) n'est jamais négative et, en outre, non-croissante, on aura

(i) ?(ao)Ao^ r f{^)?{^)dx^'r{^o)^-

en désignant par Ao et A les bornes inférieure et supérieure de la fonction de x,

r f{x)dx,

continue dans l'intervalle ^ao, a).

Cll.UMIUK VII. IMKCn.VI.KS OKIIMES ^l

Les inégalités i tloniienl lieu à la rcin.irquo siiivanle : si la l'oncllon c; X n'est pas continue pour la valeur x = Uq qui. dans renoncé du théorème comme dans la démonstfation, est supposée plus pclilo que a, celte fonction, lorsque le nombre x tend vers a^ par tics valeurs décroissantes, tend vers une limite, puisque, dans ces conditions, elle ne décroît jamais et icsle toujours inférieure ou égale à 'j «o ; désignons, en adoptant une notation em})loyée par Lejeune Dirichlet, celle limite par ç> ao H- o ; si la fonction (p 'Xj élail continue pour x = ch, le symbole çp ao + o ne représenterait pas autre chose que o V/o . Dans tous les cas, la valeur de l'inléirrale

f\x) o{T)dx

ne serait pas modifiée, si l'on remplaçait la fonction '> x par une ionction <ï> x égale à Ç/ ^rtu -+- o pour x = ao, et à ç. x pour toutes les autres valeurs de x appartenant à Tintervalle ««, d ; d'ailleurs la fonction <1> x jouirait des propriétés requises pour l'application du théorème ; on peut donc substituer aux inégalités i les suivantes, où les nombres Ao et A conservent les mêmes significations :

(2) Ao? (oo + o) < J{x) o (a-) dx < A'f («o + o).

Enfin, la fonction de x,

devant prendre n'importe quelle valeur B appartenant à l'intervalle ''Ao, A; pour une valeur ç de x. apparlenant à l'intervalle rto, a), les inégalités précédentes peuvent être remplacées par l'égalité

I /(•■*■) ? {x) c/x = cp («0 + o) r f{^-)dx.

Ë étant un nombre dont on sait seulement (|u'il appartient à l'intervalle ^a„. a .

42 INTRODI'CTIO.N A I,A TIII-OIIII-: DF.S FOVCTIO.NS

Weierstrass a transformé co flcrnier énonce de manière à obtenir une proposition applicable à une fonction z, x qui. dans l'intervalle Oo. a', est ou non-crois«ante, ou non-décroissante.

Supposons qu'on soit dans le premier cas, la fonction

où s a — o désigne la limite vers laquelle tend l'expression ç) ^x\ lorsque x tend vers a par des valeurs croissantes, sera non-croissante dans l'intervalle [oq, Cj et ne sera négative pour aucune valeur de X appartenant à cet intervalle ; on pourra donc lui appliquer le théorème qu'exprime l'égalité 3 cl l'on aura ainsi

I f{x) 'o (j-) ç(a — o); dx = ;f (oo + o) — o (a — o); I ' J[x)dx,

OU

I f{x) o (x) dx = 9 (do -h o) p f{x) dx -h9{a— o, ( f{x) dx ;

1 désigne toujours un nombre appartenant à l'intervalle 'ao, a). C'est l'égalité que j'avais en vue ; elle subsisterait, si dans l'intervalle (oo, aj la fonction ç [x] était non-décroissante ; on le verra en remplaçant dans l'égalité (3) «p (x^ par Ç5 (a — o — ® (a?)-

255. — On a supposé jusqu'ici, lorsque l'on a considéré une intégrale définie

j o{x)dx,

que, dans l'intervalle a,„ a , la fonction ç^ [x était bornée ; on peut étendre la notion d'intégrabilité à des fonctions qui ne satisfont pas à cette condition.

Soit Oo, a; un intervalle et supposons que, quelque petit que soit le nombre positif s < « — a^, la fonction ç> V soit bornée et intégrable dans l'intervalle [ao, a — ô ; si la quantité

J an

CHAPITUK Vil. l>TKCR.\I.r,S KKFIMKS '| .5

définie tant que l'on a o <; = <[ a — a», tend vers une limite .T lorsque ■ tend vers zéro par valeurs positives , il sera naturel de regarder le nombre J comme étant, par définition, la valeur du symbole

«f [x) dx.

Cette circonstance se présentera néccssairemeni si la fonction (p (x) est bornée et intégrable dans l'intervalle (ao, a), puisque alors ^(c) est une fonction continue de c et la nouvelle définition du symbole

«5 (a-) dx

coïncidera avec celle qui avait été primitivement adoptée ; mais la quantité désignée par */ £ peut avoir une limite, lors même que la fonction (p [xj ne serait pas bornée dans l'intervalle a — î, « , lors même qu'elle ne serait pas définie, ou n'aurait pas de sens pour X = a; on sait, par exemple, que l'on a, quel que soit le nombre X compris entre zéro et un,

dx

z=^ = arc sui X ;

lorsque x tend vers i par valeurs croissantes, le second membre tend vers la limite ; il en est nécessairement de même du pre-

mier, quoique la fonction ", — -- ^ grandisse indéfiniment quand

X tend vers i par valeurs croissantes et qu'elle n'ait point de sens

pour X = ï. On dira crue la fonction 7~ ^=^ est întégrable dans *■ ' VI — ^"

l'intervalle o, i et l'on écrira

Jo \/i — x*

Ce qui vient d'être dit pour la limite supérieure a de l'intervalle s'applique à la limite inférieure Oq ; on pourra écrire, par exemple.

dx ir

V» l.NTUOliLC.TION A LA TIIKORIE DES KONCTIO.NS

Supposons maintenant que. h étant un nombre compris entre rto et a, la fonction ça', quelque petits que soient les nombres positifs £, ■/;, soit bornée et inlégrable dans les intervalles («0, h — i , h -h 'C, a ot que la quantité

rl>—z définie tant que l'on a

O < £ < 6 — «0, O < T, < fl — t,

tende vers une limite .1 lorsque les nombres i, r, tendent vers zéro. On dira que la fonction '^ x est intégrable dans l'intervalle ao, a) et l'on écrira

c'est ce qui arrivera certainement si la fonction ç jc est bornée et intégrable dans l'intervalle h — i, b -+- r, , et par conséquent dans l'intervalle a,,, a ; mais cela pourrait arriver sans que la fonction o x. fût bornée dans l'intervalle 6 — s, 6 4- v; , lors même qu'elle n'aurait point de sens, ou ne serait pas définie, pour a; = 6. Par exemple, dans tout intervalle qui ne contient pas zéro, la fonction

^a;a pour dérivée s ., ^ on d conclut, ô et r, étant positifs, "" dx i ^ dx o s 3 /^

«yr, y ■

lorsque £ et y^ tendent vers zéro par des valeurs positives, le second membre a pour limite le nombre 6 ; telle est donc aussi la limite

du premier membre ; la fonction ., :^ qui grandit indéfiniment

quand x tend vers zéro, qui n'a pas de sens pour x = o, est inlégrable dans l'intervalle — i, + i et l'on a

'^* dx ^

En disant en général que y/c, r,] tend vers la limite J lorsque

r.HAIMTUE VII. I.NTKCUALKS DKI'I.MKS /|5

i, r, tendent vers zéro par des valeurs positives, on entend qu'à chaque nombre positif a corres[)ond un nombre positif a' tel que

entraînent l'inégalité

C'est ce qui arrivera évidemment si les deux intégrales dont '/(c, Yt) est la somme tendent respectivement vers des limites quand c, r, tendent vers o et c'est ce qui n'arrivera que dans ce cas, comme le lecteur n'aura pas de peine à s'en convaincre.

Ln exemple simple montrera comment l'expression '/ i, r,j, lorsque les deux intégrales dont elle est la somme n'ont pas de limites, peut s'approcher de valeurs très diflerentes quand on fait tendre i, r, vers o.

Soil, en conservant les notations antérieures,

on aura

dx , a — h , £

7 = log , H- loiï - ;

il suflil de faire tendre 3 et r, vers o de façon que leur rapport ait pour limite un nombre positif arbitraire k pour que le second membre tende vers la limite

log^^^ + log/v.

En restant à ce puinl de vue, on n'attribuera donc pas de signification au symbole

■^ [x) dx

si les deux intégrales dont la somme est y c, r/j ne tendent pas vers des limites lorsque s, /; tendent vers o.

Le cas où cette somme tend vers une limite lorsqu'on sup[)Ose

46 IMBODOCTION A iJl TllÉOUlE DES FO>"CTiO>S

7j = c et que £ tend vers o esl, toulefois, cligne d'intéiêt : la limite vers laquelle tend alors

I <£) (j- i dx -h I ° {^) dx

est ce que Caucliv a appelé la valeur principale de l'intégrale

En me bornant toujours aux valeurs qui appartiennent à un intervalle Oo, a et b étant une de ces valeurs, je dirai d'une fonction y [X qui peut n'être pas définie ou n'avoir pas de sens ])our x = b, mais qui est dclinie pour les valeurs voisines appartenant à l'intertervalle Oq a , qu'elle devient infinie aux environs de 6, si quelque grand que soit le nombre positif P, on a

l'fWI>P

pour des valeurs de x qui ai)particnncnl à Tintervalle a^, a , qui sont dilTérentes de b, mais aussi voisines de b qu'on le veut. Il résulte du n" 160 qu'une fonction définie dans l'intervalle a^, a, et qui ne devient pas infinie aux environs de quelque valeur appartenant à cet intervalle, est nécessairement bornée.

Si une fonction o x est définie pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle a^ a sauf, peut-être, pour un nombre limité de ces valeurs, si elle ne devient infinie qu'aux environs d'un nombre limité de valeurs appartenant à l'intervalle, si enfin elle est intégrable dans tout intervalle contenu dans a„ a auquel n'appartient aucune des valeurs de x aux environs desquelles la fonction devient infinie, il est clair qu'on pourra étendre à cette fonction les considérations développées au début de ce numéro et chercher si elle est, ou non, intégrable dans l'intervalle a,, a). Comme dans le cas oii la fonction ne devient infinie qu'aux environs d'une seule valeur de x, on ramènera, en décomposant l'inlervalle a^, a) en un nombre suffisant d'intervalles partiels, le problème au cas où la fonction ne devient infinie qu'aux environs, soit de la limite supérieure, soit de la limite inférieure de l'intégrale. Les raisonnements étant les mêmes pour les deux limites, je ne considérerai que la limite supérieure.

CIIAI'IÏUE Vil. INTI.CMI.M.F.S KliKI.MKS ^n

256. — Soit donc '> x une fondion (|iil, quelque voisin du nombre d que soit le nonil)rc z, compris entre a^ <C a et a, soit bornée et inlégrable diuîs l'intervalle a^^çj; il s'agit, en supposant que la fonction f (x) devienne infinie aux environs de ic =^ a, de reconnaître si l'intégrale

tend vers une limite lorsque ç tend vers a par des valeurs croissantes.

C'est un problème de mèiiic nature que celui qui consiste à reconnaître si une série donnée est convergente ou non.

On remartjuera d'abord que rien n'empêche, quand on cherche à répondre seulement à la question posée, de substituer au nombre «0 un nombre fixe quelconque compris entre «o et a, mais distinct de a.

Le théorème du n" 158 iburnil immédiatement la règle suivante :

Pour que l'intégrale proposée ait une limite, il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif a corresponde un nombre a! <; a, tel que les inégalités

entraînent l'inégalité

■:> [x)dx\ <C ^ ;

mais l'application de cette règle générale est souvent malaisée et il ne sera pas inutile de donner des règles particulières qui, dans des cas assez étendus, permettent de trancher la question.

Supposons que la fonction ç x puisse se mettre sous la forme f'x 'b [X:, f X, étant une fonction bornée et intégrable dans l'intervalle (a^ a) et <|i (x) étant ime fonction qui devienne infinie aux environs de a, mais qui, quel que soit le nombre ç intérieur à l'intervalle ^a^^, a, soit toujours dans l'intervalle «„. c . bornée et inlégrable, et de {)lus ne soit jamais négative dans ce même intervalle, ou jamais positive : je supposerai dans ce qui suit fpi'elle ne soit jamais négative ; on ramènerait l'autre cas à celui là, en remplaçant ç- 'X, par — c; \x).

/|8 l>TKOI»rOTION A KV TIlKOlUK HKS KO.NCTIONS

L'intéfrrale j 'i> x <Lv considérée comme une fonclion de r est

alors une fonction non-décroissante dans tout intervalle contenu dans a„. a ; elle peut, lorsque 5 tend vers a, tendre vers une limite ou vers -+- X .

En supposant d'abord qu'elle tende vers une limite, je vais montrer qu'il en est de nu-me de l'intégrale

dx.

Supposons en elTet O) << ç < £' < a, la fonction f x 'b 'x^, prrjduit de deux fonctions bornées et intégrables dans l'intervalle Zs ç), est elle-même bornée et intégrable dans ce même intervalle et le premier théorème de la moyenne fournit l'inégalité

f{x)'h{x)dx

< A 'l .x) dx.

en désignant par A un nombre positif que l'on peut prendre égal à ia borne supérieure de | / x | dans a^, a , ou plus grand.

Mais, par hypothèse, l'intégrale qui figure dans le second membre peut être supposée aussi petite qu'on le veut, pourvu que |, ç' soient suffisamment voisins de a ; il en est de même du premier membre et la proposition est démontrée.

Le lecteur reconnaîtra sans peine que l'on a encore dans ce cas

•V (x) dx ^ I / {x) 'b [x) rfa- < M I •!/ {x) dx,

en désignant par m et M les bornes inférieure et supérieure de la fonction f x dans l'intervalle a^,, a . Il esta peine utile de dire que cette dernière conclusion s'étend au cas où la fonction <b (x) supposée toujours non négative, bornée et intégrable dans tout intervalle dont les bornes ao', a' vérifient les conditions afj<<ao'<^«<'^'» deviendrait infinie aux environs de Oo au lieu de le devenir aux environs de a, ou encore deviendrait infinie aux environs de a,, et de a,

pourvu que l'intégrale 1 çj [x] dx ait un sens.

CIIU'ITIIK VII. I.NTliGIlALKS DKKIMES

lU

Supposons maiiileiiaiil cpic. la lonclion 'Ij x) satisfaisant toujours auv nitnies conditions, l'intégrale

grandisse indéfiniment quand ï leiui vers a par valeurs croissantes ; s'il arrive que, a'o désignant un nombre fixe quelconque compris entre «„ et a et distinct de ce dernier nombre, la fonction f xj dans l'intervalle a'o, « conserve le même signe et reste supérieure, en valeur absolue, à un nombre positif B, le [)rcmier lliéorème de la movenne fournira encore l'inégalité

j f{x) •l{x) dx > JH ''H^) ^^^•

qui montre clairement que le premier membre, comme le second, grandit indéfiniment quand | tend vers a par valeurs croissantes ; il en est de même de la valeur absolue de l'intégrale proposée

çp [x) dx .

On voit sans peine que. dans ce cas, le rapport

Ja,

o [x) dx

'i^ [x) dx

finit par rester, lorsque £ tend vers n par valeurs croissantes, compris entre deux bornes fixes, dont aucune n'est nulle ; c'est ce que l'on exprime en disant que le numérateur devient infini comme le dénominateur ; cette locution prendra un sens plus précis si / X tend vers une limite, /Vï — o , différente de zéro, quand x tend vers a par des valeurs croissantes ; le précédent rapport a aussi pour limite /a — o . On voit en elVct tout d'aJjonl que, dans ce cas, le numérateur augmente indéfiniment par des valeurs positives ou négatives, suivant que la quantité/ a — o est positive ou négative. Soit maintenant a un nombre positif aussi petit

Tax:<ervU. — iDlroiluclion a la Tliéorie îles fonctions